Theorie

Theoretischer Hintergrund


Informieren Sie sich über fachdidaktische Aspekte zum Problemlösen

„Wenn ihr schwimmen lernen wollt, dann geht mutig ins Wasser. Wenn ihr lernen wollt, Aufgaben zu lösen, dann löst sie“. G. Pólya

 
Die Begriffe Problem und Problemlösen lassen sich aus verschiedenen Sichtweisen erklären, sie präzise zu definieren ist jedoch schwierig. Problemlösen gehörte schon immer zu den Kerngebieten der Denkpsychologie, deshalb soll im Folgenden an erster Stelle die psychologische Sichtweise auf das Problemlösen betrachtet werden.
 
In der Psychologie wird ein Problem folgendermaßen definiert:

Ein Problem hat man offensichtlich dann, wenn keine Routine zur Beseitigung einer Störung im Handlungsablauf verfügbar ist. Folgende Merkmale charakterisieren also ein Problem:

  1. es liegt ein Ziel vor, dessen angestrebte Erreichung in Frage steht;

  2. das dem Ziel im Weg stehende Hindernis lässt sich nicht mittels Routineaktivitäten beseitigen, sondern erfordert Nachdenken (Betsch, Funke, & Plessner, 2011, S. 138).

Somit liegt bei einem Problem ein bestimmter Anfangszustand vor sowie auch ein gewünschter Zielzustand. Zwischen diesen beiden liegt allerdings ein Hindernis, das nicht durch bloßes Handeln und/oder gewohnte Aktivitäten überwunden werden kann, sondern erweitertes Denken erfordert.

Unter Problemlösen versteht man nach Hussy (1984)

„das Bestreben, einen gegebenen Zustand (Ausgangszustand, Ist-Zustand) in einen anderen, gewünschten Zustand (Zielzustand, Soll-Zustand) [zu überführen], wobei es gilt, eine Barriere zu überwinden, die sich zwischen Ausgangs- und Zielzustand befindet. Die Barriere ist dadurch definiert, da[ss] sie die unmittelbare Überführung des Ausgangszustands in den Zielzustand verhindert.“

Das Problemlösen ist somit der Prozess, der bei der Transformation des Ausgangs- oder auch Anfangszustandes in den Zielzustand stattfindet. Nach Bruder (1992) findet Problemlösen im Mathematikunterricht dann statt, wenn sich die Schüler mit einer Aufforderung zum Handeln auseinandersetzen, für deren Bewältigung sie aber noch keine Vorerfahrungen haben oder keine bzw. noch keine Lösungsideen kennen. Die Anforderungssituation weicht in diesem Fall von dem ab, was den Schülern vorher bekannt war oder was sie gewohnt waren.
 
Die Barriere, die die Transformation des Anfangs- in den Endzustand verhindert, kann von verschiedener Art sein. Gemäß Bruder (1992) kann zum einen nur aus der Sicht des Schülers entschieden werden, ob eine Anforderung Problemcharakter hat und zum anderen gibt es im Wesentlichen drei Möglichkeiten, an welcher Stelle eine Anforderung für einen Schüler zu einem Problem werden kann:

  1. beim Durchlesen oder Hören der Aufgabe
  2. beim Finden einer Lösungsidee
  3. beim Ausführen eines Lösungsplans.

Die Methoden, die für die Transformation benötigt werden, können unbekannt sein, oder aber die Methoden sind bekannt, jedoch ist durch die große Anzahl der möglichen Methoden ein systematisches Kombinieren und Ausprobieren nicht durchführbar (Dörner, 1979).
 
Es ist abschließend deutlich hervorzuheben, dass ein Problem nie unabhängig von einem Problemlöser zu sehen ist, ein Problem an sich demzufolge also nicht existiert. Eine Situation wird damit erst dann zu einem Problem, wenn sie von einer Person als solches angesehen wird.

 

Problemlösen ist nicht nur eine gute Methode, um bei Schülern und Schülerinnen Kreativität zu fördern und die Verbindung mathematischer Ideen mit der Entwicklung flexiblen Denkens zu unterstützen, sondern auch eine effektive Methode der Erkenntnisbildung. Wenn Schülerinnen und Schüler neue mathe­ma­ti­sche Kenntnisse für sich selbst konstruieren, lernen sie neue Begriffe und Fähig­kei­ten zu erwerben und anzuwenden. Oder anders gesagt – durch Problemlösen lassen sich diese erwerben und/oder festigen. (Kuzle, 2013, 2015)

Lehren durch Problemlösen

Es ist davon auszugehen, dass Problem­lösen und mathematisches Ver­stän­dnis im Kern verbunden sind. Bei der Erforschung neuer Problemstellungen haben Schüler und Schülerinnen die Möglichkeit „Neuland zu betreten“ und neue Begriffe selbst zu entdecken und zu konstruieren, Eigenschaften und Beziehungen zu sehen und mit Begriffen arbeiten zu können.

Unterricht durch Problemlösen ist ein Lehransatz, bei dem Lehrer das Pro­blemlosen als primäres Mittel zur Begriffsbildung verwenden und Schülern und Schülerinnen helfen, ihre mathematischen Kenntnisse zu vertiefen und zu verknüpfen. Hier werden sowohl

(1) mathematisches Verständnis und

(2) eine erhöhte Problemlösungsfähigkeit als Ergebnisse gewünscht.

