Geometrische Denkaufgabe: Winkeldetektiv 5

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Klasse Schulstufe Thema Themengebiet Schwierigkeit
5/ 6/ 7/ 8 Primarstufe, Sekundarstufe I Winkelbestimmung in ebenen Figuren Größen und Messen, Raum und Form **
Heuristsche Hilfsmittel Heuristische Prinzipien Heuristische Strategien
Informative Figur, Gleichungen Zerlegungs- und Ergänzungsprinzip, Invarianzprinzip Vorwärtsarbeiten

Aufgabenstellung

Wie groß ist \(\gamma \) ?

 

 

 

Quellenangabe:

Eigenmann, P. (1981). Geometrische Denkaufgaben. Stuttgart: Klett.


Lösung 1 - Rechnerische Lösung

 

 

Zunächst gilt: \(\sphericalangle BAB'=28°\).

 

Nun liegen \(B\) und \(B’\) auf dem Kreisbogen um \(A\), daher ist das Dreieck \(\triangle ABB’\) ein gleichschenkliges Dreieck. Da ein gleichschenkliges Dreieck zwei gleichgroße Basiswinkel besitzt, folgt: \(β=76°\) und \(β’=76°\).

 

Der Punkt \(D\) liegt sowohl auf dem Kreisbogen um \(A\) als auch auf dem Kreisbogen um \(B\). Der Punkt \(D\) ist also von den Punkten \(A\) und \(B\) gleichweit entfernt. Es gilt also: \(\overline { AD } =\overline { BD } =\overline { AB } \). Somit ist das Dreieck \(\triangle ABD\) ein gleichseitiges Dreieck. In einem gleichseitigen Dreieck hat jeder Winkel ein Maß von \(60°\) und somit gilt: Der Winkel \(\sphericalangle BAD\) hat ein Winkelmaß von \(60°\).

 

Wir haben nun für den Winkel \(\sphericalangle BAD\) ein Maß von \(60°\) und für den Winkel \(<B'BA\) ein Winkelmaß von \(76°\). Da die Winkelsumme in einem beliebigen Dreieck \(180°\) beträgt, können wir nun, da zwei der drei Winkel in dem Dreieck \(\triangle ABC\) bekannt sind, den dritten Winkel \(γ\) berechnen:

 

\(γ=180°-76°-60°=44°\).

 

  
 
 

 

 
Lösung 2 - Zeichnerische Lösung

 

 
  • Zeichne eine Strecke \(\overline { AB } \).
                         
  • Zeichne einen Kreis um \(A\) mit dem Radius \(r=\overline { AB } \).

 

  • Zeichne anschließend einen Kreis um \(B\) mit dem Radius \(r=\overline { AB } \).
  

 

 
  • Markiere den oberen Schnittpunkt der beiden Kreise und bezeichne diesen mit \(D\).

 

 

  • Zeichne eine Gerade, die durch die Punkte \(A\) und \(D\) verläuft.
  

 

 
  • Zeichne in \(A\) den Winkel \(α=28°\).

 

  • Zeichen in \(A\) einen Halbstrahl mit einem Winkel von \(α=28°\).

 

  • Markiere den Schnittpunkt des Halbstrahls und des Kreises um \(A\) mit dem Radius \(\overline { AB } \) und bezeichne diesen mit \(B’\).
  

 

 
  • Zeichne eine Gerade, die durch die Punkte \(B\) und \(B’\)verläuft.

 

  • Markiere den Schnittpunkt der bei den Geraden \({ g }_{ AD }\) und \({ g }_{ BB' }\) und nenne diesen Punkt \(C\).

 

  • Das Dreieck \(\triangle ABC\) ist nun konstruiert.

 

  • Der Winkel \(\gamma =\sphericalangle ACB\) lässt sich nun mit dem Geodreieck abmessen: \(\gamma =44°\).

 

  

 


