Flächenberechnung von zusammengesetzten Figuren

Klasse Schulstufe Thema Themengebiet Schwierigkeit
6 Sekundarstufe I Flächeninhalt Raum und Form **
Heuristsche Hilfsmittel Heuristische Prinzipien Heuristische Strategien
Informative Figur Zerlegungs- und Ergänzungsprinzip, Symmetrieprinzip Vorwärtsarbeiten, Systematisches Probieren

Aufgabenstellung

Berechne den Flächeninhalt.
 

 

 

Quellenangabe:

Schnittpunkt Mathematik 6, Stuttgart 2006, S. 95, Aufgabe 1


Lösungsweg 1
 
a)

Um den Flächeninhalt zu berechnen, teilen wir die Figur in Rechtecke ein, ermitteln den Flächeninhalt der einzelnen Rechtecke und addieren die Flächeninhalte dieser anschließend.
 

 
Zunächst bestimmen wir die fehlenden Seitenlängen, welche wir anschließend in türkis notiert haben. Die Seite, die links an der \(6 cm\)langen Seite anliegt können wir durch die Rechnung \(10 cm – 2 cm = 8 cm\) bestimmen, da angegeben ist, dass die Figur insgesamt \(10 cm\) hoch ist und die linke Seite an der \(11 cm\) langen Seite bereits \(2 cm\) lang ist. Die Seite, die gegenüber der \(5 cm\) langen Seite liegt, ist ebenfalls \(5 cm\) lang. Die Länge der Seite, die gegenüber von der \(11 cm\) langen Seiten liegt, können wir dadurch heraus­finden, indem wir die komplette Länge der Figur bestimmen und davon \(6 cm\) subtrahieren, da diese Seite genau \(6 cm\) kürzer als die komplette Länge ist. Dazu nutzen wir die unteren Seiten \(11 cm + 2cm + 2cm = 15cm\). Also ist die gesamte Figur \(15 cm\) lang. \(15cm – 6cm = 9cm\). Die gesuchte Seitenlänge beträgt \(9 cm\).
 
Nun können wir mithilfe der Formel für den Flächeninhalt von Rechtecken die einzelnen Flächeninhalte der farbigen Rechtecke bestimmen:
Der Flächeninhalt des grünen Rechtecks beträgt: \(2cm\cdot 11cm=22cm²\)
Der Flächeninhalt des gelben Rechtecks beträgt: \(8cm\cdot (6cm-(2cm+2cm))={ 16cm }^{ 2 }\)
Der Flächeninhalt des blauen Rechtecks beträgt: \(2cm⋅(10cm-5cm)=10cm^{ 2 }\)
Der Flächeninhalt des roten Rechtecks beträgt: \(10cm⋅2cm=20cm^{ 2 }\)
 
Der Flächeninhalt der gesamten Figur beträgt: 
\(22cm^{ 2 }+16cm^{ 2 }+10cm^{ 2 }+20cm^{ 2 }=68cm^{ 2 }\)
 
 
b)

Um den Flächeninhalt der Figur bestimmen zu können, teilen wir diese in drei Recht­ecke auf und ergänzen das entstandene Dreieck durch ein kongruentes Dreieck zu einem Rechteck.

Es fällt auf, dass nicht alle Seitenlängen angegeben sind. Allerdings wissen wir, dass die untere und die obere Seitenlängen wegen der Symmetrie gleich sind. Also wissen wir, dass die untere Seite auch \(7 cm\) lang ist. Es fehlt eine Seitenlänge gegenüber der Seite, die \(4 cm\) lang ist und in die Figur hineinragt. Aufgrund der Symmetrie der Rechtecke muss diese Seite genauso lang sein wie die gegebene gegenüberliegende Seite von \(4 cm\). Um herauszufinden, wie lang die untere Seite des Dreiecks ist, müssen wir von \(11 cm\)  \(7 cm\) subtrahieren: \(11 cm – 7 cm = 4 cm\). Wegen der Symmetrie ist auch die obere Seite des ergänzten kongruenten Dreiecks \(4 cm\) lang.
Wir wissen, dass die beiden grünen Rechtecke gleich groß sind, da die kürzere Seite jeweils \(2 cm\) und die längere Seite jeweils \(7 cm\) misst, und wegen der Symmetrie. Also können wir den Flächeninhalt der grünen Rechtecke mit der Flächeninhaltsformel für Rechtecke berechnen: \(2cm⋅7cm=14cm^2\)
Wir wissen bereits, dass die kurze Seite des blauen Rechtecks \(1 cm\) lang ist. Um die längere Seite zu bestimmen, rechnen wir: \(7cm – 4cm = 3cm\). Nun können wir wieder die Flächeninhaltsformel anwenden: \(1cm⋅3cm=3cm^2\)
Nun berechnen wir den Flächeninhalt des gelben Rechtecks: \(4cm⋅5cm=20cm^2\)
Allerdings ist ursprünglich nur das eine gelbe Dreieck gegeben, welches genau die Hälfte des entstandenen gelben Rechtecks ausmacht. Deshalb müssen wir nur die Hälfte des Flächeninhaltes des gelben Rechtecks berücksichtigen, also \(20cm^2:2=10cm^2\)
 
