Geometrische Denkaufgabe: Winkeldetektiv 2

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Klasse Schulstufe Thema Themengebiet Schwierigkeit
8 Sekundarstufe I Winkelberechnungen Größen und Messen, Raum und Form **
Heuristsche Hilfsmittel Heuristische Prinzipien Heuristische Strategien
Informative Figur Zerlegungs- und Ergänzungsprinzip, Symmetrieprinzip Vorwärtsarbeiten, Analogieschlüsse

Aufgabenstellung

                                                                           Wie groß ist ε? Erkläre wie du vorgegangen bist.
 
 

Quellenangabe:

EIGENMANN, PAUL: Geometrische Denkaufgaben. Stuttgart: Klett, 1981.


Lösungsvariante 1 - Rechnerische Lösung
 
Gegeben: zwei Parallele Geraden, einen Mittelpunkt der auf einer der Geraden liegt und dessen Kreis die andere Gerade in zwei Punkten schneidet.
 
Gesucht: ε 
 
Lösung:
 
Als erstes bestimmen wir β, welcher der Wechselwinkel zum gegebenen Winkel ist. Da Wechselwinkel gleich groß sind, beträgt β ebenfalls 34°.
Danach zeichnen wir eine Hilfslinie zwischen A und B, sodass sich ein gleichschenkliges Dreieck ABM ergibt. Wir können sagen, dass es sich um ein gleichschenkliges Dreieck handelt, da die Eckpunkte A und B des Dreiecks auf dem Kreis liegen, dessen Mittelpunkt der Punkt M ist und dessen Radius \(d(\overline { MB } )=d(\overline { MA } )\) ist.
Nun können wir mithilfe des Basiswinkelsatzes den Winkel α im Dreieck ABM bestimmen.
 \(\frac { 180°-34° }{ 2 } =73°=\alpha \)
 
Wir zeichnen noch ein gleichschenkliges Dreieck ein, indem wir eine Hilfslinie zwischen D und M ziehen, sodass ein gleichschenkliges Dreieck AMD entsteht. Es handelt sich dabei um ein gleichschenkliges Dreieck, da die Eckpunkte A und D des Dreiecks auf dem Kreis liegen, dessen Mittelpunkt der Punkt M und dessen Radius \(d(\overline { MD } )=d(\overline { MA } )\) ist. Wir verwenden erneut den Basiswinkelsatz, um µ auszurechnen.
\(180°-2\cdot 34°=112°=µ\)
 
Da wir in der Skizze einen (Teil)-Kreis gegeben haben, können wir den Satz des Thales anwenden. Zunächst zeichnen wir eine weitere Hilfslinie zwischen C und D, sodass der Winkel ɣ aufgrund des Satzes des Thales ein 90° Winkel ist. Die Einzeichnung der Hilfslinie lässt ein symmetrisches Trapez (Viereck) ABCD entstehen. Aufgrund der Symmetrie im Trapez wissen wir, dass λ = 73°, wegen α = 73°. Wir bestimmen nun δ durch folgende Rechnung:
\(90° - 73° = 17° = δ\)
Jetzt haben wir alle nötigen Winkel im Dreieck DNM bestimmt, um ε mithilfe des Innenwinkelsummensatzes zu berechnen.
\(180° - µ - δ = 180° - 112° - 17° = 51° = ε\)
 
 
 
 
Lösungsvariante 2 - Zeichnerische Lösung
 
1. Zeichne einen Kreis mit Durchmesser d und zeichne den Durchmesser ein. Bezeichne die Schnittpunkte mit dem Kreis als C und B.
 
 
2. Zeichne den Winkel β (=34°) am Kreismittelpunkt ein und ziehe eine Gerade, die den Kreis schneidet.
Kennzeichne den Schnittpunkt mit A.
 
 
3. Zeichne eine Parallele zu d verlaufend durch A ein und kennzeichne den zweiten Schnittpunkt mit dem Kreis mit D.
 
 
4. Ziehe eine Gerade zwischen D und B.
 
 
ε liegt am Schnittpunkt der beiden Geraden \(\overline { DB } \) und der Geraden von A zum Kreismittelpunkt.
 
Messe ε:
\(ε = 51°\)
 

Die Aufgabe lässt sich in die 8. Jahrgangsstufe einordnen, da die gewählten Kompetenzen erst zum Ende der 8. Jahrgangsstufe erlangt werden können (vgl. Abschnitt "Geförderte Kompetenzen"). Die Aufgabe lässt sich erst umsetzen, nachdem die notwendigen Lernvoraussetzungen, wie Stufenwinkel-,  Scheitelwinkel-, Winkelsummen- und Basiswinkelsatz, geschaffen worden sind.