Die Aufgabe lässt sich in der Klassenstufe 5/6 im Rahmen der Unterrichtsthematik Winkelberechnungen an Dreiecken einsetzen. Das Wissen um die besonderen Eigenschaften von gleichschenkligen und gleichseitigen Dreiecken allein reicht jedoch nicht zum Lösen der Aufgabe aus. Die theoretischen Grundlagen zum Lösen dieser Aufgabe werden erst in den letzten Klassenstufen der Grundschule (laut LISUM (2015) entspricht das "Messen von Größen (auch von [...] spitzen, gestreckten und stumpfen Winkeln)" (S.42) der Niveaustufe D) vermittelt, wodurch man auch überlegen könnte, diese Aufgabe erst in der Jahrgangsstufe 7/8 einzusetzen. Bei der rechnerischen Lösungsvariante kann ausgehend vom Gegebenen durch geeignete Überlegungen ein exakter Wert für den Winkel gefunden werden. Es werden verschiedene grundlegende Kenntnisse in dieser Aufgabe benötigt, die vertieft und flexibel zur Anwendung gebracht werden: Grundvoraussetzung zur Bearbeitung dieser Aufgabe ist die Kenntnis über den Winkelsummensatz im Dreieck. Außerdem wird das Verständnis über die Konstruktion und die Eigenschaften von gleichseitigen und gleichschenkligen Dreiecken gefordert. Die Eigenschaften eines Kreises, insbesondere des Kreisradius und des Kreisbogens werden problemorientiert wiederholt. Zum Teil müssen diese Eigenschaften in der Zeichnung erkannt werden, oder mit Hilfe geeigneter Hilfslinien (hier etwa die Strecke \(\overline { BD } \)) „hineingesehen“ werden.


Kompetenzformulierungen bezüglich der rechnerischen Lösungsvariante

 

Inhaltsbezogene Kompetenzformulierungen

Raum und Form

Die Schülerinnen und Schüler

  • erkennen spezielle Dreiecksformen (gleichseitig, gleichschenklig) in einer vorgegebener Figur.
  • erkennen die Eigenschaften spezieller Dreiecke (z.B. die Gleichheit der Basiswinkel beim gleichschenkligen Dreieck; gleiche Größe aller Winkel beim gleichseitigen Dreieck).

 

Größen und Messen

Die Schülerinnen und Schüler

  • wenden den Winkelsummensatz für Dreiecke an, um Winkelmaße zu bestimmen.
  • wenden die Eigenschaften spezieller Dreiecken an (z.B. die Gleichheit der Basiswinkel beim gleichschenkligen Dreieck, die gleiche aller Winkel beim gleichseitigen Dreieck), um bestimmte Winkel zu bestimmen.

 

Prozessbezogene Kompetenzformulierungen

Problemlösen

Die Schülerinnen und Schüler

  • nutzen Lösungsstrategien (z.B. das Vorwärtsarbeiten, das Rückwärtsarbeiten) für Berechnungsprobleme.
  • erkennen Zusammenhänge innerhalb eines Dreiecks.

 

Mit symbolischen, formalen, technischen Elementen der Mathematik umgehen

Die Schülerinnen und Schüler

  • wenden Gleichungen in Sachsituation an.

 

Mathematisch kommunizieren

Die Schülerinnen und Schüler

  • dokumentieren und/oder stellen ihren Lösungsweg in übersichtlicher und gut nachvollziehbarer Form mittels mathematischer Sprache dar.

 

 

 

Kompetenzformulierungen bezüglich der zeichnerischen Lösungsvariante

 

Inhaltsbezogene Kompetenzformulierungen

Raum und Form

Die Schülerinnen und Schüler

  • konstruieren Dreiecke mit Zirkel und Lineal (auch gleichseitige und ein gleichschenklige).

 

Größen und Messen

Die Schülerinnen und Schüler

  • messen Winkelgrößen und geben diese im Gradmaß an.

 

Prozessbezogene Kompetenzformulierungen

Mathematische Darstellungen verwenden

Die Schülerinnen und Schüler

  • analysieren vorgegebene Figur und setzen diese in Konstruktionsschritte um (unter Anwendung der Strategie des Vorwärtsarbeitens)

 

Mathematisch kommunizieren

  Die Schülerinnen und Schüler

  • dokumentieren und/oder stellen einen eigenen Lösungsweg mittels eines Lösungcomics dar.

 

Problemlösen

Die Schülerinnen und Schüler

  • nutzen die Strategie des kombinierten Vorwärts- und Rückwärtsarbeitens, um Konstruktionsschritte zu rekonstruieren

 

Mit symbolischen, formalen, technischen Elementen der Mathematik umgehen

Die Schülerinnen und Schüler

  • nutzen analoge Werkzeuge (Zirkel und Lineal), um die gegebene Figur nachzukonstruieren.

Heuristische Hilfsmittel: 
  • Beim rechnerischen Lösungsweg werden Gleichungen aufgestellt, um Beziehungen zwischen Winkeln herzustellen.

 

  • Bei der zeichnerischen Lösung wird schrittweise eine Informative Figur erstellt, in der letztendlich der WInkel \(\gamma \) abgemessen werden kann.