Nun können wir die Flächen zusammenrechnen:
\(2⋅14cm^2+3cm^2+10cm^2=41cm^2\)
 
 
 
Lösungsweg 2
 
a) Wir können die Figur zu einem Rechteck ergänzen.

Wir berechnen nun den Flächeninhalt des entstandenen Rechtecks und ziehen den Flächeninhalt vom hinzugefügten Rechteck wieder ab.
Der Flächeninhalt des entstandenen Rechtecks beträgt: \(10cm⋅(11cm+2cm+2cm)=150cm^2\)
Der Flächeninhalt des grünen Rechtecks beträgt: \(8cm⋅9cm=72cm^2\)
Der Flächeninhalt des blauen Rechtecks beträgt: \(2cm⋅5cm=10cm^2\)
 
Also beträgt der gesuchte Flächeninhalt:
\(150cm^2-(72cm^2+10cm^2 )=68cm^2\)
 
 
b)

Die Figur aus Teilaufgabe b) lässt sich auch zu einem vollständigen Rechteck ergänzen. Die nicht angegebenen Seitenlängen haben wir genauso berechnet wie bereits in 3a) erklärt wurde.
Der Flächeninhalt des entstandenen Rechtecks beträgt: \(11cm⋅(2cm+1cm+2cm)=55cm^2\)
Der Flächeninhalt des blauen Rechtecks beträgt: \(1cm⋅4cm=4cm^2\)
Um den Flächeninhalt des gelben Dreiecks zu berechnen, gehen wir folgendermaßen vor:
Wir zerlegen nun wieder die Figur ähnlich wie bereits in 3a), sodass aus dem Dreieck wieder ein Rechteck entsteht.

Nun berechnen wir den Flächeninhalt des gelben Rechtecks: \(4cm⋅5cm=20cm^2\)
Da wir allerdings nur den Flächeninhalt des Dreiecks benötigen, können wir die Hälfte wieder abziehen, da das Rechteck genau doppelt so groß ist, wie das Dreieck. Wir er­halten: \(20cm^2:2=10cm^2\)
 
Nun müssen wir einmal den Flächeninhalt des Dreiecks und den Flächeninhalt des blauen Rechtecks abziehen und erhalten den gesuchten Flächeninhalt:
\(55cm^2-4cm^2-10cm^2=41cm^2\)
 

Wir haben uns entschieden das Thema „Flächeninhalt“ zu thematisieren. Dies stellt ein zentrales Thema im Kerncurriculum Niedersachsen für die Realschule für die Jahrgangsstufen 5 und 6 im Bereich Größen und Messen dar.
Schülerinnen und Schüler sollen die Kompetenz erlangen, Flächeninhalte von Rechtecken und Quadraten zu bestimmen (KC: Größen und Messen 3.6.2). Dies sollen sie auch bei zusammengesetzten Figuren bestimmen, indem sie die Figur in Rechtecke bzw. Qua­drate unterteilen (KC: Größen und Messen 3.6.3). Diese Kompetenz, den Flächeninhalt und Umfang von zusammengesetzten Figuren zu bestimmen, wird in unserer ausge­wählten Aufgabe trainiert. Dafür müssen sie verwendete Größen (in unserem Beispiel: Längen und Flächeninhalt) unterscheiden, was einer weiteren Kompetenz im Kerncurriculum (Größen und Messen: 1.6.2) entspricht.
Das Berechnen von Flächeninhalten ist ein wichtiges Thema, weil es die Grundlage für Volumenberechnungen ist.