Inhaltsbezogene Kompetenzformulierungen
 
Größen und Messen
"Die Schülerinnen und Schüler [...] messen und zeichnen Winkel." (KC Niedersachsen Realschule (2014), Kernkompetenz: Die Schülerinnen und Schüler schätzen und messen.; Ende Schuljahrgang 6, S.26)
Die SuS, welche die Aufgabe zeichnerisch lösen, müssen, nachdem sie einen Kreis mit Radius r eingezeichnet haben, den Winkel von 34° einzeichnen. Dadurch lassen sich die fehlenden Geraden einzeichnen und im Anschluss ε messen. Die SuS, die die Aufgabe rechnerisch lösen, messen den Winkel ε möglicherweise nach ihrer Rechnung in ihrer Skizze, um ihr Ergebnis für ε zu kontrollieren.
 
"Die Schülerinnen und Schüler bestimmen Winkelgrößen mithilfe von [...] Scheitel- und Stufenwinkelsatz." (ebd., Kernkompetenz: Die Schülerinnen und Schüler berechnen Größen.; Ende Schuljahrgang 6, S.27)
Der zu bestimmende Winkel ε lässt sich lediglich mithilfe des Stufenwinkel- und Scheitelwinkelsatzes berechnen, da in der Skizze kein weiterer Winkel gegeben ist. Dadurch ist β der Scheitelwinkel zum Stufenwinkel von 34°. (Wir haben bei der Berechnung von ε den Wechselwinkel benutzt, jedoch taucht dieser nicht explizit im KC auf, sodass wir den Wechselwinkel als den Scheitelwinkel des Stufenwinkels von 34° bezeichnet haben, da Stufen- und Scheitelwinkel im KC genannt werden.)
 
Die Schülerinnen und Schüler wenden den Winkelsummensatz für Drei[...]ecke an." (ebd., Kernkompetenz: Die Schülerinnen und Schüler berechnen Größen.; Ende Schuljahrgang 8, S.27)
Die SuS verwenden den Innenwinkelsummensatz, da µ und δ zuvor berechnet wurden, um ε im ∆DNM zu berechnen. (180° - 112° - 17° = 51°).
 
 
 
Prozessbezogene Kompetenzformulierungen
 
Mathematisch argumentieren
"Die Schülerinnen und Schüler begründen ihre Lösungsansätze und Lösungswege." (ebd., Kernkompetenz: Die Schülerinnen und Schüler begründen Vermutungen.; Ende Schuljahrgang 6, S.18)
Ausgehend von der Aufgabenstellung werden die SuS dazu aufgefordert, ihren Lösungsweg darzustellen und transparent zu machen ("Erkläre, wie du vorgegangen bist"). Dadurch wird nicht nur das Verwenden der mathematischen Sprache gefördert, sondern die SuS lernen darüber hinaus, sich auszudrücken und mathematische Sachverhalte verständlich darzustellen.
 
 
Mathematische Probleme lösen
"Die Schülerinnen und Schüler gliedern das Problem in Teilprobleme." (ebd., Kernkompetenz: Die Schülerinnen und Schüler setzen Problemlösestrategien ein.; Ende Schuljahrgang 8, S.19)
Zur Berechnung des Winkels ε müssen die SuS zunächst mehrere Teildreiecke einzeichnen (Hilfsdreiecke ABM, AMD, BCD), um die fehlenden Winkel berechnen zu können.
 
 
Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen 
"Die Schülerinnen und Schüler arbeiten mit Lineal, Geodreieck und Zirkel." (ebd., Kernkompetenz: Die Schülerinnen und Schüler verwenden Werkzeuge.; Ende Schuljahrgang 6, S.22)
Insbesondere SuS, welche die Aufgabe zeichnerisch lösen, müssen mathematische Werkzeuge sicher verwenden können und z.B. wissen, wie sie einen Winkel von 34° einzeichnen müssen. Außerdem müssen sie ebenfalls den Winkel ε messen. Nur eine korrekte Zeichnung und der sichere Umgang mit Zirkel, Geodreieck und Lineal ermöglichen dies.

