Das Strohhalmproblem

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Klasse Schulstufe Thema Themengebiet Schwierigkeit
8/ 9 Sekundarstufe I Größen mit Hilfe des Satz des Pythagoras bestimmen Größen und Messen, Raum und Form *, **

Aufgabenstellung

Während der Hofpause möchte Lina etwas trinken und holt ihr Trinkpäckchen aus der Schultasche heraus. Als sie den Strohhalm in das Päckchen steckt, verschwindet dieser komplett und Lina kann nicht trinken.

  1. Miss die Breite, Länge und Höhe des vor dir stehenden Trinkpäckchens und zeichne maßstabsgetreu ein Schrägbild.
  2. Wie lang muss der Strohhalm sein, sodass er nicht im Trinkpäckchen verschwindet?

Quellenangabe:

Trinkpäckchen Orange (1998). Erinnert ihr euch noch an die guten alten Trinkpäckchen [online]. Verfügbar unter: http://abload.de /img/1017011_1015176612039jduye.jpg [22.01.2015]


Schritt 1:  Miss die Breite, Höhe und Länge des Trinkpäckchens.

     Durch das Abmessen der Seiten des Trinkpäckchens erhält man folgende Maße:

    - für die Länge a = 6,5 cm

    - für die Breite b = 4,3 cm

    - für die Höhe  c = 8,6 cm

 

Schritt 2: Fertige eine maßstabsgetreue Zeichnung in Form eines Quaders an.

     Das Trinkpäckchen lässt sich als Quader ABCDEFG zeichnen.

Schritt 3: Suche die längste Strecke im Trinkpäckchen und zeichne sie ein.

 

Schritt 4: Ermittlung von Dreiecken in der Zeichnung

 

 

Schritt 5: Abmessung geeigneter Strecken am gegebenen Trinkpäckchen und Berechnung

    Nachdem die Strecke d im Trinkpäckchen eingezeichnet wurde, misst man diese. Daraus ergibt sich für die Strecke d = 7,7 cm.

   Um die Ausgangsfrage (Wie lang muss der Strohhalm sein, sodass er nicht im Trinkpäckchen verschwindet?) zu beantworten, muss die Diagonale von dem Eckpunkt H der  oberen Grundfläche zum gegenüberliegenden Eckpunkt B der unteren Grundfläche berechnet werden. Um diese Diagonale zu berechnen, denkt man sich ein rechtwinkliges Dreieck BDH in das Trinkpäckchen. Nun kann man den Satz des Pythagoras nutzen und die gesuchte Hypothenuse zu den Katheten HD und DB berechnen:

   (7,4 cm)² + (8,6 cm)² = BH²

   11,1 cm = BH

   Die Diagonale vom Eckpunkt B zum Eckpunkt H des Trinkpäckchens hat eine Länge von 11,1 cm.

Schritt 6: Berechnung der fehlenden Strecke d

     Einige SuS kommen vielleicht auf die Idee die Strecke BD rechnerisch zu ermitteln. Und zwar mit dem Satz des Pythagoras, indem sie die Länge und Breite der Bodenfläche nutzen. Es gilt dann:

(4,3 cm)² + (6,5 cm)² = BD²

                         BD = 7,7 cm

    Nun kann die gesuchte Diagonale HB analog wie im Schritt darüber (Abmessung geeigneter Strecken am gegebenen Trinkpäckchen) berechnet werden.

Antwortsatz: Der Strohhalm des Trinkpäckchens muss mindestens 11,1 cm lang sein, sodass er nicht mehr hinein rutscht.

 


 

"Die Schülerinnen und Schüler erkunden Beziehungen zwischen geometrischen Figuren, verstehen wesentliche Sätze und wenden diese zur Lösung von inner- und außermathematischen Problemen an."
Ministerium für Bildung, Jugend und Sport Land Brandenburg (2008)
 
Dabei nutzen die Schülerinnen und Schüler dynamische Geometriesoftware. Ausgehend von einem anschaulichen Verständnis des Lehrsatzes von Pythagoras nimmt dieser eine zentrale Position in diesem Themenfeld ein. Er findet Anwendung bei der Lösung vielfältiger inner-und außermathematischer Probleme. Die erworbenen Fertigkeiten zur Lösung von geometrischen Problemen in der Ebene werden auf den Raum übertragen, wodurch die Schülerinnen und Schüler ihr räumliches Vorstellungsvermögen weiterentwickeln. Körper werden dargestellt und Längen berechnet.

Diese Aufgabe kann man in Jahrgangsstufe 8 im Themenfeld Geometrie (Raum und Form) anwenden. Die SuS müssen sich hier mit dem Satz des Pythagoras und rechtwinkligen Dreiecken beschäftigen. Sie berechnen mit Hilfe des Satzes von Pythagoras Streckenlängen und sind in der Lange diese zu konstruieren.