Wir haben uns dafür entschieden, diese Aufgabe in einer sechsten Klasse zu behandeln. Die Flächeninhaltsberechnung vom Rechteck und Quadrat sollte bereits als Thema be­handelt worden sein. An dieses Thema könnte man mit dieser Aufgabe gut anschließen, um zur Flächeninhaltsberechnung zusammengesetzter Figuren überzuleiten, welche laut dem Kerncurriculum auch eine Kompetenz ist, die am Ende des sechsten Jahrgangs beherrscht werden sollte.
Unsere Teilaufgabe a) sieht ausschließlich die Zerlegung in Rechtecke vor, bzw. die Ergänzung mit Hilfe von Rechtecken zu einem großen Rechteck. Die Teilaufgabe b) ge­staltet sich hier schon als etwas schwieriger, denn in dieser Figur ist ein Dreieck vorhanden, welches durch ein weiteres Dreieck zu einem Rechteck ergänzt werden kann. Dadurch sollen die Schülerinnen und Schüler herausfinden, dass der Flächeninhalt des entstandenen Rechtecks genau doppelt so groß ist wie der gesuchte Flächeninhalt des Dreiecks. Da die Flächen­inhaltsberechnung von Dreiecken erst im siebten oder achten Schuljahr thematisiert wird, ist dies schon eine Vorbereitung dafür. Das ist ein weiterer Grund diese Aufgabe nicht bereits im fünften, sondern erst Mitte des sechsten Schuljahres zu behandeln.


Inhaltsbezogene Kompetenzformulierungen
 
Größen und Messen
"Die Schülerinnen und Schüler berechnen Flächeninhalt [...] von Quadrat und Rechteck.", "Die Schülerinnen und Schüler berechnen Flächeninhalt [...] zusammengesetzter Figuren." (KC, Ende Schuljahrgang 6, S.27)
Bei der Problemlöseaufgabe "Flächenberechnung von zusammengesetzten Figuren" müssen die Schülerinnen und Schüler in der Lage sein, die gegebene Figur in Rechtecke und Quadrate zu zerlegen, um dann deren Flächeninhalte zu berechnen. Anschließend müssen sie sich auf die ursprüngliche Figur beziehen, um den gesamten Flächeninhalt ermitteln zu können.
Raum und Form
"Die Schülerinnen und Schüler erkennen und benennen Eigenschaften von Rechteck, Quadrat, Dreieck und Kreis." (KC, Ende Schuljahrgang 6, S.28)
Diese Kompetenz ist notwendig, um die zusammengesetzte Figur in einzelne bekannte Figuren zu zerlegen oder zu be­kannten Figuren zu ergänzen. Den Schülerinnen und Schülern müssen die Eigenschaften der ge­nannten Figuren bekannt sein. Zum Beispiel sollen sie in der Lage sein, zu erkennen, dass der Flächeninhalt eines Dreiecks halb so groß ist wie der Flächeninhalt eines Rechtecks.
 
 
Prozessbezogene Kompetenzformulierungen
 
Mathematische Probleme lösen
"Die Schülerinnnen und Schüler wenden die Strategie des Zerlegens und Zusammensetzens an." (KC, Ende Schuljahrgang 6, S.19)
Die Schülerinnen und Schüler müssen in der Lage sein, zu erkennen, dass sich die vorgegebene Figur sowohl in bekannte Figuren zerlegen, als auch zu einer bekannten Figur ergänzen lässt.
 
"Die Schülerinnen und Schüler lösen Probleme durch Probieren." (ebd.)
Es werden verschiedene Möglichkeiten aus­probiert, wie die gegebene Figur am Besten zerlegt bzw. ergänzt werden kann, um den Flächeninhalt bestimmen zu können.
 
"Die Schülerinnen und Schüler nutzen Darstellungsformen wie Tabellen, Skizzen oder Graphen zur Problemlösung." (ebd.)
In der Aufgabe skizzieren die Schülerinnen und Schüler ihre Zerlegungen bzw. Ergänzungen in einer Skizze von der Figur.

Heuristische Hilfsmittel: 
 
  • Als heuristisches Hilfsmittel wird eine Skizze genutzt, welche eine Informative Figur ist. Die möglichen Zerlegungen und Ergänzungen werden in den Figuren skizziert, sodass einzelne Figuren erkannt werden können und so der Flächeninhalt dieser berechnet werden kann.
     
 
Heuristische Strategien: 
Weiterhin werden bei der Lösung die heuristischen Strategien "Vorwärtsarbeiten" und "Systematisches Probieren" herangezogen.
 
  • Es wird systematisch ausprobiert, wie die Figuren am Besten zerlegt werden können, damit möglichst viele Seitenlängen bereits gegeben sind und diese nicht berechnet werden müssen.
     
