Klasse | Schulstufe | Thema | Themengebiet | Schwierigkeit |
---|---|---|---|---|
5/ 6/ 7/ 8 | Primarstufe, Sekundarstufe I | Winkelbestimmung in ebenen Figuren | Größen und Messen, Raum und Form | ** |
Heuristsche Hilfsmittel | Heuristische Prinzipien | Heuristische Strategien |
---|---|---|
Informative Figur, Gleichungen | Zerlegungs- und Ergänzungsprinzip, Invarianzprinzip | Vorwärtsarbeiten |
Wie groß ist \(\gamma \) ? |
|
Zunächst gilt: \(\sphericalangle BAB'=28°\).
Nun liegen \(B\) und \(B’\) auf dem Kreisbogen um \(A\), daher ist das Dreieck \(\triangle ABB’\) ein gleichschenkliges Dreieck. Da ein gleichschenkliges Dreieck zwei gleichgroße Basiswinkel besitzt, folgt: \(β=76°\) und \(β’=76°\).
Der Punkt \(D\) liegt sowohl auf dem Kreisbogen um \(A\) als auch auf dem Kreisbogen um \(B\). Der Punkt \(D\) ist also von den Punkten \(A\) und \(B\) gleichweit entfernt. Es gilt also: \(\overline { AD } =\overline { BD } =\overline { AB } \). Somit ist das Dreieck \(\triangle ABD\) ein gleichseitiges Dreieck. In einem gleichseitigen Dreieck hat jeder Winkel ein Maß von \(60°\) und somit gilt: Der Winkel \(\sphericalangle BAD\) hat ein Winkelmaß von \(60°\).
Wir haben nun für den Winkel \(\sphericalangle BAD\) ein Maß von \(60°\) und für den Winkel \(<B'BA\) ein Winkelmaß von \(76°\). Da die Winkelsumme in einem beliebigen Dreieck \(180°\) beträgt, können wir nun, da zwei der drei Winkel in dem Dreieck \(\triangle ABC\) bekannt sind, den dritten Winkel \(γ\) berechnen:
\(γ=180°-76°-60°=44°\).
|
![]() |
|
![]() |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
![]() |
Die Aufgabe lässt sich in der Klassenstufe 5/6 im Rahmen der Unterrichtsthematik Winkelberechnungen an Dreiecken einsetzen. Das Wissen um die besonderen Eigenschaften von gleichschenkligen und gleichseitigen Dreiecken allein reicht jedoch nicht zum Lösen der Aufgabe aus. Die theoretischen Grundlagen zum Lösen dieser Aufgabe werden erst in den letzten Klassenstufen der Grundschule (laut LISUM (2015) entspricht das "Messen von Größen (auch von [...] spitzen, gestreckten und stumpfen Winkeln)" (S.42) der Niveaustufe D) vermittelt, wodurch man auch überlegen könnte, diese Aufgabe erst in der Jahrgangsstufe 7/8 einzusetzen. Bei der rechnerischen Lösungsvariante kann ausgehend vom Gegebenen durch geeignete Überlegungen ein exakter Wert für den Winkel gefunden werden. Es werden verschiedene grundlegende Kenntnisse in dieser Aufgabe benötigt, die vertieft und flexibel zur Anwendung gebracht werden: Grundvoraussetzung zur Bearbeitung dieser Aufgabe ist die Kenntnis über den Winkelsummensatz im Dreieck. Außerdem wird das Verständnis über die Konstruktion und die Eigenschaften von gleichseitigen und gleichschenkligen Dreiecken gefordert. Die Eigenschaften eines Kreises, insbesondere des Kreisradius und des Kreisbogens werden problemorientiert wiederholt. Zum Teil müssen diese Eigenschaften in der Zeichnung erkannt werden, oder mit Hilfe geeigneter Hilfslinien (hier etwa die Strecke \(\overline { BD } \)) „hineingesehen“ werden.
Kompetenzformulierungen bezüglich der rechnerischen Lösungsvariante
Inhaltsbezogene Kompetenzformulierungen
Raum und Form
Die Schülerinnen und Schüler
Größen und Messen
Die Schülerinnen und Schüler
Prozessbezogene Kompetenzformulierungen
Problemlösen
Die Schülerinnen und Schüler
Mit symbolischen, formalen, technischen Elementen der Mathematik umgehen
Die Schülerinnen und Schüler
Mathematisch kommunizieren
Die Schülerinnen und Schüler
Kompetenzformulierungen bezüglich der zeichnerischen Lösungsvariante
Inhaltsbezogene Kompetenzformulierungen
Raum und Form
Die Schülerinnen und Schüler
Größen und Messen
Die Schülerinnen und Schüler
Prozessbezogene Kompetenzformulierungen
Mathematische Darstellungen verwenden
Die Schülerinnen und Schüler
Mathematisch kommunizieren
Die Schülerinnen und Schüler
Problemlösen
Die Schülerinnen und Schüler
Mit symbolischen, formalen, technischen Elementen der Mathematik umgehen
Die Schülerinnen und Schüler
Für den Schwierigkeitsgrad der Aufgabe ergibt sich nach Cohors-Fresenborg et al. sowohl für die rechnerische Lösung mit insgesamt 5 Punkten als auch für die zeichnerische Lösung mit insgesamt 3 Punkten eine Schwierigkeit der Stufe **.
