Dreiecksseiten

Klasse Schulstufe Thema Themengebiet Schwierigkeit
5/ 6/ 7/ 8 Primarstufe, Sekundarstufe I Umfang von Dreiecken Größen und Messen **, ***

Aufgabenstellung

In einem Dreieck ist die Seite b um 2 cm länger als die Seite a und um 3 cm kürzer als die Seite c. Der Umfang beträgt 25 cm. Wie lang sind die Seiten des Dreiecks? Überlege zunächst: Was ist gegeben? Was ist gesucht? Wie kannst du das Problem veranschaulichen?

 

 

 

Quellenangabe:

MatheWelt - Das Schülerarbeitsheft, 5.-9. Klasse, S.4. Aufgabe: 2.) Dreiecksseiten (ab 5. Klasse)


Lösung 1 - Lösung mithilfe einer Informativen Figur
 
 
gegeben: Dreieck mit den Seitenlängen \(a\), \(b\) und \(c\), wobei \(b=a+2\) und \(c=b+3=a+5\).

 

Lösung:

Die Seiten des Dreiecks lassen sich "auseinanderklappen", sodass sich der Umfang des Dreiecks von \(25 cm\) als Gerade mit \(25\) Kästchen darstellen lässt. Auf der rechten Seite können zwei Kästchen markiert werden, da die Seite \(b\) um \(2 cm\) länger als die Seite \(a\) ist. Auf der linken Seite können fünf Kästchen markiert werden, da die Seite \(c\) um \(3 cm\) länger als die Seite \(b\) ist und somit um \(5 cm\) länger als die Seite \(a\).

 

Es bleiben \(18\) Kästchen übrig. Diese werden nun durch drei dividiert, sodass die Seiten des Dreiecks in der Skizze markiert werden können.
 

 

Durch Abzählen lassen sich die Seitenlängen des Dreiecks ermitteln:
 

Die Seiten des Dreiecks sind demnach \(a = 6 cm\), \(b = 8 cm\) und \(c = 11 cm\) lang.

 
 
 
 
Lösung 2 - Lösung mithilfe von Gleichungen

 

gegeben:

  • Dreieck mit \(U = a + b + c = 25 cm\)
  • \(b=a+2\), also \(a = b - 2\)
  • \(b=c-3\), also \(c = b +3\)
 

Lösung:

Für den Umfang des Dreiecks gilt:

 

\(U = a + b + c = 25\)

 

Durch Einsetzen von \(a=b-2\) und \(c=b+3\) ergibt sich:

 

  \((b-2) + b + (b+3) = 25\)  
\(\Leftrightarrow \) \(3b+1 = 25\) \(|-1\)   \(|:3\)
\(\Leftrightarrow \) \(b = 8\)  

 

Durch Einsetzen von \(b = 8\) in \(a = b - 2\) und \(c = b + 3\) ergibt sich:

 

\(a = 8-2=6\)     ^     \(c=8+3 = 11\)

 

Das Dreieck hat somit die Seitenlängen \(a = 6 cm\), \(b = 8 cm\) und \(c = 11 cm\).

 

 

Alternative Lösung:

Druch Einsetzen von \(b = a + 2\) ergibt sich für den Umfang des Dreiecks:

 

\(a+a+2+c =25\)

 

Die Seite \(b\) ist \(3 cm\) kürzer als \(c\) (\(b = c-3\)), oder \(c\) ist \(3 cm\) länger als \(b\) (\(c=b+3\)). Damit ergibt sich für den Umfang:

 

\(a+a+2+b+3=25\)

 

Setze für \(b\) wieder \(a + 2\) ein:

 

  \(a+a+2+a+2+3 =25\)  
\(\Leftrightarrow \) \(3a+7 =25\) \(|-7\)
\(\Leftrightarrow \) \(18 = 3 a\)  

 

Also ergibt sich \(a =6 cm\).

Damit ist \(b = a + 2 = 6cm + 2cm =8cm\) und \(c = b + 3 cm\), also \(c = 8 cm + 3cm = 11cm\).

 

 

 

Lösung 3 -  Lösung mithilfe einer Tabelle

gegeben:

  • \(U = a+b+c =25\)
  • \(b = a + 2\)
  • \(b = c - 3\), also \(c = b + 3\)

 

Lösung:

Wähle für \(a\) verschiedene Werte und ermittle die zugehörigen Werte \(b\), \(c\) und \(U\):

\(a\) \(b=a+2\) \(c=b+3\) \(U=a+b+c\)
1 3 6 10
3 5 8 16
7 9 12 28
6 8 11 25

 

Mit den Seitenlängen \(a = 6 cm\), \(b = 8 cm\) und \(c = 11 cm\) ergibt sich der Umfang von \(25 cm\) des Dreiecks.