Die Schü­ler und Schülerinnen lernen durch die selbst-konstruierten mathematischen Kenntnisse neue Begriffe und Fähigkeiten zu verwalten und anzuwenden. Die Fähigkeit Probleme zu lösen ist nicht einfach nur eine Fertigkeit, wie z.B. den kgV oder ggT zu berechnen, sondern enthält kreatives Handeln, Intuition und andere Gewohnheiten des Geistes (Cuoco, Goldenberg & Mark, 1996), bei denen die gewonnenen Einsichten über Begriffsbildung umgesetzt und durch Erfahrung vertieft werden können (Vollrath, 1987).

Mathematische Begriffe sollten im Rahmen der Problemlösung erlernt werden (NCTM, 1989, 2000), wobei die Begriffe dann verschiedene Rollen in den verschiedenen Phasen eines Problemlöseprozesses spielen können: (1) Problemklärung durch Begriffe, (2) Aktivierung des Wissens über Begriffe, (3) Knüpfen von Beziehungen mit Hilfe von Begriffen, (4) Um­struk­tu­rieren mit Hilfe von Begriffen, (5) Begriffe als Träger von Lösungs­ideen, usw. (Vollrath, 1986). Dabei ist es sehr wichtig sinnstiftende Si­tua­tio­nen zu schaffen, wobei eine Situation:

  • für die Schülerinnen und Schüler relevant sein muss
  • die Erzeugung der jeweiligen mathematischen Begriffe möglich machen muss
  • den Lernenden Möglichkeiten bieten muss, inhaltliche Vor­stel­lun­gen aufzubauen
  • reichhaltig und nicht künstlich reduziert sein muss
  • nicht notwendigerweise realitätsorientiert sein muss (Hußmann, 2009, S. 67).

Lehrer, Schulbücher und Lehrplanentwickler sollten das Verständnis zum Schwerpunkt und Ziel des Mathematikunterrichts machen. Darüber hinaus ist es entscheidend eine Verschiebung zu erreichen von der engen Sicht­weise auf die Mathematik als Werkzeug zur Lösung von Problemen hin zu einer breiteren Vorstellung, dass Mathematik eine Art zu denken und eine Art zum Organisieren der eigenen Erfahrungen ist (Schroeder & Lester, 1989). Ähnlich schrieb Vollrath (1987), dass Schüler aus dem Bilden, Erforschen und Be­nutzen von Begriffen parallel ein Verständnis für Mathematik und das Er­ler­nen mathematischer Begriffe entwickeln. Hier sehe ich auch die Mög­lich­keit Begriffsbildungsprozesse in Problemlöseprozesse einzubinden und Aufgaben für die mathematische Begriffsbildung zu nutzen. Wie kann man also Aufgaben so stellen und Lernsituationen so gestalten, dass Begriffs­bil­dung initiiert und unterstützt wird? Wie geeignet ist dieser Lehransatz für den Mathematikunterricht? Durch spezifische Beispiele werden neue Wege zur Begriffsbildung für den Mathematikunterricht dargestellt.

Auf dieser Plattform haben Sie Zugang zu reichhaltigen, motivierenden und modifizierbaren Problemlöseaufgaben für den Mathematikunterricht der Sekundarstufen. Zu jeder Aufgabe werden nicht nur die unterschiedlichen Lösungswege in übersichtlicher und gut nachvollziehbarer Form dokumentiert, sondern Sie finden auch ausführliche und fachdidaktisch fundierte didaktisch-methodische Hinweise zu den Aufgaben. Dafür wird der folgende Leitfaden zur didaktischen Aufgabenanalyse benutzt.

  • Geförderte Kompetenzen: Welche Kompetenzbereiche sollten mit dieser Aufgabe erfasst werden? Welche prozessbezogenen und welche inhaltsbezogenen mathematischen Kompetenzen sollten mit dieser Aufgabe erfasst werden?
  • Einbettung: In welcher Jahrgangstufe kann man diese Aufgabe umsetzen?
  • Forderung von Fähigkeiten: Welche Heurismen sollten bei der Bearbeitung der Aufgabe benutzt werden?
  • Reichhaltigkeit: Welche Schwierigkeiten bzw. Problematiken könnte die Aufgabe im Hinblick auf die schwierigkeitsgenerierenden Aufgabenmerkmale für Schülerinnen und Schüler beinhalten?
  • Hilfestellungen: Wie kann man den Schülerinnen und Schülern helfen, eine Lösung der Aufgabe zu finden, ohne zu viel zu verraten?
  • Festigung von Fertigkeiten: Was soll mit der Aufgabe geübt oder vertieft werden? Wofür eignet sich Ihre Aufgabe? (z.B. produktives Üben, Einstig ins Thema, Forschen, Beweisen, langfristige Hausaufgabe)
  • Differenzierungsmöglichkeiten: Wie kann man die Aufgabe qualitativ für leistungsschwächere, aber auch leistungsstärkere Schüler differenzieren?

Die theoretische Einführung zu oben benannten Komponenten finden Sie in den unten aufgeführten Abschnitten.