Heuristische Hilfsmittel: 
  • Bei der Lösung der Aufgabe wird eine informative Figur (Skizze) genutzt. Die in der Aufgabenstellung gegebene Abbildung, welche den geometrischen Sachverhalt verdeutlicht, wird im Laufe des Lösungsprozesses weiterentwickelt, sodass letztendlich \(\varepsilon \) ermittelt werden kann.
 
 
 
Heuristische Strategien: 
  • Als heuristische Strategie ist bei dieser Aufgabe insbesondere das Vorwärtsarbeiten relevant. Bei der Lösung wird zunächst vom gegebenen Winkel 34° sowie von den parallelen Geraden und dem Kreisbogen ausgegangen und daraus schrittweise der gesuchte Winkel ε ermittelt. dabei spielen Überlegungen, welche weiteren Winkel aus den Angaben ermitteln können und wozu die Berechnung eines bestimmten Winkels nützlich ist, eine Rolle. Ebenfalls muss überlegt werden, welche Hilfslinien eingezeichnen werden müssen, um ε ermitteln zu können. Mithilfe des eingezeichneten 34°-Winkels, der parallelen Geraden (und des damit zusammenhängenden Wechselwinkelsatzes) sowie dem Kreisbogen (und daraus folgernd die Anwendung des Basiswinkelsatzes für gleichschenklige Dreiecke) können schrittweise Erkenntnisse gewonnen werden, die am Ende zur Lösung von ε geführen (vgl. "Lösungsvariante 1 - Rechnerische Lösung").
 
  • Neben der Strategie des Vorwärtsarbeitens sind Analogieschlüsse für die Lösung der Aufgabe von Bedeutung: Wir haben uns zuerst gefragt, was uns an der Aufgabe bereits bekannt vorkommt und sind auf den Radius gestoßen, der zweimal angegeben ist und somit den Kreisbogen zweimal schneidet. Da wir bereits eine ähnliche Aufgabe gelöst hatten, wussten wir, dass dabei ein gleichschenkliges Dreieck entsteht, bei dem man dann den Basiswinkelsatz anwenden kann und wir somit α berechnen konnten.
 
 
Heuristische Prinzipien: 
Als heuristische Prinzipien sind zum Einen auf das Zerlegungsprinzip, zum Anderen das Symmetrieprinzip relevant. Mithilfe des Zerlegungsprinzips wird die Zeichnung in Sinneinheiten unterteilt (zwei gleichschenklige Dreiecke AMD, ABM sowie das rechtwinklige Dreieck DCM), sodass etwas Bekanntes (gleichschenklige Dreiecke) erhalten wird und Analogieschlüsse (Berechnung des Basiswinkels α) gezogen werden können.
Durch das Ziehen zweier Hilfsgeraden (\(\overline { CD } \), \(\overline { AB } \)) entsteht ein symmetrisches Trapez, wodurch sich durch Spiegelung der Winkel ε berechnen lässt. Zunächst ist bekannt, dass der Winkel α eine Größe von 73° hat (Basiswinkelsatz an gleichschenkligen Dreiecken). Dies kann mithilfe des Symmetrieprinzips auf den Winkel λ übertragen werden und die 73° können anschließend von den 90° subtrahieren werden, sodass man δ erhält, welcher zur Lösung von ε führt.

Für den Schwierigkeitsgrad der Aufgabe ergibt sich nach Cohors-Fresenborg et al. mit insgesamt 3 Punkten eine Schwierigkeit der Stufe **.
 
 
Sprachlogische Komplexität: 
Die Sprachlogische Komplexität der Aufgabe umfasst Stufe 0, da es sich bei der Aufgabenformulierung um einfache Hauptsätze handelt „Wie groß ist ε? Erkläre wie du vorgegangen bist.“.
 
In Bezug zur sprachlogischen Komplexität sind keine Schwierigkeiten zu erwarten, da die Aufgabe klar und verständlich durch Hauptsätze formuliert ist.
 
 
 
Kognitive Komplexität: 
Die Kognitive Komplexität der Aufgabe umfasst Stufe 2. Zunächst sind Vorüberlegungen unter der Berücksichtigung von Nebenbedingungen anzustellen, weil in der Skizze lediglich ein Winkel, zwei parallele Geraden und ein Mittelpunkt mit Kreis eingezeichnet sind. Die Lösung der Aufgabe ist auf den ersten Blick nicht ersichtlich, sodass eine Auswahl von Denkvorgängen der Bearbeitung voran gehen muss. Zudem begleiten heuristische Überlegungen die Denkvorgänge, indem beispielsweise Analogieschlüsse (z.B. ein Dreieck dessen einer Eckpunkt der Mittelpunkt des Kreises ist und dessen anderen beiden Eckpunkte auf dem Kreis liegen, ist ein gleichschenkliges Dreieck) aus bereits berechneten Aufgaben gezogen werden können.
 