 


 


Prozessbezogene Kompetenzen
Die Aufgabe umfasst bezüglich der prozessbezogenen Kompetenzen in erster Linie den Bereich „Probleme mathematisch lösen“. Es handelt sich um eine Aufgabe mit Anwendungsbezug, bei der die erste Hürde für die Schülerinnen und Schüler (abg. SuS) bereits darin gegeben ist, dass keine Skizze angegeben ist. Die Schüler müssen sich dieses Hilfsmittel selbst konstruieren anhand der im Text vorhandenen Angaben. Die SuS sollen zwar bereits mit all diesen Fertigkeiten vertraut sein, allerdings liegt die Schwierigkeit der Aufgabe darin, dass der Lösungsweg in keiner Weise vorgegeben ist, sodass die SuS selbst erarbeiten müssen, welche Lösungsschritte sich zum Lösen der Aufgabe eignen. Alternative Lösungswege, wie beispielsweise die Anwendung vom Strahlensatz können natürlich ebenfalls angewendet werden.
 
Der zweite prozessbezogene Kompetenzbereich der in dieser Aufgabe trainiert wird ist „Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen umgehen“. Unter diesen Punkt fällt zum Beispiel das Umformen und Lösen von Gleichungen, welches für die Lösung der Aufgabe grundlegend ist. Zudem wird allerdings auch der Umgang mit Skizzen geübt. Zwar ist dieser in der Aufgabe nicht direkt gefordert, jedoch können die Schüler erfahren, dass eine Skizze ein sehr hilfreiches Mittel darstellen kann. Zugleich müssen sie dann selbstständig eine geeignete Skizze anfertigen.
 
Inhltsbezogene Kompetenzen
Neben den prozessbezogenen Kompetenzbereichen werden auch inhaltliche Kompetenzen geschult. Dazu zählt in erster Linie der Bereich „Funktionaler Zusammenhang“. Die SuS müssen die Gleichungen aufstellen und durch Umformung lösen. Zudem sind jedoch auch Kenntnisse aus dem Bereich „Raum und Form“ gefordert. In der Aufgabenstellung tauchen bereits die Begriffe „Kathete“ und „rechtwinkliges Dreieck“ auf, was selbstverständlich voraussetzt, dass die SuS damit vertraut sind und wichtige Sätze zur Lösung korrekt anwenden können. Zum Schluss wird natürlich auch der Bereich „Größen und Messen“ abgedeckt. Es wird schließlich gefordert ein Rechteck mit maximaler Fläche zu bestimmen, was natürlich voraussetzt, dass die SuS den Flächeninhalt korrekt berechnen können.

Heuristische Hilfsmittel: 
  • Dies ist eine geometrische Aufgabe. Da hier die maßstabsgetreue Zeichnung gefordert ist, kann dies direkt als informative Figur genutz werden, da die geforderte Strecke vom Programm exakt berechnet/ ausgegeben werden kann. Des Weiteren wäre es sinnvoll, wenn die SuS die Eckpunkte und Strecke zweckmäßig bezeichnen, z.B.Eckpunkt A.
Heuristische Strategien: 
  • Bei dieser Aufgabe ist ein Vorwärtsarbeiten möglich. Jedoch kann ein Rückwärtsarbeiten bei der rechnerischen Lösung auch sinnvoll sein, da die SuS sich überlegen, welche Strecke bzw. welchen Winkel man im Idealfall zum Berechnen der Aufgabe benötigt um im Anschluss daran die Aufgabe schnellstmöglich zu lösen.
  • Ein systematisches Probieren kann hier auch zu einer schnellen Lösung der Aufgabe führen, indem die SuS schauen, wo die Längste Strecke in ihrer Zeichnung zu finden sei bzw. die Strecken nachmessen.
  • Analogieschlüsse können sinnvolle Hilfen zur Lösungsfindung darstellen, sofern schon Aufgaben solcher Art gestellt und berechnet wurden.
Heuristische Prinzipien: 
  • Das Prinzip vom Zerlegen und Ergänzen findet hier insofern Anwendung, dass die Problemstellung so umgewandelt wird, dass man bekanntes erhält. Der 3-dimensional Quader wird in 2-dimensionale Flächen (Rechtecke, Dreiecke) zerlegt. Ergänzt werden muss hier die fehlende Dreieckseite HB.

Allgemeine Analyse

Der Schwierigkeitsgrad wird vornehmlich dadurch bestimmt, dass die Diagonale ermittelt werden muss. Es kann je nach Vorwissen leicht erkennbar sein oder einiges an Ausprobieren erfordern. Die Rückführung auf Dreiecke ist natürlich nur möglich, wenn dies bereits behandelt wurden. Hier ist der zeitliche Abstand wichtig, denn wenn der Satz des Pythagoras gerade behandelt wurde, ist der Rückschluss darauf leichter zu vollziehen.