Der Begriff Heuristik wurde von dem griechischen Mathematiker Archimedes geprägt, der nach einer erfolgreichen Lösung eines Problems voller Freude „Heureka, Heureka“ rief. Anders gesagt kommt das Wort ursprünglich aus dem Griechischen (heurískein) und bedeutet „finden, entdecken“. Dieser Ausdruck der Freude beschreibt das schöne Gefühl, welches Archimedes nach seiner erfolgreichen Bearbeitung hatte. Die Übersetzung „Ich hab´s geschafft“ beschreibt die Zufriedenheit, die mit der Situation einhergeht, ein kniffliges Problem erfolgreich gelöst zu haben. Dieser „Heureka- Effekt“ ist ein besonderes Erfolgserlebnis und hat die Besonderheit, dass man das nächste Problem selbstsicherer angeht, was sich wiederum positiv auf die Lernmotivation und das Selbstwertgefühl auswirkt.

Laut Pólya (1967) ist die Absicht der Heuristik, den Vorgang des Lösens von Aufgaben zu verstehen, insbesondere die

„Denkoperationen, die bei diesem Proze[ss] in typischer Weise von Nutzen sind“ (S. 155).

Konkreter zielt die Heuristik

„auf Allgemeingültigkeit hin, auf das Studium von Verfahren, die unabhängig von dem Gegenstand sind und für alle Arten von Aufgaben verwendet werden können“ (S. 159.).

Zu diesen Verfahren zählen die heuristischen Hilfsmittel, Strategien und Prinzipien, alle zusammengefasst unter dem Begriff Heurismen (Bruder & Collet, 2011). Schoenfeld (1985) beschreibt Heurismen als Hilfen, die dem Problemlöser ein besseres Verstehen eines Problems oder einen Fortschritt in Richtung der Lösung des Problems ermöglichen. Also Heurismen geben Hinweise auf eine mögliche Richtung, in der eine Lösung für ein Problem zu vermuten ist. Sie bilden eine Art Geländer, um sich in der Welt der Probleme besser zurecht zu finden!
 
Die folgende Abbildung soll eine Übersicht über die für den Mathematikunterricht relevanten Heurismen geben. Diese sind in drei Kategorien untergeteilt: heuristische Strategien, heuristische Hilfsmittel und heuristische Prinzipien.

Abbildung 1. Übersicht über die für den Mathematikunterricht relevanten Heurismen.
 

Heuristische Strategien können als Vorgehensweisen beschrieben werden wie man in einer Problemsituation agieren kann, wenn man das Problem im Wesentlichen verstanden hat. Sie stellen ganz allgemeine heuristische Verfahren dar, die im Nachhinein in einer Problemlösung wiedererkennbar sind. Dabei sind heuristische Strategien jedoch nicht nur fachspezifisch einsetzbar, sondern auf Problemsituationen aller möglichen Bereiche übertragbar (Bruder & Collet, 2011).

Heuristische Prinzipien dagegen sind deutlich stärker an Fachinhalte gebunden, lassen aber trotzdem vielfältige Bezüge zum Problemlösen im Alltag erkennen.

Im Gegensatz zu den heuristischen Strategien und Prinzipien haben die heuristischen Hilfsmittel keinen Verfahrenscharakter und können nicht als unmittelbare Lösungsstrategien betrachtet werden. Stattdessen ist das Ziel des Einsatzes von heuristischen Hilfsmitteln ein Problem zu verstehen, zu strukturieren, zu visualisieren und auf die wesentlichen Informationen zu reduzieren (Bruder & Collet, 2011).
 
Diese Heurismen müssen als wichtiger Bestandteil des Problemlösens Erwähnung finden, rücken auch für die Plattform in den Vordergrund. Diese sollen demnächst nach Bruder und Collet (2011) vorgestellt werden.


Heuristische Hilfsmittel helfen, eine Aufgabe so vorzubereiten, dass sie leichter gelöst werden kann. Sie tragen dazu bei, das Problem zu verstehen, zu strukturieren und auch zu visualisieren. Sie sind unabhängig von der konkreten Situation bei allen Aufgaben verwendbar, es hängt aber sehr wohl von der speziellen Aufgabe ab, welche Hilfsmittel besser geeignet sind.
Für das Lösen mathematischer Problemstellungen sind die folgenden heuristischen Hilfsmittel von Interesse:

  • das Einführen zweckmäßiger Bezeichnungen
  • das Überprüfen der vorgegebenen Wortsprache in eine geeignete Symbolsprache
  • das Verwenden von Tabellen
  • das Verwenden von Skizzen oder informativen Figuren
  • das Verwenden von Gleichungen
  • das Verwenden von Lösungsgraphen

Heuristische Hilfsmittel: Informative Figur

Oft kann man an einer geschickt erstellten Zeichnung schon die Lösung oder zumindest eine Lösungsidee für eine Aufgabe ablesen. Anders als der in der Grundschule geläufigere und im Folgenden verwendete Begriff Zeichnung impliziert die ursprüngliche Verwendung der informativen Figur eine Darstellung möglichst vieler Beziehungen und Informationen in einer Figur. Das bedeutet, eine Zeichnung ist nur dann sinnvoll, wenn aus ihr möglichst viele Informationen abgelesen werden können (Bruder & Collet, 2011). In einer Zeichnung sind die wichtigsten und aussagekräftigsten  Eigenschaften der in der Problemaufgabe enthaltenen Objekte von Bedeutung. Weniger sinnvoll sind dafür ihre konkreten bildhaften Darstellungen. An informativen Figuren kann man also die Lösungsidee „sehen“.

Hilfreiche Fragen zum Anfertigen einer informativen Figur sind z.B.

  • Um was geht es in der Aufgabe?
  • Wie kann man es darstellen?

