Ausparken

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Klasse Schulstufe Thema Themengebiet Schwierigkeit
8/ 9 Sekundarstufe I Größen mit Hilfe des Satz des Pythagoras bestimmen Größen und Messen, Raum und Form, Zahlen und Operationen **

Aufgabenstellung

Die beiden 18-jährigen Oberstufenschüler Daniel und Meike beschließen, mit Meikes Auto ins Kino zu fahren. Als sie losfahren wollen, steht Meikes Auto vor dem Haus von zwei anderen Autos dicht eingeparkt. Meike schaut sich die Situation an und sagt sofort: „Aus der Lücke komme ich auf keinen Fall heraus! Das sind ja jeweils nur 15 cm Abstand zum nächsten Auto!“. Daniel, der eben erst seinen Führerschein gemacht hat, sieht das ganz anders und meint siegessicher: „Typisch Mädchen! Keine Ahnung von Autos! Lass mich das mal machen, ich kann das besser! So ein kleines Auto: 3,90m lang und 1,60m breit – das ist doch ein Kinderspiel!!!“ Und dann lässt er den Motor aufheulen und beginnt mit dem Ausparken ... Wer hat recht?

Quellenangabe:

http://www.4teachers.de/?action=download&downloadtype=material&downloadid=28577, leicht überarbeitet.


1. Rechnerischer Lösungsweg

Im ersten Schritt müssen dem Text die wichtigen (mathematischen) Informationen entnommen werden. Folgende Größen sind gegeben:
 
Länge von Meikes Auto: \(3,90m\)
Breite von Meikes Auto: \(1,60m\)
Abstand zum anderen Auto: \(15cm=0,15m\)
 
Aus diesen Infos kann nun die Länge der Parklücke bestimmt werden:
 
\(p=3,90m+2\cdot 0,15m = 4,20m\)
 
Um nun sagen zu können, ob das Auto aus der Parklücke kommt oder nicht, muss erkannt werden, dass dies genau dann der Fall ist, wenn die Diagonale des Autos kleiner ist als die Länge der Parklücke. 
 
Im nächsten Schritt kann nun die Länge der Diagonalen berechnet werden. Hierfür ist zu erkennen, dass die Diagonale das Rechteck (welches das Auto beschreibt) in zwei rechtwinklige Dreiecke teilt. Da die Maßen in der Aufgabenstellung gegeben sind, kann einfach eingesetzt und ausgerechnet werden:
 
\(d^2=(3,90m)²+(1,60m)² \\ d=\sqrt{(3,90m)^2+(1,60m)^2}=\sqrt{(17,77m^2)} \\ d=4,22m\)

Im letzten Schritt folgt die Übertragung der errechneten mathematischen Ausdrücke auf die Aufgabenstellung. Dies kann in Form eines Antwortsatzes geschehen. Man erkennt, dass das Auto 0,02m mehr Platz zum Ausparken benötigt, als die Parklücke lang ist. Folglich wird Daniels Ausparkversuch scheitern. 
 

2. Lösungsweg mit DGS

Der zweite Lösungsweg wird mit Hilfe von dynamischer Geometriesoftware erarbeitet. Hierfür wird das Programm Cinderella verwendet. 
 
Im ersten Schritt wird dazu der Sachverhalt in Cinderella nachgestellt. Man zeichnet entsprechend den Angaben in der Aufgabe Punkte als Begrenzungen für die jeweiligen Autos ein. Diese können dann mit Strecken verbunden werden. Um den Konstruktionsprozess möglichst exakt zu halten, bietet es sich an, mittels einer Senkrechten Geraden die gegenüberliegenden Begrenzungspunkte zu setzen. Diese Geraden kann man in Cinderella hinterher einfach wieder ausblenden.
 
 
Im zweiten Schritt wird die Diagonale mittels dem Werkzeug „Strecke“ eingezeichnet. 
 
 
Mit Hilfe des Tools „Abstand messen“ kann nun die Länge der Diagonale und der gesamten Parklücke bestimmt werden. Man erhält folgendes Ergebnis:
 

Diese Zeichnung liefert das gleiche Ergebnis wie die rechnerische Lösung. Es ist beim Konstruieren allerdings hohe Genauigkeit gefordert, da die Abstände zwischen den Punkten nur sehr gering sind und sich durch Anklicken leicht verschieben können. Es bietet sich daher an, die Punkte durch Eingabe der Koordinaten - und nicht per Hand - zu setzen. Um die Punkte nicht aus Versehen zu verschieben, sollten sie mit der Funktion „Festnageln“ fixiert werden.