 


Die Aufgabe Dreiecksseiten wird im Heft MatheWelt ab der fünften Klasse empfohlen. Da die formulierten inhaltsbezogenen Kompetenzen bezüglich des ersten und dritten Lösungsweges den Niveaustufen C und D entsprechen (vgl. Abschnitt "Geförderte Kompetenzen"), ist ein Einsatz ab dieser Klasse auch sinnvoll. Sie lässt sich in dieser Jahrgangsstufe im Rahmen der Unterrichtsthematik Umfang von Dreiecken einsetzen. Die geförderten inhaltsbezogenen Kompetenzen durch den zweiten Lösungsweg entsprechen allerdings den Niveaustufen E unf F des brandenburgischen Rahmenlehrplans für das Fach Mathematik, weshalb sich die Aufgabe auch in der siebten oder achten Klasse im Zusammenhang mit der Umformung linearer Gleichungen mit unterschiedlichen Variablen einsetzen lässt (vgl. Abschnitt "Geförderte Kompetenzen").

 

 

 

 


Mit der Aufgabe "Dreiecksseiten" werden inbesondere die inhaltsbezogenen Kompetenzbereiche [L2] Größen und Messen sowie [L4] Gleichungen und Funktionen des brandenburgischen Rahmenlehrplans Mathematik für die Jahrgangsstufen 1-10 (vgl. LISUM, 2015), der ab dem Schuljahr 2017/18 gültig ist, gefördert. In Bezug auf die prozessbezogenen Kompetenzen werden insbesondere die Bereiche [K2] Probleme mathematisch lösen, [K4] Mathematische Darstellungen verwenden und [K5] Mit symbolischen, formalen, technischen Elementen der Mathematik umgehen angesprochen.

 

 

Inhaltsbezogene Kompetenzformulierungen

 

Größen und Messen [L2]

Kompetenzformulierung bezüglich des ersten Lösungsweges:

  • Die Schülerinnen und Schüler ermitteln die Seitenlängen eines Dreiecks mithilfe der gegebenen Größe des Umfanges und den gegebenen Seitenverhältnissen, indem sie den Umfang als eine gerade Strecke skizzieren, die gegebenen Informationen abtragen, Einheitslängen abzählen und die Strecke des Umfanges mithilfe der gegebenen Seitenverhältnisse in die drei Dreiecksseiten unterteilen.

"Ermitteln des Umfangs von geradlinigen ebenen Figuren durch Auszählen von Einheitslängen" (LISUM, 2015, Größenangaben bestimmen, Niveaustufe C, S.40); "Ermitteln des Umfangs von ebenen Figuren durch Addition der einzelnen [...] Seitenlängen" (LISUM, 2015, Größen in Sachzusammenhängen berechnen, Niveaustufe C, S.41)

 

Kompetenzformulierung bezüglich des dritten Lösungsweges:

  • Die Schülerinnen und Schüler ermitteln den Umfang eines Dreiecks durch systematische Veränderung der Seitenlängen.

"Berechnen des Umfangs von Vielecken durch Addition der Seitenlängen" (LISUM, 2015, Größen in Sachzusammenhängen berechnen, Niveaustufe D, S.43)

 

Gleichungen und Funktionen [L4]

Kompetenzformulierung bezüglich des zweiten Lösungsweges:

  • Die Schülerinnen und Schüler ermitteln die Seitenlängen eines Dreiecks mit einem gegebenen Umfang und gegebenen Seitenverhältnissen durch Umformen von Gleichungen nach einer Variablen und anschließendes Einsetzen in die Umfangsgleichung mit den drei Seitenlängen als unterschiedliche Variablen.

"Lösen linearer Gleichungen durch systematisches Probieren, grafisch und durch Äquivalenzumformungen" (LISUM, 2015, Gleichungen und Gleichungssysteme lösen, Niveaustufe E, S.54); "Nutzen von Rechengesetzen zum äquivalenten Umformen von Termen [...]", "Lösen von linearen Gleichungen (auch mit Klammern) und Verhältnisgleichungen" (LISUM, 2015, Gleichungen und Gleichungssysteme lösen, Niveaustufe F, S.54)

 

 

Prozessbezogene Kompetenzformulierungen

 

Probleme mathematisch lösen [K2]

  • Die Schülerinnen und Schüler wenden mathematische Kenntnisse über den Umfang von geradlinigen ebenen Vielecken an, um die Seitenlängen eines Dreiecks zu ermitteln.