  • In Bezug auf das „Vorwärstarbeiten“ wird bei der ersten Lösungsmöglichkeit die gegebene Figur in mehrere Einzelfiguren zerlegt, dessen Flächeninhalt berechnet werden kann. Anschließend werden die Flächeninhalte summiert und der gesuchte Flächeninhalt wird erhalten. Bei der zweiten Lösungsmöglichkeit wird eine Figur so ergänzt, dass ein Rechteck entsteht. Es wird der kompletten Flächeninhalt berechnet und das subtrahiert, was zu viel berechnet wurde.
 
 
Heuristische Prinzipien: 
Es werden die heuristischen Prinzipien des „Zerlegens und Ergänzens“ und das „Symmetrieprinzip“ genutzt.
 
  • Wie bereits beim „Vorwärtsarbeiten“ erwähnt wurde, wurde sowohl das Prinzip des Ergänzens als auch das des Zerlegens angewandt. Bei Teilaufgabe b) haben wir die Figur so zerlegt, dass an der linken Seite ein Dreieck entsteht, welches wir durch Ergänzung eines gleich großen Dreieck wieder zu einem Rechteck konstruieren konnten. Bei der Ergänzung ist zu beachten, dass die Flächen, die zu viel berechnet wurden, im Nachhinein wieder abgezogen werden.
     
  • Mithilfe des Symmetrieprinzips werden die fehlenden Seitenlängen bestimmt, denn die Symmetrien der einzelnen Rechtecke sind bekannt.
     

Im Hinblick auf die schwierigkeitsgenerierenden Aufgabenmerkmale nach Cohors-Fresenborg et al. (2004) kann der Aufgabe mit 4 erreichten Punkten ein Schwierigkeitsgrad von ** zugeordnet werden. 
 
 
 
Sprachlogische Komplexität: 
Die sprachlogische Komplexität kann der Stufe 0 zugeordnet werden, da die Aufgaben­stellung sehr kurz und prägnant ist. Es handelt sich um einen einfachen Hauptsatz, der besagt „Berechne den Flächeninhalt!“, ohne Nebensatz.
 
 
Kognitive Komplexität: 
Die kognitive Komplexität entspricht der Stufe 2, da hier heuristische Strategien angewandt werden und diese Auswahl der Überlegungen der Bearbeitung vorangehen. Die Schülerinnen und Schüler müssen sich zunächst überlegen, ob sie die Figur zerlegen oder ergänzen möchten. Dann müssen sie sich entscheiden, welche Zerlegung bzw. Ergänzung am sinnvollsten ist.
 
 
Formalisierung von Wissen: 
Die Formalisierung von Wissen ist der Stufe 1 zuzuordnen, da es von Nöten ist, die Zerle­gungen bzw. Ergänzungen einzuzeichnen, die fehlenden Seitenlängen aufzuschreiben und die berechneten Flächeninhalte zu notieren. Würde man die Figuren nur im Kopf zerlegen oder ergänzen und deren Flächeninhalte berechnen, würde man schnell durch­einander kommen, welchen Flächeninhalt man nun schon berechnet hat und welcher noch zu berechnen ist. Die besondere Schwierigkeit beim Ergänzen liegt darin, zu er­kennen, dass die Flächeninhalte, die zu viel berechnet wurden, anschließend wieder abgezogen werden müssen.
 
 
Formelhandhabung: 
Die Formelhandhabung entspricht der Stufe 1, da die Flächenberechnung von Rechtecken bereits zur Routine gehören sollte. Allerdings müssen die Schülerinnen und Schüler überlegen, wie sie die fehlenden Seitenlängen ermitteln und wie sie mit dem Dreieck in Teilaufgabe b) umgehen.
 
 
Stufenzuordnung: 
Formalisierung von Wissen
Stufe 1
Formelhandhabung
Stufe 1
Kognitive Komplexität
Stufe 2
Sprachlogische Komplexität
Stufe 0

Hilfestellungen: 
Mögliche kritische Stellen während der Aufgabenbearbeitung könnten sein, die fehlen­den Seitenlängen zu ermitteln, den Flächeninhalt der einzelnen Figuren zu berechnen und anschließend die mehrfach berechneten Flächen wieder abzuziehen sowie die Flä­chenberechnung des Dreiecks.
 