Einbettung

Die Aufgabe setzt die Kenntnis des Satzes des Pythagoras voraus und sollte daher in Klasse 8 eingesetzt werden. Sie kann hier als Anwendungsaufgabe genutzt werden. Darüber hinaus kann die Aufgabe auch zur Wiederholung genutzt werden, beispielsweise in Jahrgangsstufe 10, als Vorbereitung auf Vergleichs- oder Abschlussarbeiten. Auch in der Oberstufe findet diese Aufgabe zur Wiederholung noch ihre Berechtigung.

 


Inhaltsbezogene Kompetenzformulierungen

Raum und Form
Die Schülerinnen und Schüler wissen, dass man ein Rechteck durch die Diagonale in zwei rechtwinklige Dreiecke teilen kann. Darüber hinaus kennen Sie die Eigenschaften von rechtwinkligen Dreiecken (Satz des Pythagoras, rechter Winkel, Hypotenuse).

Größen und Messen
Die Schülerinnen und Schüler wenden die Eigenschaften von Rechtecken und von rechtwinkligen Dreiecken an.
 
Gleichungen und Funktionen
Die Schülerinnen und Schüler beherrschen das Umstellen von Gleichungen. Darüber hinaus sind Sie sich der Bedeutung von Variablen bewusst.

Zahlen und Operationen
Die Schülerinnen und Schüler beherrschen die Grundrechenarten und das Wurzelziehen.
 

Prozessbezogene Kompetenzformulierungen

Mathematisch modellieren
Die Schülerinnen und Schüler interpretieren das Auto als Rechteck und berechnen die Länge der Diagonalen.

Probleme mathematisch lösen
Die Schülerinnen und Schüler nutzen Lösungsstrategien (Suche nach Analogien, Vorwärtsarbeiten, Rückwärtsarbeiten, Rückführung von Unbekannten auf Bekanntes, Zerlegen und Ergänzen).
Sie erkennen, dass das Auto als Rechteck interpretiert werden kann und die Diagonale des Autos entscheidend ist, ob es in die Parklücke passt oder nicht.

Mathematische Darstellung verwenden
Die Schülerinnen und Schüler nutzen die gegebene Skizze, um den Sachverhalt zu veranschaulichen oder fertigen eine, dem Sachverhalt entsprechende, geeignete, Skizze an.
 

Heuristische Hilfsmittel: 
Im folgenden werden die für den Lösungsfindungsprozess gebrauchten Heurismen genannt und diskutiert. Hierbei erfolgt eine Unterteilung in den ersten und zweiten Lösungsweg.
 
Heuristische Strategien: 

Heuristische Strategien für den ersten Lösungsweg

Suche nach Analogien
Eine ähnliche Aufgabenstellung habe ich bereits einmal erarbeitet, so dass klar war, dass man das Auto als eine geometrische Figur interpretieren muss. Auch könnte das aktuelle Thema im Mathematikunterricht bereits Grund für eine Analogie sein: Wird gerade der Satz des Pythagoras behandelt, liegt die Vermutung nahe, dass sich diese Aufgabe ebenfalls mit diesem lösen lässt.

Vorwärtsarbeiten
Man nimmt Gegebenes und versucht daraus das Gesuchte zu erhalten. Über die Fragestellung, was weiß ich über das gegebene (das Auto), gelangt man dazu, dass man die Längen beider Seiten des Autos kennt. Somit kommt man zu der Aussage, dass das Auto ein Rechteck bildet.

Rückwärtsarbeiten
Im Unterricht wird der Satz des Pythagoras behandelt. Man geht also davon aus, dass dieser zum Lösen der Aufgabe verwendet werden soll. Somit schaut man, wo man rechtwinklige Dreiecke im Auto finden kann und was diese für die Einparklänge des Autos bedeuten. Man gelangt auf diesem Weg zu der Erkenntnis, dass es sich um die Diagonalen handelt.
Eine Alternativmöglichkeit ist, dass man weiß, wie das Auto in die Parklücke passen kann. Man weiß so, dass man die Diagonalen berechnen muss und gelangt so zu der Aussage, dass das Auto ein Rechteck bilden muss.
 
Rückführung von Unbekanntem auf Bekanntes
Die Figur des Autos scheint zunächst unbekannt und schwer handhabbar. Diese lässt sich jedoch auf eine bekannte Figur, das Rechteck, übertragen. Gleiches gilt für die Diagonalen des Rechtecks. Auch diese wirken schwer handhabbar. Sie lassen sich jedoch berechnen, wenn man erkennt, dass die Diagonale das Rechteck in zwei rechtwinklige Dreiecke teilt, deren Eigenschaften man kennt.

 

Heuristische Strategien für den zweiten Lösungsweg

Vorwärtsarbeiten
Mit Hilfe der dynamischen Geometriesoftware lässt sich der gegebene Sachverhalt schnell nachbauen. Hierfür ist allerdings im Vorfeld die Erkenntnis wichtig, dass das Auto als Rechteck interpretiert wird. Danach können die Rechtecke konstruiert und mit dem entsprechenden Messwerkzeug können die Längen ermittelt werden.