Heuristische Hilfsmittel: Tabelle

Tabellen eignen sich als heuristisches Hilfsmittel und zum Reduzieren und Fokussieren von Informationen in Problemaufgaben dann, wenn sie bewusst zum Strukturieren von Informationen eingesetzt werden. Tabellen eignen sich zum einen sehr gut, um verschiedene Lösungsansätze oder Lösungsmöglichkeiten übersichtlich zu dokumentieren und zum anderen, um alle möglichen Fälle einer Lösung zu notieren, ohne den Überblick zu verlieren. Es ist manchmal aber gar nicht so leicht, eine Tabelle so zu erstellen, dass sie einem hilft. Sie müssen sich also gut überlegen, welche Werte Sie in eine Tabelle eintragen wollen.

Hilfreiche Fragen zum Anfertigen einer Tabelle sind z.B.

  • Worum geht es in der Aufgabe?
  • Wie kann man es in einer Tabelle darstellen?
  • Welche Angaben trage ich in die Zeilen ein und welche in die Spalten einer Tabelle?

Heuristische Hilfsmittel: Lösungsgraphen

Aufgaben mit mehrschrittigen Lösungswegen erfordern in der Regel eine sorgfältige Planung der einzelnen Lösungsschritte. Vorteil eines Lösungsgraphen ist es, dass dieser bei der Bearbeitung eines Problems einen guten Gesamtüberblick vermittelt. Anhand von Lösungsgraphen kann man darüber hinaus auch auf einer Metaebene Strukturen von Lösungswegen miteinander vergleichen und daraus neue Heurismen bis hin zu themenspezifischen heuristische Regeln ableiten.

Heuristische Hilfsmittel: Gleichungen

Gleichungen zeigen Beziehungen zwischen gegebenen Größen auf. Dazu müssen günstige Bezeichnungen (z.B. durch Verwendung von Variablen) eingeführt werden. Zusätzlich wird mit dem Einführen von Variablen die Information reduziert. Dann werden die über die gegebenen Größen vorhandenen Informationen in Formelsprache dargestellt. Nun lässt sie sich eventuell in zielführender Weise mit mathematischen Mitteln umformulieren und dadurch schrittweise lösen. Der einzige Nachteil liegt allerdings in dem Umgang mit Gleichungen, denn dieses Hilfsmittel ist sehr komplex und erfordert die höchsten Abstraktionsleistungen.

Im Unterschied zu einem Algorithmus liefern heuristische Strategien keine Lösungsgarantie für die vorgegebene Problemstellung. Heuristische Strategien geben stets nur wichtige Impulse und Vorgehensweisen zum Weiterdenken. Wichtige Beispiele heuristischer Strategien sind:

  • Vorwärtsarbeiten
  • Rückwärtsarbeiten
  • Kombiniertes Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten
  • Systematisches Probieren
  • Analogieschlüsse
  • Rückführung von Unbekanntem auf Bekanntes

Diese bieten den Problemlösern eine Orientierung beim Bearbeiten, indem die Schülerinnen und Schüler zunächst lernen müssen, bewusste Fragen zu stellen.

Heuristische Strategien: Vorwärtsarbeiten

Beim Anwenden der Strategie des Vorwärtsarbeitens betrachtet der Problemlöser zunächst das Gegebene und versucht davon ausgehend das Gesuchte zu erreichen. Man beginnt also bei einer bestimmten Startsituation und versucht, durch das Arbeiten mit den gegebenen Informationen ein bestimmtes Ziel zu erreichen. Von den vorgegebenen Voraussetzungen wird ausgegangen, aus diesen werden schrittweise Erkenntnisse gewonnen. Darauf aufbauend werden weitere Schlüsse gezogen, bis (wenn man Glück hat) nach mehreren Schritten das gesuchte Ziel erreicht ist. Diese wichtige Problemlösestrategie wird als Vorwärtsarbeiten bezeichnet.

Typische Fragen beim Vorwärtsarbeiten sind:

  • Was ist gegeben?
  • Was weiß ich über das Gegebene?
  • Was kann ich daraus ermitteln?
  • Welche Teilziele kann ich erreichen?
  • Welche Hilfsmittel führen mich weiter?

Heuristische Strategien: Rückwärtsarbeiten

Das Rückwärtsarbeiten ist ein Pendant zu der Strategie des Vorwärtsarbeitens. Beim Rückwärtsarbeiten geht man in entgegengesetzter Richtung vor und versucht, vom Gesuchten zum Gegebenen, von der Behauptung zur Voraussetzung zu gelangen. In Teilschritten werden jeweils Sachverhalte ermittelt, aus denen sich das Ziel schließen lässt. Diese Sachverhalte werden dann zum neuen Ziel und der Vorgang wiederholt sich solange, bis man auf etwas bereits Bewiesenes oder eine Startvoraussetzung aus der Problemstellung stößt.
 
Typische Fragen beim Rückwärtsarbeiten sind:
  • Was ist gesucht?
  • Was weiß ich über das Gesuchte?
  • Was benötige ich, um das Gesuchte zu ermitteln?

Heuristische Strategien: Kombiniertes Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten

Noch effektiver als die Anwendung nur einer dieser beiden allgemeinen Strategien kann die Kombination von Vorwärtsarbeiten und Rückwärtsarbeiten sein. Hierbei wird dann z.B. bei einem mathematischen Beweis sowohl vom Gegebenen als auch vom Gesuchten aus aufeinander zugearbeitet und so versucht, die Lücke zwischen Gegebenem und Gesuchtem zu schließen.