Da dieser Aufgabe zwischen 2 und 3 Punkten vergeben wurden, wurde diese Aufgabe mit * und ** gekennzeichnet. Hier die Analyse:

Sprachlogische Komplexität: 

Die Aufgaben besteht aus einer lebensnahen Einführung und zwei konkreten Aufgabenstellungen 1. und 2.:

1. ist ein Satz der eine genaue Handlungsanweisung beinhaltet.

2. ist die eigentliche Fragestellung in einem Hauptsatz mit erläuternden Nebensatz.

Obwohl auch 1. relativ leichte durchführbare Anweisung beinhaltet ist 2. die eigentliche Problemstellung. Hier wird weder direkt die Strecke vorgegeben die zu suchen ist, noch weitere Hilfen oder Strategien erwähnt.

1. entspricht Stufe 0 und 2. hingegen eher Stufe 1.

Kognitive Komplexität: 

Da bei der Modellierung der informativen Figur eine Überlegung erforderlich ist, bevor das bekannte Modell des rechtwinkligen Dreieckes (Satz des Pythagoras) herangezogen werden kann, ordnen wir die Aufgabe der Stufe 1 zu.

Formalisierung von Wissen: 

Da lediglich zu erkenne ist, welches die Längste Strecke innerhalb des Quaders ist und Zerlegung in Dreiecke vorgenommen werden muss und Terme/Gleichungen erstellen, ist die Aufgabe hinsichtlich der Formalisierung von Wissen der Stufe 1 zuzuordnen.

Formelhandhabung: 

Die Formelhandhabung entspricht der Stufe 0, da algebraische Operationen so gut wie gar nicht erforderlich sind.  Einzig der Satz des Pythagoras findet hier Anwendung (Einsetzen, Ausrechen, keine Umformung/ Umstellung von Termen).


Hilfestellungen: 

Die Aufgabenstellung beinhaltet eine heuristische Hilfe (informative Figur). Weitere Hilfestellungen sind:

Allgemein-strategische Hilfe Inhaltsorientierte-strategische Hilfe Inhaltliche Hilfen
Was ist in der Aufgabe gegeben? Was ist gesucht? Sie dir die Figur genau an. Erkennst du Möglichkeiten bekannte Sätze anzuwenden? Welche Dreiecksätze kennst du?
Hast du schon einmal eine ähnliche Aufgabe bearbeitet? Wie bist du vorgegangen? Suche weitere nicht eingezeichnete, sinnvolle Strecken und zeichne sie ein. Welche Sätze finden hier Anwendung und welche nicht?
Kannst du die Aufgabe auf die alte Aufgabe übertragen? Was fehlen dir für Größen im Vergleich zur alten Aufgabe? Welche Sachen kommen dir hier bekannt vor? Kannst du den Satz des Pythagoras anwenden? Wenn ja, wo? Wenn nein, warum nicht?
Sozialformen: 

Bei der Umsetzung dieser Aufgabe sind mehrere Sozialformen anwendbar. Bevorzugen wir die Partnerarbeit, da hier die Vorteile von Zusammenarbeit greifen. Allerdings jeder SuS sich einbringen muss. Bei der Gruppenarbeit hingegen besteht die Gefahr, dass Leistungsschwache SuS sich nicht intensiv genug mit der Aufgabe beschäftigen. Natürlich kann die Aufgabe auch einzeln bearbeitet werden. Hier besteht die Gefahr das die vom SuS bevorzugten Strategien und Lösungswege nicht zielführend sind und der Knackpunkt der Zerlegung der Dreiecke nicht entdeckt wird und die weitere Bearbeitung nicht möglich ist.

Differenzierungsmöglichkeiten: 
Hinweise für die leistungsschwächeren Schülerinnen und Schüler 
  • Anfertigung von Hilfekärtchen in verschiedenen Hilfegraden (von leicht Hinweisen bis konkreten Lösungsvorschlägen)
  • Anleitung zur Erstellung zur Figur im geometrischen Computeralgebrasystemen
Hinweise für die leistungsstärkeren Schülerinnen und Schüler 
  • Kürzere Aufgabenstellung ohne Hinweis auf die informative Figur (Aufgabendifferenzierung)
  •  Weiterführende Aufgabe mit maximalen Schwierigkeitsgrad (z.B. allgemeine Formel für die Diagonale im Quader)

Mit dieser Aufgabe kann man den Umgang mit geometrischen Computeralgebrasystemen festigen. Des Weiteren ist es eine Anwendungsaufgabe des Satzes von Pythagoras, wobei man vom 3-dimensionalen in den 2-dimensionalen Raum übergeht. Diese Aufgabe dient zur Festigung (produktives Üben) vom bereits erlangten Wissen über Dreiecke.



Bearbeitet von: Christin Behrendt, Johanna Rűtenik & Ana Kuzle
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