Rückführung von Unbekannten auf Bekanntes
Die Figur des Autos scheint zunächst unbekannt und schwer handhabbar. Diese lässt sich jedoch auf eine bekannte Figur, das Rechteck, übertragen.
 
 
Heuristische Prinzipien: 
Zerlegen und Ergänzen
Das Rechteck wird in zwei rechtwinklige Dreiecke zerlegt, deren Eigenschaften man kennt. Somit lassen sich die Diagonalen des Rechtecks ausrechnen.
 

Insgesamt wurden der Aufgabe 4 Punkte vergeben, was eine Einordnung in die Kategorie ** rechtfertigt. 
 
Sprachlogische Komplexität: 
Der Aufgabentext ist als Sachtext formuliert und enthält neben den für die Bearbeitung wichtigen Aspekten auch eine Vielzahl an unwichtigen Informationen. Der Satzbau beinhaltet Haupt- und Nebensätze, was die sprachliche Kompetenz leicht fordert.
 
Kognitive Komplexität: 
Zur Lösung der Aufgabe sind metakognitive Überlegungen nötig (Erkenntnis, dass die Diagonale des Autos erforderlich ist und wie diese berechnet werden kann, und dass sich die Größe der Parklücke aus "Auto + Abstand" ergibt), um das gestellte Problem zu erfassen und zu mathematisieren. Auch ist eine Denkleistung im Vorhinein von Nöten, da die Aufgabe nicht direkt berechnet werden kann.
 
Formalisierung von Wissen: 
Es ist die quadratische Gleichung für die Seitenlänge im rechtwinkligen Dreieck mit Hilfe des Satzes des Pythagoras zu erstellen. Darüber hinaus muss die Größe der Parklücke entsprechend formalisiert werden. Für die Lösung mit DGS muss der entsprechende Sachverhalt mit Punkten und Strecken konstruiert werden. Die Erstellung einer eigenständigen symbolischen Repräsentation erfolgt in beiden Fällen hierbei nicht.
 
Formelhandhabung: 
Die Lösungsroutine des Satzes des Pythagoras ist in einfacher Weise durchführbar und die einzige algebraische Lösungsstrategie, die anzuwenden ist. Gleiches gilt für die Größe der Parklücke. In der Lösung mit DGS werden nur einfache Messwerkzeuge bedient. 
 
Stufenzuordnung: 
Formalisierung von Wissen
Stufe 1
Formelhandhabung
Stufe 1
Kognitive Komplexität
Stufe 1
Sprachlogische Komplexität
Stufe 1

Hilfestellungen: 
Als kritische Stelle bei der Lösung der Aufgabe wird die Erkenntnis ausgemacht, dass das Auto als Rechteck interpretiert werden muss (Tabelle 1). Als zweite kritische Stelle jene, dass die Diagonale des Rechtecks benötigt wird, um zu sagen, ob das Auto aus der Parklücke kommt (Tabelle 2).
 
Allgemein-strategische Hilfen Inhaltsorientierte Hilfen Inhaltliche Hilfen
Fertige eine (vereinfachte) Skizze an. Notiere Dir alles Gegebene an der Skizze. Welche geometrischen Figuren erkennst Du? Als welche geometrische Figur kann das Auto aufgefasst werden?
Welche Größen sind gegeben? Was beschreiben die gegebenen Größen? Durch die beiden gegebenen Längen wird ein Rechteck beschrieben.
Hast Du schon mal eine ähnliche Aufgabe gelöst? Wie bist Du vorgegangen? Stell Dir das Problem einmal aus der Vogelperspektive vor. Was würde man erhalten, wenn das Auto genauso breit wie lang wäre?
Tabelle1
 
 
Allgemein-strategische Hilfen Inhaltsorientierte Hilfen Inhaltliche Hilfen
Fertige eine Skizze an. Welchen Dir bekannten mathematischen Satz kannst Du anwenden? Welche Länge entscheidet, ob das Auto ausparken kann?
Versuche, das gegebene Problem nachzubauen (z.B. mit Radiergummis oder DGS) Was weißt Du über Rechtecke? Was weißt Du über die Diagonale im Rechteck?
Hast Du schon mal eine ähnliche Aufgabe gelöst? Wie bist Du vorgegangen? Gibt es Hilfslinien, die Dir weiterhelfen würden? Wie lautet der Satz des Pythagoras? An welcher Stelle gilt er hier?
Tabelle 2
 
 
Sozialformen: 
Die Aufgabe ist für die Einzelarbeit konzipiert. Sie kann aber auch in kleinen Gruppen besprochen und diskutiert werden. Durch den direkten Austausch über den Sachverhalt und das zu lösende Problem wird der Lösungsprozess unterstützt. 
 