Heuristische Strategien: Systematisches Probieren

Das systematische Probieren ist eine der Bekanntesten heuristischen Strategien. Als typische Vorgehensweise beschreibt das systematische Probieren eine Strategie, die als erster Schritt angewandt wird, wenn die Schülerinnen und Schüler keine andere Bearbeitungsmöglichkeit sehen. Das systematische Probieren ist nicht mit einem Herumprobieren zu vergleichen, sondern – wie der Name schon sagt – ein System dahinter steckt. Grundsätzlich meint das Prinzip das gezielte Suchen nach Zusammenhängen innerhalb des Problems. Es wird dabei versucht, nach einem System vorzugehen, um viele Lösungsmöglichkeiten abdecken zu können.

Systematisches Probieren kann man einsetzen und dabei auch trainieren,

  • wenn man an einem selbst gewählten Beispiel versucht, das Problem besser zu verstehen.
  • wenn man in logisch-kombinatorischen Aufgaben oder Darstellungsproblemen verschiedene Fälle unterscheiden kann.
  • wenn zeitabhängige Prozesse schrittweise nachvollzogen werden.
  • wenn man beim Modellieren Annahmen macht über bestimmte Größen und diese ggf. variiert.

Heuristische Strategien: Analogieschlüsse

Bei der Strategie des Analogieschlusses durchforsten die Schülerinnen und Schüler ihre bisherigen Erfahrungen zum Problemlösen. Dabei stellen diese sich die Frage, ob sie ein ähnliches Problem, wie das vorliegende Problem, bereits gelöst haben. Ist das vorliegende Problem ein Bekanntes, dann haben die Schülerinnen und Schüler die Möglichkeit, sich bei der Lösungsfindung auf die bekannte Vorgehensweise des bekannten Problems zu stützen.
 
Die Musterfragen zu der Strategie der Analogieschlüsse lauten also:
  • Welche Probleme, die ich bereits gelöst habe, waren so ähnlich und wie habe ich diese gelöst?
  • Was kommt dir an dieser Aufgabe bekannt vor?
  • Hast du schon eine ähnliche Aufgabe gelöst?
  • Wie bist du bei einer ähnlichen Aufgabe vorgegangen?

Heuristische Strategien: Rückführung von Unbekanntem auf Bekanntes

Rückführung von Unbekanntem auf Bekanntes: Die Strategie der Rückführung von Unbekanntem auf Bekanntes ist eng mit der Strategie der Analogieschlüsse verknüpft. Man sucht nach Möglichkeiten, Situationen für Analogieschlüsse zu erzeugen. Dabei wird ein Umstrukturieren, Erweitern oder Aussondern von Informationen verlangt, um diese Analogieschlüsse zulassen zu können. Dieses Umstrukturieren wird mit dem Ziel gemacht, die Problemaufgabe mit Hilfe der Strategie der Analogieschlüsse einer schon bearbeiteten Aufgabe zuzuordnen.

Heuristische Prinzipien beschreiben solche Vorgehensweisen, die mit den Beweglichkeitsqualitäten des Denkens Aspektwechsel und Aspektbeachtung korrespondieren. Sie sind deutlich stärker an Fachinhalte gebunden als die Strategien, lassen aber auch vielfältige Bezüge zum Problemlösen im Alltag erkennen. Wichtige Beispiele heuristischer Prinzipien sind:

  • Zerlegungs- und Ergänzungsprinzip
  • Invarianzprinzip
  • Symmetrieprinzip
  • Transformationsprinzip
  • Fallunterscheidungsprinzip
  • Extremalprinzip

Heuristische Prinzipien: Zerlegen und Ergänzen

Zerlegen und Ergänzen sind zueinander komplementäre Vorgehensweisen. Hierbei wird eine Problemstellung so umgewandelt, dass man etwas Bekanntes erhält. Das Zerlegungsprinzip orientiert auf das Suchen nach bekannten Elementen in der Gesamtheit der Informationen der Aufgabenstellung durch Zergliedern und ggf. akzentuiertes Zusammenfügen der Informationsmenge. Zerlegen kann hierbei verstanden werden als:
  • Rechenoperation des Dividierens
  • Anzahl der Teiler einer Zahl
  • Unterteilung in Sinneinheiten oder in Vielecke
Ergänzen zeigt neue Berechnungszugänge z.B. bei der Ergänzung eines Vielecks oder der quadratischen Ergänzung zur Lösung quadratischer Gleichungen. Zerlegen und Ergänzen finden häufig Anwendung in folgenden Themenbereichen:
  • Quadratische Gleichungen durch quadratische Ergänzung lösen
  • Termumformungen (Setzen und Auflösen von Klammern)
  • Beweise zur Flächeninhaltsformel von Dreieck und Parallelogramm.