"Die Schülerinnen und Schüler können mathematische Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten bei der Bearbeitung von Problemen anwenden" (LISUM, 2015, S.19)

 

  • Die Schülerinnen und Schüler nutzen heuristische Hilfsmittel (die Informative Figur, Gleichungen oder auch eine Tabelle), um mathematische Probleme zu lösen.

"Die Schülerinnen und Schüler können Lösungsstrategien (z. B. vom Probieren zum systematischen Probieren) entwickeln und nutzen" (LISUM, 2015, S.19)

 

Mathematische Darstellungen verwenden [K4]

Bezüglich des ersten Lösungsweges:

  • Die Schülerinnen und Schüler stellen den Umfang eines Dreiecks als geradlinige Strecke aus aneinandergereiten Einheitslängen dar, um die Seitenlängen des Dreiecks aus dem gegebenen Umfang und den Seitenbeziehungen abzuleiten.

"Die Schhülerinnen und Schüler können geeignete Darstellungen für das Bearbeiten mathematischer Sachverhalte und Probleme auswählen, nutzen und entwickeln" (LISUM, 2015, S.20)

 

Mit symbolischen, formalen, technischen Elementen der Mathematik umgehen [K5]

  • Die Schülerinnen und Schüler wandeln die in der Aufgabenstellung verbal formulierten Beziehungen zwischen den Seitenlängen des Dreiecks in mathematische Gleichungen um oder veranschaulichen gegebene Sachverhalte mithilfe einer informativen Figur, um ein mathematisches Problem zu lösen.

"Die Schülerinnen und Schüler können symbolische und formale Sprache in natürliche Sprache übersetzen und umgekehrt" (LISUM, 2015, S.20)


Heuristische Hilfsmittel: 
  • Beim ersten Lösungsweg wird der Umfang des Dreiecks als eine geradlinige Strecke aus Einheitsquadraten dargestellt und durch markieren der gegebenen Informationen auf dieser Strecke sowie durch Abzählen der Einheitsquadrate und Unterteilung der Strecke werden die gesuchten Seitenlängen ermittelt. Somit wird hier eine Informative Figur genutzt.

 

  • Beim zweiten Lösungsweg werden die gegebenen Informationen in mathematische Gleichungen übersetzt. Daneben werden die Seiten des Dreiecks mit den Variablen a, b und c bezeichnet und die Umfangformel für das Dreieck wird aufgestellt, um durch Gleichungsumformungen die gesuchten Seiten des Dreiecks zu ermitteln.

 

  • Außerdem kann, wie bei der dritten Lösung, eine Tabelle genutzt werden, um systematisch auszuprobieren bei welchen Seitenlängen ein Dreieck, das die in der Aufgabenstellung gegebenen Bedingungen erfüllt, einen Umfang von 25 cm hat.

 

 

Heuristische Strategien: 
  • Bei der Lösung mittels Informativer Figur wird von den 25 cm des Umfanges ausgegangen und dann rückwärts vorgegangen, um die gesuchten Seitenlängen des Dreiecks zu ermitteln.

 

  • Bei der Lösung mit Gleichungen wird vorwärtsgearbeitet, indem zunächst das in der Aufgabenstellung gegebene betrachtet wird und dann überlegt wird, wie damit weitergearbeitet werden kann und das Gesuchte erreicht werden kann.

 

  • Bei der tabellarischen Lösung wurde durch Festlegung der Seitenlänge a und Ermittlung von den Seitenlängen b und c sowie des Umfanges des Dreiecks systematisch ausprobiert, welche Seitenlängen für einen Umfang von 25 cm in Frage kommen.

 

 

Heuristische Prinzipien: 
  • Bei der Nutzung der Informativen Figur wird die Strecke des Umfangs in Einheitsquadrate zerlegt und durch Markierung gegebener Informationen und weitere Zerlegung in die Seitenlängen des Dreiecks. Somit spielt hier das Zerlegungsprinzip eine Rolle.

 

  • Bei der Lösung mithilfe von Gleichungen wird das Invarianzprinzip angewendet, da eine Seite fokussiert wird und eine Umfangsformel in Abhängigkeit dieser einen Variablen aufgestellt wird, sodass diese ermittelt werden kann.

 

  • Mit dem Extremalprinzip wird bei der tabellarischen Lösung das mögliche Intervall für die Seitenlänge a eingeschränkt.