Die SuS könnten Schwierigkeiten damit haben, mit den gegebenen Aspekten der Aufgabe einen Lösungsweg zur Berechnung von ε zu finden. Des Weiteren könnten sie bei der Auswahl der Denkvorgänge nicht zur Lösung der Aufgabe notwendige heuristische Strategien auswählen bzw. anwenden, wodurch sie die Aufgabe nicht lösen könnten.
 
 
Formalisierung von Wissen: 
Die Formalisierung von Wissen der Aufgabe umfasst keine der Stufen, da in der Aufgabe keine Formalisierung erkennbar ist. In der Aufgabe ist gefordert, eine fehlende Winkelgröße zu bestimmen, sodass die Anwendung von Winkelsätzen gefordert wird.
 
Die SuS können bei der Aufgabe keine Schwierigkeiten mit Formalisierung von Wissen haben, da keine Formalisierung erforderlich ist.
 
 
Formelhandhabung: 
Die Formelbehandlung der Aufgabe umfasst Stufe 1, da sowohl Termumformungen als auch Lösungsroutinen erforderlich sind, welche von den SuS auf einfache Weise gesteuert und kontrolliert werden können. Bei der Lösung der Aufgabe sollten es die SuS beherrschen, den Basiswinkel- und den Innenwinkelsummensatz umzuformen, damit sie fehlende Winkel im Dreieck berechnen können.
 
Die SuS könnten bei der Aufgabe die Terme des Basiswinkel- und Innenwinkelsummensatz nicht korrekt umformen, sodass Folgefehler auftreten und sie ein falsches Ergebnis für ε heraus bekommen könnten.
 
 
Stufenzuordnung: 
Formalisierung von Wissen
Formelhandhabung
Stufe 1
Kognitive Komplexität
Stufe 2
Sprachlogische Komplexität
Stufe 0

Hilfestellungen: 
Es lassen bei der Geometrischen Denkaufgabe einige kritische Stellen identifizieren, bei denen die SuS Schwierigkeiten haben könnten.
 
Die SuS könnte nicht erkennen, dass sie den Stufen- bzw. Wechselwinkelsatz anwenden können. In diesem Fall können folgende Hilfestellungen gegeben werden.
 
Allgemein-strategische Hilfen Inhaltsorientierte strategische Hilfen Inhaltliche Hilfen
Kennst du eine ähnliche Aufgabe?
Bringen dir die eingezeichneten parallelen Linien etwas?
Suche parallel Geraden. Was weißt du über Winkelsätze an parallelen Geraden?
Sieh dir die Skizze an.
Bringt dir der eingezeichnete Kreisbogen etwas?
Was kannst du über den Stufen-/Wechselwinkel sagen?
Wie beginnst du am besten bei einer geometrischen Denkaufgabe? Was musst du zuerst tun?
 Kannst du bekannte Sätze über Winkel anwenden?
Was kannst du über den Winkel β sagen? Was kannst du mit seiner Hilfe berechnen?
 
 
Daneben könnte das Problem auftreten, dass die SuS die gleichseitigen Dreiecke nicht erkennen. Möglichkeiten auf dies einzugehen sind die Folgenden.
 
Allgemein-strategische Hilfen Inhaltsorientierte strategische Hilfen Inhaltliche Hilfen
Kennst du eine ähnliche Aufgabe?
Gibt es Hilfslinien, die du einzeichnen kannst und mithilfe derer du etwas Bekanntes erhältst?
Suche Hilfslinien, mit denen sich gleichschenklige Dreiecke ergeben. Was weißt du über die Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck?
Sieh dir die Skizze an.
Entstehen durch Hilfslinien besondere Dreiecke, die dir helfen?
Was kannst du über die Winkel im gleichschenkligen Dreieck sagen?
Wie beginnst du am besten bei einer geometrischen Denkaufgabe? Was musst du zuerst tun?
Kannst du bekannte Sätze über Dreiecke anwenden?
Welche Winkel kannst du noch berechnen, wenn du die Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck berechnet hast?
 
 
Eine weitere Schwierigkeit könnte darin liegen, dass die SuS die Symmetrie des Trapezes nicht erkennen.
 