Heuristische Prinzipien: Invarianzprinzip

Invarianz heißt „Unveränderlichkeit“ und bedeutet: Es gibt mindestens eine Sache, die sich nicht verändert, auch wenn sich insgesamt in der Situation Dinge ändern. Unter dem Invarianzprinzip versteht man das Suchen nach Konstanten, Bezugsgrößen oder Gemeinsamkeiten in den Informationen der Aufgabenstellung. Einerseits geht es darum, Größen, Eigenschaften und funktionale Beziehungen zu finden, die konstant bzw. bei allen Angaben gleich sind.
Sie kennen das Invarianzprinzip auch aus dem Alltag: Wenn man zum Beispiel ein großes Puzzle zusammensetzt, dann fangen viele damit an, dass sie erst alle Randstücke heraussuchen und zusammensetzen. Die haben nämlich eins gemeinsam: Eine Seite ist ganz gerade. Damit lassen sie sich ganz leicht aus der großen Menge der Stücke herausfinden.

Hilfreiche Fragen beim Anwenden des Invarianzprinzips sind z.B.

  • Was ändert sich nicht?
  • Was haben alle Objekte gemeinsam?
  • Welche Größen bleiben gleich?

Heuristische Prinzipien: Symmetrieprinzip

Das Symmetrieprinzip als heuristisches Prinzip meint das Suchen nach Symmetrien (Identitäten, Musteranalogien) zwischen den Elementen der durch die Problemstellung gegebenen Informationsmenge. 

Heuristische Prinzipien: Transformationsprinzip

Mit diesem Prinzip soll ein Aspektwechsel gestützt werden in Form eines innermathematischen Modellierens. Gemeint ist der Übergang in eine Modellebene mit folgenden Impulsen:
  • Suche nach anderen mathematischen Beschreibungsmöglichkeiten für das Gegebene und Gesuchte.
  • Variiere die Bedingungen. Betrachte Gegebenes und Gesuchtes in verschiedenen Zusammenhängen.
  • Zerlege, ergänze oder verknüpfe mit Neuem. 

Dadurch kann zur Lösung des Problems auch auf für das übertragene Stoffgebiet bekannte Verfahren, Sätze und Begriffe zurückgegriffen werden – und insbesondere kann dieses nach analogen Aufgaben durchforstet werden. Als offensichtliche Anwendung dieses Prinzips kann etwa die geometrische Interpretation von Termen gelten.

Heuristische Prinzipien: Fallunterscheidung

Quasi einen Spezialfall des Zerlegungsprinzips stellt das Fallunterscheidungsprinzip dar. Hinter diesem Prinzip steckt einerseits das aus der Fachmathematik bekannte Unterscheiden aller verschiedenen Ausgangssituationen, die bei einem Problem auftreten können, und deren spezifische Lösung. Dies kann dabei helfen, sich das Problem zu strukturieren und es übersichtlicher und somit einfacher zu machen. Andererseits meint das Prinzip, dass der Problemlöser – auf einem etwas höheren Abstraktionsniveau – ganze Klassen von Aufgaben unterscheidet und sich so einen Wissensspeicher für künftige Probleme anlegt. 

Die Musterfrage zu dem Prinzip der Fallunterscheidung lautet also:

  • Welche verschiedenen Ausgangsituationen treten auf?

Heuristische Prinzipien: Extremalprinzip

Ähnlich wie beim Invarianzprinzip wird beim Extremalprinzip versucht, die Angaben aus der Aufgabenstellung zu variieren, aber hier insofern, dass für eine Bezugsgröße ein „extremer“ Wert ausgewählt wird, d.h. der größt- oder kleinstmögliche oder sonst der am Rand liegende. Betrachtet man nun ein solches extremes Element für eine bestimmte Bedingung (und behält ggf. die anderen Rahmenbedingungen gleich), so kann man häufig auf eine gewisse Konstanz, eine Grenze oder aber auch einfach auf die restlichen fehlenden Größen und damit auf die Lösung schließen. 

Aufgaben sind ein zentrales Element des Mathematikunterrichts. Anforderungsniveau und -struktur a priori richtig zu bewerten, ist aus Sicht der „Passung“ von Informationsangebot und sachstrukturellem Entwicklungsstand Voraussetzung für Leistungsmotivation und Lernerfolg. Die Identifizierung von Aufgabenmerkmalen, die das Anforderungsniveau qualitativ und quantitativ zuverlässig und valide beschreiben, trägt zur Verbesserung der diagnostischen Fähigkeiten von Lehrenden.
 
Hier werden die folgenden vier Aufgabenmerkmale benutzt, um die jeweilige Aufgabenanforderung analysieren zu können:

  1. Sprachlogische Komplexität
  2. Kognitive Komplexität
  3. Formalisierung von Wissen
  4. Formelhandhabung (Cohors-Fresenborg, Sjuts, & Sommer, 2004). 

Im Folgenden sind die vier Merkmale und dazugehörige Stufen detailliert beschrieben (Cohors-Fresenborg, Sjuts, & Sommer, 2004, S. 112–120). Am Ende stelle ich das Zuordnungsschema vor.
 