In Bezug auf Probleme bei der Ermittlung der Seitenlängen haben wir uns für folgende Hilfestellungen im Sinne des Prinzips der minimalen Hilfe nach Zech entschieden:
 
Allgemein-strategische Hilfen Inhaltsorientierte strategische Hilfen Inhaltliche Hilfen
Kennst du eine ähnliche Aufgabe?
Wie lautet die Formel?
Hast du einzelne Flächen mehrmals berechnet?
Was hast du gegeben?
 
Von welchen geometrischen Figuren kannst du den Flächeninhalt berechnen?
Berechne zunächst die einzelnen Flächeninhalte und addiere diese anschließend.
Was fehlt dir noch?
Kannst du die Figur zerlegen oder ergänzen?
Zerlege die Figur in Rechtecke.
 
In Bezug auf Probleme bei der Flächenberechnung der einzelnen Figuren haben wir uns für folgende Hilfestellungen im Sinne des Prinzips der minimalen Hilfe nach Zech ent­schieden:
 
Allgemein-strategische Hilfen Inhaltsorientierte strategische Hilfen Inhaltliche Hilfen
Kennst du eine ähnliche Aufgabe?
Kannst du hier besser ergänzen oder zerlegen?
Kannst du aus dem Dreieck durch Ergänzung ein Rechteck machen?
Sieh dir die Figur noch einmal genau an.
Kannst du etwas ergänzen, um es dir zu erleichtern?
Wie genau kommst du vom Flächeninhalt des Rechtecks auf den Flächeninhalt des Dreiecks?
Entwirf einen Plan.
Sind dir alle Seitenlängen bekannt, die du benötigst?
Wie oft passt das Dreieck in das neue Rechteck?
 
 
Sozialformen: 
  • Einzelarbeit
  • Partnerarbeit
 
 
Differenzierungsmöglichkeiten: 
Für leistungsstärkere Schülerinnen und Schüler werden die Figuren, von denen sie den Flächenin­halt berechnen müssen, erweitert. In unserem Fall wird in Teilaufgabe b) ein zweites Dreieck und in Teilaufgabe a) ein Parallelogramm zugefügt. Beide geometrische Figuren wurden in der Schule noch nicht durchgenommen (werden laut KC erst in Klasse 7/8 thematisiert). Somit kennen die Schülerinnen und Schüler noch keine Formel zur Flächenberech­nung dieser Figuren und müssen diese von der Flächenberechnungsformel der Qua­drate bzw. Rechtecke ableiten.
Die Figuren sehen dann folgendermaßen aus:
 
Für leistungsschwächere Schülerinnen und Schüler werden die geometrischen Figuren wie in un­serer ausgewählten Aufgabe beibehalten. Als Anregung für die Flächenberech­nung von Dreiecken wird den Schülerinnen und Schülern die folgende Skizze gegeben.

Damit sollte ihnen deutlich werden, dass ein Rechteck in zwei gleich große Dreiecke unterteilt werden kann. Somit kann das Dreieck zu einem Rechteck ergänzt werden. Der Flächeninhalt ist dann halb so groß, wie der des zugehörigen Rechtecks.


Diese Aufgabe eignet sich zum einen für den Einstieg zur Flächenberechnung von zu­sammengesetzten Figuren und zum anderen als Übergang von der Flächenberechnung von Rechte­cken und Quadraten. Die Schülerinnen und Schüler können in Einzel- oder Partnerarbeit selbstständig heraus­finden, wie sie die Fläche berechnen können. Da die Schülerinnen und Schüler zuvor keine Figuren zerlegt haben, ist auch das Zerlegen in Rechtecke in Teilaufgabe a) neu für sie. Die Aufgabe sollte deshalb in einer Freiarbeit im Unterricht gestellt werden, damit auf mögliche Fra­gen der Schülerinnen und Schüler eingegangen werden kann.
Zum Anderen kann die Aufgabe ebenso zum produktiven Üben anregen, wenn diese nicht an den Anfang der entsprechenden Einheit gestellt wird. Dann kann die Aufgabe auch als Hausaufgabe bearbeitet werden. Da die Schülerinnen und Schüler an dieser Stelle schon mehrere sol­cher Aufgaben bearbeitet haben, kann die Teilaufgabe a) eine Routineaufgabe zur Wie­derholung und die Teilaufgabe b) als Problemlöseaufgabe eingesetzt werden. Denn in Teilaufgabe b) sollen die Schülerinnen und Schüler zusätzlich den Flächeninhalt des Dreiecks eigenständig er­mitteln.


Bearbeitet von: Lina Cappel, Marina Kröger (hochgeladen von Marisa Pfläging)
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