 

 

Heuristische Strategien: 
  • Beim rechnerischen Lösungsweg wird vom gegebenen Winkel \(\alpha\) zum gesuchten Winkel \(\gamma\) vorwärts gearbeitet: Das Gegebene wird genutzt, um Zwischenergebnisse zu erlangen und die Größe des Winkels \(\gamma\) schlussfolgern zu können. Es wird dabei mit dem gegebenen Winkel \(\alpha\) begonnen und sich überlegt, wie über das gegebene Teildreieck der Winkel \(\beta\) erhalten werden kann. Ist \(\beta\) ermittelt worden, wird \(\beta\) vervollständigt, um dann \(\gamma\) zu ermitteln. Auch bei der zeichnerischen Lösungsvariante wird vorwärts gearbeitet: Es wird das Wissen zu den gegebenen Kreisbögen genutzt, um über die darüber konstruierbaren Kreise und über den entstehenden Schnittpunkt Schritt für Schritt die Dreiecksseiten, unter Einbeziehung des gegebenen Winkels \(\alpha\), zu konstruieren.

 

 

Heuristische Prinzipien: 
  • Das Dreieck \(\triangle ABC\) wird zweimal in zwei Teile zerlegt. Zunächst um ein gleichschenkliges Dreieck zu erhalten, um den Winkel \(\beta\) zu ermitteln und anschließend, um ein gleichseitiges Dreieck zu gewinnen, um den Winkel \(\alpha\) zu erhalten. Somit ist das Zerlegungsprinzip bei der Aufgabenlösung von Beudeutung.

 

  • Die Teildreiecke werden so gebildet, dass jeweils ein benötigter Winkel aus dem Dreieck \(\triangle ABC\) erhalten bleibt und berechnet werden kann - zunächst \(\beta\) und dann \(\alpha\). Somit wird das Invarianzprinzip genutzt.

Für den Schwierigkeitsgrad der Aufgabe ergibt sich nach Cohors-Fresenborg et al. sowohl für die rechnerische Lösung mit insgesamt 5 Punkten als auch für die zeichnerische Lösung mit insgesamt 3 Punkten eine Schwierigkeit der Stufe **.

 

 

Sprachlogische Komplexität: 

Bei der Aufgabenstellung handelt es sich um einen einfachen Frage(haupt)satz. Es sind keine für die Lösung relevanten Informationen, die die mathematische Erarbeitung erschweren könnten enthalten, aber dafür auch keine weiteren Hinweise für die mathematische Bearbeitung. Somit lässt sich die sprachlogische Komplexität der Aufgabe auf Stufe 1 ansiedeln.

 

 

Kognitive Komplexität: 

Die Kognitive Komplexität der Winkeldetektivaufgabe entspricht unter Berücksichtigung des Einsatzes in der Jahrgangsstufe 5/6 der Stufe 2, da Denkvorgänge der Bearbeitung vorausgehen müssen: Die SuS müssen mit der gegebenen Skizze arbeiten, diese zunächst sinnvoll beschriften und um Hilfslinien ergänzen, sodass bestimmte Winkel, die zur Lösung notwendig sind, ermittelt werden müssen. Auch bei der zeichnerischen Lösung muss sich vorher genau überlegt werden, wie die Figur klassisch mit Zirkel und Lineal konstruiert werden kann.

 

 

Formalisierung von Wissen: 

Bezüglich des rechnerischen Lösungsweges lässt sich die Formalisierung von Wissen auf Stufe 1 anordnen, da lediglich die Größe bestimmter Seiten und Winkel sowie die Berechnung von \(\gamma \) in Form von Gleichungen aufgeschrieben werden muss. Beim zeichnerischen Lösungsweg ist dies nicht zwingend erforderlich. Hier reicht es aus die Figur zu konstruieren und somit entspricht die Formalisierung von Wissen bezüglich dieses Lösungsweges der Stufe 0.

 

 

Formelhandhabung: 

Beim rechnerischen Lösungsweg ist lediglich bei der Anwendung des Innenwinkelsummensatzes für Dreiecke zur Ermittlung von \(\gamma\) eine Gleichungsumformung notwendig, beim zeichnerischen Lösungsweg hingegen gar keine. Somit entspricht die Formelhandhabung bezüglich des ersten Lösungsweges der Stufe 1 und bezüglich des zweiten Lösungsweges der Stufe 2.