Das Merkmal „Sprachlogische Komplexität“ erfasst Anforderungen beim Identifizieren und Verstehen von relevanten Informationen eines (durch logische Struktur und sprachliche Verflechtung geprägten) Aufgabentextes, bevor diese in eine mathematische Beschreibung und Bearbeitung überführt werden.
Dieses Merkmal beinhaltet Anforderung auf

  • Stufe 0, wenn die Reihenfolge der Sätze bzw. der Satzteile den Schritten der mathematischen Bearbeitung entspricht.
  • Stufe 1, wenn die Reihenfolge der Sätze bzw. der Satzteile nicht unmittelbar den Schritten der mathematischen Bearbeitung entspricht. Mehrere Haupt- und Nebensätze, auch sprachliche Rückbezüge treten auf oder sich um einen längeren Text handelt, in dem sowohl relevante als auch irrelevante Informationen vorkommen.
  • Stufe 2, wenn die Reihenfolge der Sätze bzw. der Satzteile den Schritten der mathematischen Bearbeitung in erschwerter Weise oder gar nicht entspricht. Die logischen Bezüge sind nur verdeckt vorhanden, die im Text erhaltenen Informationen sind nicht unmittelbar für die mathematische Bearbeitung zu übernehmen. Dabei kann sich um mehrere (verzweigte) Haupt- und Nebensätze handeln, die sprachliche Verflechtungen und Rückbezüge aufweisen. Es können logische Funktionen (Negation, Implikation, Äquivalenz) oder All- oder Existenzquantifizierungen auftreten.

Das Merkmal „Kognitive Komplexität“ erfasst Anforderungen an Ausmaß, Intensität und Vielschichtigkeit von Denkvorgängen beim Lösen einer Aufgabe – insbesondere, wenn im Lösungsprozess die Gleichzeitgkeit oder das verketten von Denkschritten in einer zu beachtenden Reihenfolge organisiert werden muss.
Dieses Merkmal beinhaltet Anforderung auf

  • Stufe 0, wenn nur wenige Denkvorgänge nacheinander abzuarbeiten sind.
  • Stufe 1, wenn Denkvorgänge nacheinander oder parallel abzuarbeiten sind, Zusatzüberlegungen nötig sind und Nebenbedingungen zu berücksichtigen sind.
  • Stufe 2, wenn die Auswahl von Denkvorgängen der Bearbeitung vorangehen muss, wenn Vorüberlegungen mit der Berücksichtigung von Nebenbedingungen anzustellen sind, wenn evtl. Fallunterscheidungen auftreten, wenn heuristische, strategische, strukturierenden und metakognitive Überlegungen die Denkvorgänge begleiten.

Das Merkmal „Formalisierung von Wissen“ erfasst Fähigkeiten des Abstrahierens und Formalisierens einerseits des Erfassens und abstrakten Vorstellens formaler Ausdrücke (Terme, Gleichungen, Funktionen) andererseits. Die Nutzung dieses Werkzeugs kann auch dann zur Reduzierung des gedanklichen Aufwands beim Lösen einer Aufgabe beitragen, wenn eine formale Repräsentation gar nicht explizit gefordert wird.
Dieses Merkmal beinhaltet Anforderung auf

  • Stufe 0, wenn lediglich Präzisierung oder Symbolisierungen in tabellarischer, graphischer oder rechnerischer Form zur Lösung zu erstellen oder vorliegende überschaubare Repräsentationen zu erfassen sind.
  • Stufe 1, wenn zur Lösung sehr einfache Darstellungskontexte (z.B. Funktionsterme) zu erfinden oder zu verstehen sind.
  • Stufe 2, wenn zur Lösung einfache Darstellungskontexte (z.B. Funktionsterme) eigenständig zu erbringen sind oder wenn die in einer Anforderung liegende Schwierigkeiten durch den Rückgriff auf eine eigenständig zu erbringenden symbolische Repräsentation wesentlich durchschaubarer wird.

Das Merkmal „Formelhandhabung“ erfasst kognitive und metakognitive Fähigkeiten, formale mathematische Ausdrücke zuverlässig zu handhaben, insbesondere Terme umzuformen oder Gleichungen zu lösen.
Dieses Merkmal beinhaltet Anforderung auf

  • Stufe 0, wenn algebraische Operationen so gut wie gar nicht erforderlich sind.
  • Stufe 1, wenn Termumformungen oder Lösungsroutinen in einem überschaubaubaren Maß erforderlich sind und auf einfache Weise gesteuert und kontrolliert werden können.
  • Stufe 2, wenn eine höhere Anzahl algebraischer Schritte mit einem ausgewählten, zielgerichteten und kontrollierten Einsatz aus einem unter Umständen umfangreichen algebraischen Repertoire auszuführen ist.

Um jede Aufgabe einem Schwierigkeitsgrad zuordnen zu können, werden Punkte nach folgendes Schema gegeben: Stufe 0 – 0 Punkte, Stufe 1 – 1 Punkt, Stufe 2 – 2 Punkte. Die Aufgaben werden

  • mit * gekennzeichnet, wenn zwischen 0 und 2 Punkten vergeben werden.
  • mit ** gekennzeichnet, wenn zwischen 3 und 5 Punkten vergeben werden.
  • mit *** gekennzeichnet, wenn zwischen 6 und 8 Punkten vergeben werden.


Bei der Bearbeitung der Aufgaben sowie bei deren Besprechung nimmt die Lehrerin bzw. der Lehrer eine unterstützende Rolle ein. Im Konkreten bedeutet dies, dass im Falle von Schwierigkeiten beim Lösen der Aufgabe(n) von der Lehrerinn bzw. dem Lehrer verschiedene Arten von Lernhilfen gegeben werden können. Beim Geben von Lernhilfen ist darauf zu achten, das Prinzip der minimalen Hilfe einzuhalten. Es sollte immer nur soviel Hilfe gegeben werden, wie die Schülerin bzw. der Schüler gerade benötigt um weiterzukommen. Hierbei wird der Schülerin bzw. dem Schüler nur dann geholfen, wenn der Lernprozess behindert ist; es wird ihr bzw. ihm nur gerade so viel geholfen, um diesen wieder in Gang zu bringen. Oder anders gesagt – so viel wie nötig, so wenig wie möglich. Dabei kann man sich an folgender Abstufung nach Zech (1998) orientieren:

  1. Motivationshilfen
  2. Rückmeldungshilfen
  3. Allgemein-strategische Hilfen
  4. Inhaltsorientierte strategische Hilfen
  5. Inhaltliche Hilfen 

Motivationshilfen sollen das Durchhaltevermögen der Schülerinnen und Schüler fördern.