Allgemein-strategische Hilfen Inhaltsorientierte strategische Hilfen Inhaltliche Hilfen
Denk daran wie wir Problemlöseaufgaben, die geometrische Denkaufgaben sind, lösen.
Gibt es Hilfslinien, die dir weiter helfen?
Suche rechtwinklige Dreiecke.
Schau dir die Figur genau an und mache dir einen Plan, wie du ε berechnen kannst.
Gibt es besondere Vierecke, die dir weiterhelfen können?
Findest du Anwendung des Satzes des Thales in der Figur?
Kennst du eine ähnliche Aufgabe? Was hat dir dort geholfen?
Kannst du symmetrische Figuren in deiner Figur wieder finden?
Was kannst du über die Winkel symmetrischer Trapeze sagen?
 
 
 
Sozialformen: 
  • Einzelarbeit
 
 
Differenzierungsmöglichkeiten: 
Für leistungsschwächere SuS kann noch ein weiterer Winkel oder weitere Hilfslinien im Dreieck angeben werden. Dadurch wird ihnen möglicherweise deutlicher, wie sie den Winkel ε berechnen können.
 
Möglichkeit 1:
Bei der Angabe eines weiteren Winkels von 73° und einer Hilfslinie können die SuS mithilfe des Innenwinkelsummen- und Nebenwinkelsatzes ε bestimmen.
 
Möglichkeit 2:
Bei der Angabe von zwei Hilfslinien können die SuS ε mithilfe des Basiswinkel-, Innenwinkelsatzes und Satz des Thales bestimmen.
 
 
Für leistungsstärkere SuS haben wir keine mathematisch schwierigere Aufgabe finden können, da unserer Meinung nach die Aufgabe nicht noch komplexer zu gestalten ist. Wenn anstatt des 34° Winkels der Winkel von 146° gegeben wäre, müssten die SuS lediglich einen Rechenschritt (Anwendung des Nebenwinkelsatzes) mehr durchführen. Dadurch wäre die Aufgabe unserer Meinung nach noch nicht wirklich schwieriger gemacht worden. Wenn der gegebene Winkel von 34° nicht gegeben wäre, ließe sich die Aufgabe nicht mehr lösen. Anstatt des Winkels von 34° einen anderen Winkel (außer dem Winkel von 146°) als gegeben zu liefern, würde das Anforderungsniveau leichter machen bzw. unverändert lassen. Abschließend lässt sich sagen, dass es sich bei der Aufgabe bereits um eine Aufgabe für leistungsstärkere SuS handelt, die sich lediglich für leistungsschwächere SuS modifizieren lässt.

Die Aufgabe ist in der Hinsicht motivierend für SuS, dass sie als Knobelaufgabe eingesetzt werden kann und die SuS dazu motiviert, passende Sätze, die bei der Berechnung weiterhelfen, auszuwählen.
Zur Lösung der Aufgabe müssen die SuS gewisse Kompetenzen mitbringen. So müssen sie beispielsweise mit dem Wechsel- und Stufenwinkelsatz, aber auch mit dem Basiswinkelsatz an gleichschenkligen Dreiecken oder dem Satz des Thales vertraut sein, ohne dass dies explizit gefordert ist. Die geometrische Denkaufgabe wiederholt und vertieft dies, sodass dadurch individuelle Lücken geschlossen werden können. Der eingezeichnete Kreisbogen und die Angabe der parallelen Geraden stellen dabei Lösungshilfen dar und unterstützen die Lösungsfindung, da die SuS z.B. dadurch Rückschlüsse auf bereits berechnete Aufgaben ziehen können.
Die geometrische Denkaufgabe aktiviert die SuS insofern kognitiv, als dass sie inhaltliche Vernetzungen im Sinne des Aneignens intelligenten Wissens machen müssen und so verschiedene Teilgebiete der Geometrie (Winkelsätze, Satz des Thales, Symmetrien) miteinander verknüpft werden. Außerdem bietet sie viel Potenzial zum Ausbilden heuristischer Strategien, weil sich z.B. das Erstellen eines Lösungsgraphen anbietet. Da die Aufgabe in mehreren Teilschritten berechnet/gezeichnet werden muss, ist es sinnvoll, einen solchen Lösungsgraphen anzulegen und seine Erkenntnisse schrittweise festzuhalten, um einen Überblick zu erhalten, welche Winkel bereits berechnet wurden und dann im Folgenden zur Berechnung von ε hilfreich sind. 
 
 


Bearbeitet von: Jasmin Winkler, Konstanze Dreier (überarbeitet von Marisa Pfläging)
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