 
 
Differenzierungsmöglichkeiten: 
Im nachfolgenden sind verschiedene Differenzierungsmöglichkeiten für die ausgewählte Aufgabe aufgeführt. Diese orientieren sich einmal an leistungsschwachen und einmal an leistungsstarken Schülerinnen und Schülern.


Differenzierungsmöglichkeiten für leistungsschwächere Schülerinnen und Schüler

Veränderung des Aufgabentextes
Der Aufgabentext kann entsprechend vereinfacht werden, indem die Vielzahl an Nebeninformationen gekürzt oder gestrichen wird. Auch kann die Fragestellung von „Wer hat Recht?“ zu „Wieviel Platz benötigt das Auto zum Ausparken und wieviel Platz bietet die Parklücke?“ verändert werden. Somit ist die Aufgabe klarer strukturiert und die Schülerinnen und Schüler wissen auch ohne viel Lesekompetenz, was von ihnen verlangt wird.

Haptische Hilfsmittel
Den Schülerinnen und Schülern können haptische Hilfsmittel gegeben werden, um sich die Situation vorzustellen. Dies können beispielsweise Spielzeugautos, Bobby-Cars oder auch Radiergummis sein.

Variation der Skizze
Durch die Variation der Skizzenzeichnung kann die Aufgabe sehr leicht und effektiv vereinfacht werden. Für leistungsschwächere Schülerinnen und Schüler bieten sich hier drei verschiedene Möglichkeiten an. Die erste Möglichkeit besteht darin, die Skizze als Skizze mit Draufsicht zu verwenden. Diese könnte beispielweise aussehen wie in Abbildung 5. 
 
Abbildung 5
 

Hierbei wird die Aufgabe dahingehend vereinfacht, dass vorgegeben wird, dass das Auto als Rechteck interpretiert werden kann.
Als zweite Möglichkeit kann das ausparkende Auto mit in die Skizze eingezeichnet werden (vgl. Abbildung 6).
 
Abbildung 6
 

Somit wird den Schülern zusätzlich eine Hilfestellung gegeben, um zu erschließen, dass die Diagonale des Autos benötigt wird.
Als dritte Möglichkeit wird die Diagonale in die Skizze mit eingezeichnet, wie in Abbildung 7 dargestellt. Somit ist den Schülerinnen und Schülern klar, dass sie die Diagonale berechnen müssen, um zu entscheiden, ob das Auto in die Parklücke passt oder nicht.
 
Abbildung 7
 
 

Differenzierungsmöglichkeiten für leistungsstärkere Schülerinnen und Schüler

Variation der Skizze
Um die Aufgabe entsprechend für leistungsstarke Schülerinnen und Schüler zu differenzieren, bietet sich die Variation der Skizze in drei verschiedenen Möglichkeiten an.
Die erste Möglichkeit wäre, keine Skizze anzugeben. Die Schüler wären dann gefordert, sich den Sachverhalt nur anhand des Textes zu erschließen und eine entsprechende Skizze selbst anzufertigen.
Die zweite Möglichkeit wäre eine Skizze mit der Seitenansicht des Problems. Diese kann auch ein reales Foto sein. Diese hilft zwar bei der Vorstellung des Problems, allerdings gibt sie keinen Aufschluss darüber, dass das Auto als Rechteck interpretiert werden soll.
Die dritte Möglichkeit ist ein reales Foto mit der nachgestellten Situation. Hier wird komplett auf die Maßangaben im Aufgabentext verzichtet. Es wird ein Foto der gegeben Situation dargestellt und man muss nun alle Seitenlängen selbst bestimmen:
 

Aufgabe II
Das Auto aus der rechten Abbildung wurde zugeparkt (siehe Abbildung 8). Kann es ausparken? 
Hinweis: Der Maßstab beider Bilder ist als identisch zu betrachten.
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
Abbildung 8

Die Aufgabe kann als Anwendungsaufgabe genutzt werden. Wird sie unmittelbar eingesetzt, während die Thematik „Satz des Pythagoras“ besprochen wird, werden die Schülerinnen und Schüler höchstwahrscheinlich schnell vermuten, dass sie die Aufgabe damit lösen können. Aber auch in höheren Schuljahren findet die Aufgabe noch ihre Berechtigung, da so der Satz des Pythagoras nochmal wiederholt wird und die Schülerinnen und Schüler sich selbst erschließen müssen, dass man so auf die Lösung der Aufgabe kommt. Die Aufgabe trainiert auch die Lesekompetenz der Schülerinnen und Schüler, da sie aufgefordert sind, aus einer Fülle an Nebeninformationen die eigentlich wichtigen Infos herauszuarbeiten. Die Aufgabe eignet sich nicht als Einstiegsaufgabe, da man zur Lösung bereits mit der Thematik vertraut sein sollte.  
 


Bearbeitet von: Steffen Nolte
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