Die Aufgabe "Dreiecksseiten" hat nach Cohors-Fresenborg et al. bezüglich der Lösung mit Informativer Figur und der tabellarischen Lösung mit insgesamt 3 und 4 erreichten Punkten einen Schwierigkeitsgrad von ** und bezüglich der Lösung durch Aufstellen und Umformen von Gleichungen mit insgesamt 6 erreichten Punkten einen Schwierigkeitsgrad von ***.

 

 

Sprachlogische Komplexität: 

In der Aufgabenstellung wird den Lernenden zwar vorgegeben, wie sie an die Aufgabe herangehen sollen (zuerst gegeben und gesucht aufschreiben und dann überlegen, wie das Problem veranschaulicht werden kann), allerdings ist durch die Reihenfolge der Wörter und Satzteile keine unmittelbare Reihenfolge der genaueren mathematischen Bearbeitungsschritte vorgegeben. Somit entspricht die Sprachlogische Komplexität der Aufgabe der Stufe 1.

 

 

Kognitive Komplexität: 

Die Kognitive Komplexität der Aufgabe lässt sich auf Stufe 2 ansiedeln, da sich die Schülerinnen und Schüler vorher überlegen müssen, wie sie bei der Bearbeitung vorgehen: Sie müssen sich überlegen, wie sie die gegebenen Informationen mathematisch darstellen und welche heuristischen Strategien und Hilfsmittel sie für die Lösung nutzen. Dabei sind die Nebenbedingungen für die Seiten (die gegebenen Zusammenhänge zwischen den Seiten) zu berücksichtigen.

 

 

Formalisierung von Wissen: 

Bezüglich der Lösung mit Informativer Figur sowie der tabellarischen Lösung lässt sich die Formalisierung von Wissen auf Stufe 0 anordnen, da Funktionsterme hier nicht zwingend aufgestellt werden müssen. Bei der Lösung mithilfe von Gleichungen werden einfache Gleichungen aufgestellt, somit entspricht die Formalisierung von Wissen bezüglich dieses Lösungsweges der Stufe 1.

 

 

Formelhandhabung: 

Auch die Formelhandhabung lässt sich bei der Lösung mit Informativer Figur auf Stufe 0 ansiedeln, da keine algebraischen Operationen erforderlich sind. Bezüglich der tabellarischen Lösung entspricht die Formelhandhabung der Stufe 1, da lediglich Zahlenwerte in die aufgestellten Gleichungen eingesetzt werden müssen. Und bezüglich der Lösung mit Gleichungen entspricht sie der Stufe 2, da Gleichungen aufgestellt und umgeformt sowie in andere Gleichungen eingesetzt werden müssen.

 

 

Stufenzuordnung: 
Formalisierung von Wissen
Stufe 0
Stufe 1
Formelhandhabung
Stufe 0
Stufe 1
Stufe 2
Kognitive Komplexität
Stufe 2
Sprachlogische Komplexität
Stufe 1

Hilfestellungen: 

Bei der Lösung der Aufgabe können bei den Schülerinnen und Schülern an verschiedenen Stellen Schwierigkeiten auftreten. Im folgenden werden zwei dieser problematischen Stellen genannt und es wird dargestellt mit welchen allgemein-strategischen Hilfen, mit welchen inhaltsorientierten strategischen Hilfen und mit welchen inhaltlichen Hilfen als Lehrkraft darauf eingegangen werden kann.

 

Die Schülerinnen und Schüler könnten nicht auf die Idee kommen, den Umfang des Dreiecks als geradlinige Strecke bestehend aus Einheitsquadraten zu skizzieren und auf dieser die gegebenen Größen abzutragen oder zu markieren, um die gesuchten Längen der Dreiecksseiten zu ermitteln. In diesem Fall können folgende Hilfestellungen gegeben werden.

Allgemein-strategische Hilfen Inhaltsorientierte strategische Hilfen Inhaltliche Hilfen
Lese den letzten Satz der Aufgabenstellung noch einmal ganz genau durch und beantworte die dort gestellten Fragen! Hilft es dir, wenn du den Umfang mit einer 1-dimensionalen Skizze darstellst? Wie lässt sich der Umfang einer Figur berechnen?
Fertige mehrere unterschiedliche Skizzen des gegebenen Sachverhalts an und überlege, welche Skizze dir bei der Lösung weiterhelfen kann! Wie lässt sich der Umfang einer Figur noch darstellen? Was wird mit dem Umfang angegeben?
Welche Größen sind gegeben? Visualisiere sie! Wie kann eine Strecke unterteilt werden, sodass bestimmte ganzzahlige Teilstrecken auf ihr eingezeichnet werden können? Welche Unterteilung hilft bei der Markierung von Strecken ganzzahliger Längen?