Rückmeldungshilfen geben den Schülerinnen und Schülern Auskunft darüber, ob sie sich auf dem richtigen Weg befinden.

Allgemeine strategische Hilfen (oder prozessorientierte Hilfen) geben Hinweise darauf, wie der Lösungsprozess sinnvoll gestaltet werden kann. Sie beziehen sich auf die heuristischen Strategien (vgl. Pólya, 1945/1973).

Inhaltsorientierte strategische Hilfen beinhalten stets auch einen mathematischen Aspekt und machen auf fachbezogene Problemlösestrategien aufmerksam (vgl. Pólya, 1945/1973).

Inhaltliche Hilfen geben spezielle Hinweise auf Begriffe und Regeln, auf bestimmte Zusammenhänge zwischen diesen, auf ganz bestimmte Größen oder Linien.

 

Die folgende Tabelle soll eine Übersicht über die für das mathematische Problemlösen relevanten Hilfestellungen mit ein paar Beispielen geben.

Motivationshilfen Rückmeldungshilfen Allgemeine strategische Hilfen Inhaltsorientierte strategische Hilfen Inhaltliche Hilfen
Ich traue Dir zu, dass Du es schaffst. Du bist auf dem richtigen Weg.
 
Fertige doch eine Skizze an. Überprüfe die Größenordnung. Kann das sein? Welche Winkel der Planfigur kannst du berechnen?
  Das müsstest Du noch mal überprüfen. Unterstreiche das Wichtige. Überprüfe dein Ergebnis am Text! Suche gleichschenklige Dreiecke. Was weißt du über die Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck?
  Du stehst kurz vor der Lösung! Wie beginnen wir bei Problemaufgaben? Gibt es Hilfslinien, die dir weiterhelfen könnten?
 
Was kannst du über die Winkel in den gleichschenkligen Dreiecken sagen?
  Mach weiter so! Kennst du eine ähnliche Aufgabe? Was hat dir dort geholfen? Kannst du bekannte Sätze über Winkel anwenden? Was kannst du über den Nebenwinkel in D sagen?
    Überprüfe deinen Lösungsweg! Gibt es besondere Dreiecke, die dir weiterhelfen können? Wie lautet der 2. Strahlensatz?
 


Wie kann man als Lehrkraft mit der Unterschiedlichkeit der Lernenden im Unterricht produktiv umgehen? Neben den Lernhilfen die leistungsschwächeren Schülerinnen und Schülern zur Verfügung gestellt werden können, gibt es einige Möglichkeiten der Vereinfachung und Komplexitätssteigerung jeder Aufgabe. Dadurch können die leistungsschwächeren Schülerinnen und Schüler gefördert werden und die leistungsstärkeren Schülerinnen und Schüler gefordert werden. Es geht jeweils darum, jeden der tragenden Begriffe bzw. der mathematischen Objekte einer bekannten Aussage oder einer vorgegebenen Aufgabe abzuändern. In einer solchen Differenzierung versucht die Lehrkraft, für jede Schülerin und für jeden Schüler ein speziell zugeschnittenes Programm (z.B. durch einzelne Aufgaben) anzubieten. Dabei sind mathematische Phantasie und mathematisches Vorwissen gleichermaßen erlaubt!
 
Hier bitten sich folgende Strategien für Aufgabenvariation nach Schupp (2002) an:

  • geringfügig ändern („wackeln“)
  • analogisieren („ersetzen bzw. ändern“)
  • verallgemeinern („weglassen“)
  • spezialisieren („hinzufügen“)
  • Schwierigkeitsgrad abändern („schwerer oder leichter machen“)
  • Grenzfälle betrachten („ausloten“)
  • Daten ändern („aktualisieren“)
  • visualisieren („sichtbar machen“)
  • Lücken beheben („dicht machen“)
  • zerlegen („trennen“)
  • kombinieren („vereinigen“)
  • umzentrieren („Blick wechseln“)
  • umkehren („Richtung wechseln“)
  • Kontext ändern („Rahmen wechseln“)
  • iterieren („weitermachen“)
  • Anders bewerten („interessant machen“)
  • Frage anschließen („nachfragen“)
  • kritisieren („verbessern“)
  • Variation variieren („ausweiten“)
  • einen Umweltbezug herstellen („anwenden“) 

Auf dieser Plattform werden verschiedene Strategien benutzt, um möglich reichhaltiges Angebot an Problemlöseaufgaben für alle Schülerinnen und Schüler zu erschaffen. Konkret für jede Aufgabe ist mindestens jeweils eine Differenzierungsmöglichkeit für die schwächeren Schülerinnen und Schüler bzw. für die stärkeren Schülerinnen und Schüler vorhanden.

Darüber hinaus finden Sie auch besondere Aufgabenformate die sich für alle Schülerinnen und Schüler eignen.