 

 

Stufenzuordnung: 
Formalisierung von Wissen
Stufe 0
Stufe 1
Formelhandhabung
Stufe 0
Stufe 1
Kognitive Komplexität
Stufe 2
Sprachlogische Komplexität
Stufe 1

Hilfestellungen: 

Beim Lösen der Winkeldetektivaufgabe können bei den Schülerinnen und Schüler an einigen Stellen Probleme auftreten. Hier werden drei solcher Schwierigkeiten genannt und es wird darauf eingegangen, mit welchen allgemein-strategischen, inhaltlich-strategischen und inhaltlichen Hilfestellungen als Lehrerin oder Lehrer darauf eingegangen werden kann.

 

Mögliche Schwierigkeit 1: Das Erkennen, dass die Kreisbögen anzeigen, dass es sich bei dem Teildreieck \(\triangle ABB'\) um ein gleichschenkliges Dreieck handelt.

Mögliche Hilfestellungen:

Allgemein-strategische Hilfen Inhaltsorientierte strategische Hilfen Inhaltliche Hilfen
Sieh dir die Planfigur an. Was ist gegeben? Was zeigen dir die Kreisbögen? Was kannst du über die Winkel in den gleichschenkligen Dreiecken sagen?

 

 

 

Mögliche Schwierigkeit 2: Das Erkennen, dass das Teildreieck \(\triangle ABD\) gebildet werden kann.

Mögliche Hilfestellungen:

Allgemein-strategische Hilfen Inhaltsorientierte strategische Hilfen Inhaltliche Hilfen
Sieh dir die Planfigur an. Was ist gegeben? Helfen die Kreisbögen weiter? Kannst du die Figur zerlegen?

 

 

 

Mögliche Schwierigkeit 3: Das Erkennen, dass das Teildreieck \(\triangle ABD\) ein gleichseitiges ist.

Mögliche Hilfestellungen:

Allgemein-strategische Hilfen Inhaltsorientierte strategische Hilfen Inhaltliche Hilfen
Sieh dir die Planfigur an. Was ist gegeben? Was zeigen dir die Kreisbögen? Was kannst du über die Winkel in den gleichseitigen Dreiecken sagen?

 

 

Sozialformen: 
  • Einzelarbeit
  • Partnerarbeit

 

 

Differenzierungsmöglichkeiten: 

Die Winkeldetektivaufgabe kann sowohl für leistungsschwächere als auch leistungsstärkere Schülerinnen und Schüler abgewandelt werden, sodass sie für alle Lernenden eine angemessene Schwierigkeit darstellt.

 

Differenzierungsmöglichkeiten für leistungsschwächere Schülerinnen und Schüler:

  • Das Dreieck \(\triangle ABD\) kann bereits in die Skizze der Aufgabenstellung eingezeichnet werden.

 

  • In der Skizze können im Dreieck \(\triangle ABD\) auch noch die Winkel in den Punkten \(B\) und \(B'\) vorgegeben werden. Alternativ kann auch der Winkel neben dem \(28°\)-Winkel angegeben werden. Dann müssen die Schülerinnen und Schüler später nur noch den Nebenwinkel zu dem Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck bestimmen, um \(\gamma\) bestimmen zu können.

 

Differenzierungsmöglichkeiten für leistungsstärkere Schülerinnen und Schüler:

  • Für leistungsstärkere Schülerinnen und Schüler könnte man noch zusätzlich die Winkel berechnen lassen, die in dem Dreieck aus E, C, D und dem Schnittpunkt von \(\overline { BE } \) und \(\overline { AD } \) entstehen. Weiterhin kann man zusätzliche Winkel in der Figur bestimmen lassen, die mit Winkelsätzen bestimmt werden müssen. Dazu müsste man die Figur jedoch größer gestalten, damit sie übersichtlich bleibt.

Die Aufgabe lässt sich als langfristige Aufgabe in Partner bzw. Gruppenarbeit einsetzen, falls diese in der 5/6 Klassenstufe gestellt wird, denn die Bearbeitung bietet sich nicht im Unterricht an, da die Zeit zum Bearbeiten der Aufgabe unter den Schülerinnen und Schülern unterschiedlich lange dauern wird. Die Aufgabe kann man dann in Zusammenarbeit lösen. Durch den gemeinsamen Austausch von Ideen zur Lösung werden die Schülerinnen und Schüler eher zu einem Ergebnis gelangen. Dabei ist es jedoch sinnvoll, den zeichnerischen Lösungsweg nur als Kontrollmöglichkeit für den rechnerischen Lösungsweg anzubieten. Zum Einstieg in ein Thema ist die Aufgabe nicht geeignet.

 

 



Bearbeitet von: Dr. Ana Kuzle, Felix Rehm (ergänzt von Marisa Pfläging)
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