 

 

Eine weitere Schwierigkeit kann darin bestehen, die wahrscheinlich zuvor kennengelernte Umfangsformel für Dreiecke bei der Lösung zu nutzen. Tritt dieses Problem auf, so können die folgenden Hilfen gegeben werden:

 

Allgemein-strategische Hilfen Inhaltsorientierte strategische Hilfen Inhaltliche Hilfen
Schreibe wie in der Aufgabenstellung verlangt, die gegebenen und gesuchten Größen auf! Gibt es eine Gleichung, die du bei der Lösung nutzen kannst? Wie kannst du den Umfang von einem Dreieck berechnen?
Was für Aufgaben hast du bereits mit der Umfangsgleichung für Dreiecke gelöst? Wie hast du die Gleichung bei diesen Aufgaben benutzt? - -
Schreibe dir alles auf, was du über die in der Aufgabenstellung vorkommenden Größen weißt. - -

 

 

Sozialformen: 
  • Lösung in Einzel- oder Partnerarbeit
  • Austausch über verschiedene Lösungswege in Partnerarbeit oder Gruppenarbeit

 

 

Differenzierungsmöglichkeiten: 

Die Aufgabe differenziert an sich natürlich durch die verschiedenen möglichen Lösungen zwischen den unterschiedlichen Schülerinnen und Schülern. Hier könnten den leistungsstärkeren und leistungsschwächeren Lernenden Anstöße zu den verschiedenen Lösungsmöglichkeiten gegeben werden, sodass diese selbst den Schwierigkeitsgrad der Aufgabe wählen können. Die Lösung mit Gleichungen stellt dabei die größte Herausforderung dar und könnte als schwierig gekennzeichnet werden, oder es könnte den leistungsstärkeren Lernenden auch die Zusatzaufgabe gegeben werden, die Aufgabe noch einmal auf eine andere Art und Weise, nämlich mithilfe von Gleichungen, zu lösen.

 

Für leistungsschwächere Schülerinnen und Schüler lässt sich die Aufgabe darüber hinaus wie folgt abwandeln:

  • Es könnte mit der Aufgabenstellung eine Planfigur mit den gegebenen Seitenbeziehungen zur Anschauung vorgegeben werden, sodass den Schülerinnen und Schülern der Einstieg in die Lösung mit einer Informativen Figur erleichtert wird, sie diese anfängliche "Hürde" nicht mehr überwinden müssen und sie einen Anstoß für die Lösung bekommen.
  • Außerdem könnte den Lernenden eine Tabelle mit den verschiedenen Seitenlängen und dem Umfang vorgegeben werden, um sie auf die Idee des Systematischen Probierens zu bringen.
  • Es könnten auch verschiedene Heuristische Hilfsmittel zur Auswahl gestellt werden, um den Schülerinnen und Schülern verschiedene Möglichkeiten für die Lösung aufzuzeigen. Statt der Frage "Wie könntest du das Problem veranschaulichen?" könnte der Hinweis gegeben werden "Eine Veranschaulichung, eine Tabelle, oder Gleichungen können bei der Lösung nützlich sein."

Mit der Aufgabe Dreiecksseiten kann der Umgang mit der Umfangsgleichung für Vielecke geübt werden, indem mit den gegebenen Informationen die Seiten eines Dreiecks ermittelt werden. Als Einstieg in die Thematik "Umfang von Vielecken" bietet sich die Aufgabe somit nicht an, da die Berechnung des Umfanges für die Lösung der Aufgabe bereits bekannt sein muss.

Daneben können mit der Aufgabe verschiedene heuristische Strategien und Hilfsmittel erforscht werden, da die Aufgabe verschiedene Lösungswege zulässt und diese nach der Bearbeitung im weiteren Unterricht ausgetauscht und gesammelt werden können. Den Schülerinnen und Schülern könnte damit verdeutlich werden, dass viele Wege zum Ziel führen können und dass für die Lösung von mathematischen Problemen verschiedene Heurismen hilfreich sein können. Die Lernenden könnten somit an das Problemlösen herangeführt werden.

Auch als langfristige Hausaufgabe, bei der die Schülerinnen und Schüler ermutigt werden, sich intensiv mit einer Aufgabe zu beschäftigen und eigenständig eine Lösung zu finden, könnte die Aufgabe gestellt werden. Dabei sollte die Aufgabe im Unterricht aber hinreichend motiviert werden.



Bearbeitet von: Florian Crämer, Charleen Köntopp (ergänzt von Marisa Pfläging)
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