Das neue Haus vom Nikolaus

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Klasse Schulstufe Thema Themengebiet Schwierigkeit
11/ 12/ 13 Sekundarstufe II

Aufgabenstellung

Wer kennt es nicht? Das gute alte Haus vom Nikolaus? Doch all die vielen Geschenke, die jedes Jahr mehr und mehr werden, passen einfach nicht mehr in das kleine Haus vom Nikolaus. Deshalb hat der Nikolaus jetzt ein neues, viel größeres Haus gebaut. Kann man dieses Haus vom Nikolaus jetzt immer noch komplett in einem Zug zeichnen, ohne den Stift dabei abzusetzen und ohne eine Linie doppelt zu malen?

Quellenangabe:

Schwellinger, Frank (2012). Das Neue Haus vom Nikolaus (4.Auflage). Reinbek bei Hamburg: Rowohlt Verlag, S. 62


 

Gesucht ist hier also ein Eulerkreis oder- weg. Dazu müssen zunächst die Gerade der Knoten untersucht werden. Man stellt fest, dass es in diesem Fall zwei Knoten mit ungeradem Grad gibt. Dies sind N und G (siehe Abbildung). Folglich gibt es einen Eulerweg, mit N und G als Anfangs- bzw. Endknoten. Ein möglicher Weg wäre dann beispielsweise: N-M-E-D-A-E-L-D-K-R-S-L-K-E-F-B-H-G-F-M-T-L-M-U-T-O-U-P-V-W-Q-J-I-Q-P-O-I-H-O-N-G. Beginnt man nicht von N oder G, ist die Aufgabe nicht lösbar.

Wie findet man aber heraus, wo man beginnen kann, wenn man keine Grundkenntnisse in Graphentheorie besitzt? Knoten, die kein Anfangs-oder Endpunkt sind, nennen wir hier "Durchreiseknoten". Bei jedem Durchfahren mit dem Stift, benötigt man eine Kante, die zu ihm hinführt und eine die von ihm wegführt. Es werden also jedes Mal zwei Kanten "verbraucht". Die Gesamtanzahl der Kanten, die zu einem "Durchreiseknoten" führen, ist demnach gerade. Ist jedoch die Anzahl ungerade, kann der Knoten nicht zur Durchreise genutzt werden, es würde eine Kante fehlen oder übrig bleiben.  Diese Knoten müssen dann Anfangs- oder Endpunkte sein. In diesem Fall sind dies genau zwei Knoten, die dann auch als Anfangs- und Endpunkt genutzt werden. Wären es mehr, wäre das Problem nicht lösbar, da es nicht mehrere Anfangs- oder Endpunkte geben kann.

Man kann dies auch bei dem einfachen "Haus des Nikolaus" untersuchen. Hier wird man feststellen, dass nur die unteren beiden Ecken als Start-und Endpunkte geeignet sind.

 


Die Aufgabe stammt aus dem Bereich der Graphentheorie. Mit Grundkenntnissen darin ist die Aufgabe sehr leicht zu bearbeiten. Ohne Grundkenntnisse ist sie eher eine Problemlöseaufgabe, die aber lösbar ist.


Mit dieser Aufgabe wird besonders die Kompetenz "Probleme mathematisch lösen" gefördert. Dazu gehört laut dem voröäufigen Rahmenlehrplan von 2014 (siehe unten) beispielsweise, dass die Schüler mathematische Figuren untersuchen und heuristische Strategien nutzen, wie es bei dieser Aufgabe der Fall ist.

 

Rahmenlehrplan: http://bildungsserver.berlin-brandenburg.de/fileadmin/bbb/unterricht/rah...


Heuristische Hilfsmittel: 

Für diese Aufgabe sollten sich eine geeignete Bezeichnung der diversen Knoten oder Kanten überlegt werden, um Lösungen oder Teillösungen formalisieren zu können. Beispielsweise könnte man die Kanten in der Reihenfolge der Benutzung nummerieren sowie den Knoten Buchstaben zuordnen.

Weiter ist es sinnvoll eigene Skizzen zu dem Problem oder Teilproblemen zu erstellen, um sich Schrittweise der Lösung anzunähren.

Heuristische Strategien: 

Zunächst sollte systematisch probiert werden, das Problem zu lösen. Hierbei sollte gewisse Eigenschaften auffallen.

Weiter kann auch dieses unbekannte Haus vom Nikolaus auf das (sehr wahrscheinlich) gut bekannte Haus vom Nikolaus zurückgeführt werden und bei den systematischem Probieren mit einbezogen werden.

Heuristische Prinzipien: 

Die Zerlegung des vorhandenen Problems in kleinere Teilprobleme kann sehr hilfreich sein, um entscheidende Eigenschaften zu ermitteln und von dem leichter zu lösenden Teilproblem auf die Lösung des gegebenen Problems zu schließen.

Man muss jedoch darauf achten, dass wenn man Teile des Hauses weglässt, die Aufgabe unlösbar werden kann. Jedoch kann man hier untersuchen, warum es unlösbar wurde und dies auf das größere Haus übertragen.


Der Schwierigkeitsgrad der Aufgabe wird insgesamt als mittel bis schwer eingeschätzt, da zu vermuten ist, dass die Schüler keine Vorkenntnisse auf dem Themengebiet der Graphentheorie besitzen. Weiter müssen sich die Schüler eine geeignete Vorgehensweise überlegen den Anfangsknoten zu bestimmen, da das Lösen mittels probieren zu viel Zeit in Anspruch nehmen könnte. Die Schüler müssen hierzu bemerken, dass sich die Knoten eventuell im Grad unterscheiden und somit den Unterschied zwischen Durchgangs- und Anfangs- bzw. Endknoten ermitteln.

Die Definition der Schwierigkeit über die Dimensionen sprachlogische Komplexität/ kognitive Komplexität/ Formelhandhabung und Formalisierung von Wissen ist bei dieser Aufgabe schwer anwendbar, da beispielsweise keinerlei Formel benötigt werden und die Aufgabe so auf den ersten Blick vermutlich leicht erscheint, was sie unserer Meinung nach aber nicht ist.

Sprachlogische Komplexität: 

Die Aufgabe entspricht in der sprachlogischen Komplexität der Stufe 1, da zunächst irrelevante Informationen extrahiert und die eigentliche Aufgabe erkannt werden muss. Außerdem werden viele Nebensätze benutzt.

Kognitive Komplexität: 

Geht man davon aus, dass die SuS keine Grundkenntnisse in Graphentheorie besitzen, kann man die Aufgabe der Stufe 2 zuordnen. Es muss zunächst die Überlegung erfolgen, bei welchen Knoten angefangen werden muss und anschließend zwischen Anfangs- und Endknoten bzw. Durchgangsknoten differenziert werden. Hier können auch heuristische Strategien zum Einsatz kommen.

Formalisierung von Wissen: 

Da keine Funktionstherme aufzustellen sind, sondern nur die graphische Repräsentation als Hilfe dient, ist hier die Stufe 0 zuzuordnen. Die zu nutzende Grafik ist außerdem bereits durch die Aufgabenstellung gegeben. Es muss lediglich eine Beschriftung der Knoten und Kanten vorgenommen werden, um systematischer Vorgehen zu können.

Formelhandhabung: 

Bei dieser Aufgabe sind keine algebraischen Operationen nötig. Der Schwierigkeitsgrad liegt hier also bei 0.

Stufenzuordnung: 
Formalisierung von Wissen
Stufe 0
Formelhandhabung
Stufe 0
Kognitive Komplexität
Stufe 2
Sprachlogische Komplexität
Stufe 1

Hilfestellungen: 

Hilfekärtchen, die den SchülerInnen, die nicht weiter wissen, kleine Tipps geben, können bei dieser Aufgabe gut zum Einsatz kommen. Beispielsweise konnte drauf stehen: "Gehe davon aus, es gibt einen Weg. Überlege nun, bei welchen Knoten es sinnvoll wäre, anzufangen" , "Überlege, warum du nicht bei Knoten A anfangen kannst", "Wann ist ein Knoten als Anfangs- oder Endknoten geeignet?", "Worin unterscheiden sich die Knoten A und N? Welcher könnte als Anfangspunkt geeignet sein?" etc.

Denkbar wäre auch ein vereinfachtes reduziertes Problem/Teilproblem lösen zu lassen und zu fragen: "Warum hast du es so gelöst und nicht anders?", "Gibts es andere Lösungen? Warum? Warum nicht?", "Was dir fällt bei deiner Lösung auf?" und dies dann auf das vorliegende Problem zu übertragen.

Sozialformen: 

Diese Aufgabe kann gut in Kleingruppen bearbeitet werden, da so verschiedene Ideen eingebracht werden können und sich die Schüler untereinander austauschen können.

In Einzelarbeit ist sicherlich gezielte Hilfestellung (beispielsweise durch die angesprochenen Hilfekärtchen) nötig.

Differenzierungsmöglichkeiten: 

Die Aufgabe bietet gute Möglichkeiten für Binnendifferenzierung. Man könnte beispielsweise leistungsschwächeren SchülerInnen die Aufgabe geben, das einfache Haus des Nikolaus zu untersuchen (Wie viele Möglichkeiten gibt es, ohne Abzusetzen zu zeichnen? Bei welchen Knoten kann man beginnen?...). Leistungsstärkere könnten sich mit der vorgestellten Aufgabe beschäftigen.

Für Leistungsstärkere kann der vorhandene Graph auch zum Färbungsproblem erweitert werden. Hierbei besteht das Ziel darin jedem Knoten eine Farbe zuzuordnen und dabei so wenig Farben wie möglich zu verwenden, wobei keine zwei Knoten, die durch eine Kante verbunden sind, die gleiche Farbe haben dürfen.

Fächerübergreifend wäre auch denkbar das gewählte Lösungsverfahren in eine Art Handlungsanweisung/Pseudocode aufschreiben zu lassen, um so das Verfahren zu verallgemeinern und zu abstrahieren. Darauf aufbauend könnte auch die Zeitkomplexität des Vorgehens analysiert und hinterfragt werden.


Das Thema der Aufgabe ist nicht im Rahmenlehrplan Mathematik vorhanden. Graphentheorie ist unserer Meinung nach aber ein sehr anschauliches Gebiet der Mathematik, dass in vielen Alltagsbeispielen Anwendung findet. Man könnte Graphentheorie also sicherlich als Projekt in der Schule durchführen. Hier bietet sich auch fächerübergreifender Unterricht mit dem Fach Informatik an.

Insgesamt kann diese Aufgabe im Projekt Graphentheorie als Einstieg dienen, um erste Eigenschaften von Graphen selbstständig zu erforschen. Auch stehen Tools, wie z.B. Graphbench*, zur Verfügung, um weitere Graphenprobleme zu modellieren und zu thematisieren.

Die Aufgabe kann jedoch auch ohne die Einbettung in das Thema Graphentheorie als Problemlöseaufgabe behandelt werden. Dies bietet sich aufgrund des Themenbezugs besonders in der Weihnachtszeit an.

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* http://www.swisseduc.ch/informatik/graphbench/ zuletzt abgerufen am 14.01.2015



Bearbeitet von: Franziska Krause, Sebastian Schellhorn
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