Bei der Aufgabenstellung handelt es sich um einen einfachen Frage(haupt)satz. Es sind keine für die Lösung relevanten Informationen, die die mathematische Erarbeitung erschweren könnten enthalten, aber dafür auch keine weiteren Hinweise für die mathematische Bearbeitung. Somit lässt sich die sprachlogische Komplexität der Aufgabe auf Stufe 1 ansiedeln.
Die Kognitive Komplexität der Winkeldetektivaufgabe entspricht unter Berücksichtigung des Einsatzes in der Jahrgangsstufe 5/6 der Stufe 2, da Denkvorgänge der Bearbeitung vorausgehen müssen: Die SuS müssen mit der gegebenen Skizze arbeiten, diese zunächst sinnvoll beschriften und um Hilfslinien ergänzen, sodass bestimmte Winkel, die zur Lösung notwendig sind, ermittelt werden müssen. Auch bei der zeichnerischen Lösung muss sich vorher genau überlegt werden, wie die Figur klassisch mit Zirkel und Lineal konstruiert werden kann.
Bezüglich des rechnerischen Lösungsweges lässt sich die Formalisierung von Wissen auf Stufe 1 anordnen, da lediglich die Größe bestimmter Seiten und Winkel sowie die Berechnung von \(\gamma \) in Form von Gleichungen aufgeschrieben werden muss. Beim zeichnerischen Lösungsweg ist dies nicht zwingend erforderlich. Hier reicht es aus die Figur zu konstruieren und somit entspricht die Formalisierung von Wissen bezüglich dieses Lösungsweges der Stufe 0.
Beim rechnerischen Lösungsweg ist lediglich bei der Anwendung des Innenwinkelsummensatzes für Dreiecke zur Ermittlung von \(\gamma\) eine Gleichungsumformung notwendig, beim zeichnerischen Lösungsweg hingegen gar keine. Somit entspricht die Formelhandhabung bezüglich des ersten Lösungsweges der Stufe 1 und bezüglich des zweiten Lösungsweges der Stufe 2.
Beim Lösen der Winkeldetektivaufgabe können bei den Schülerinnen und Schüler an einigen Stellen Probleme auftreten. Hier werden drei solcher Schwierigkeiten genannt und es wird darauf eingegangen, mit welchen allgemein-strategischen, inhaltlich-strategischen und inhaltlichen Hilfestellungen als Lehrerin oder Lehrer darauf eingegangen werden kann.
Mögliche Schwierigkeit 1: Das Erkennen, dass die Kreisbögen anzeigen, dass es sich bei dem Teildreieck \(\triangle ABB'\) um ein gleichschenkliges Dreieck handelt.
Mögliche Hilfestellungen:
Allgemein-strategische Hilfen | Inhaltsorientierte strategische Hilfen | Inhaltliche Hilfen |
Sieh dir die Planfigur an. Was ist gegeben? | Was zeigen dir die Kreisbögen? | Was kannst du über die Winkel in den gleichschenkligen Dreiecken sagen? |
Mögliche Schwierigkeit 2: Das Erkennen, dass das Teildreieck \(\triangle ABD\) gebildet werden kann.
Mögliche Hilfestellungen:
Allgemein-strategische Hilfen | Inhaltsorientierte strategische Hilfen | Inhaltliche Hilfen |
Sieh dir die Planfigur an. Was ist gegeben? | Helfen die Kreisbögen weiter? | Kannst du die Figur zerlegen? |
Mögliche Schwierigkeit 3: Das Erkennen, dass das Teildreieck \(\triangle ABD\) ein gleichseitiges ist.
Mögliche Hilfestellungen:
Allgemein-strategische Hilfen | Inhaltsorientierte strategische Hilfen | Inhaltliche Hilfen |
Sieh dir die Planfigur an. Was ist gegeben? | Was zeigen dir die Kreisbögen? | Was kannst du über die Winkel in den gleichseitigen Dreiecken sagen? |
Die Winkeldetektivaufgabe kann sowohl für leistungsschwächere als auch leistungsstärkere Schülerinnen und Schüler abgewandelt werden, sodass sie für alle Lernenden eine angemessene Schwierigkeit darstellt.
Differenzierungsmöglichkeiten für leistungsschwächere Schülerinnen und Schüler:
Differenzierungsmöglichkeiten für leistungsstärkere Schülerinnen und Schüler:
Die Aufgabe lässt sich als langfristige Aufgabe in Partner bzw. Gruppenarbeit einsetzen, falls diese in der 5/6 Klassenstufe gestellt wird, denn die Bearbeitung bietet sich nicht im Unterricht an, da die Zeit zum Bearbeiten der Aufgabe unter den Schülerinnen und Schülern unterschiedlich lange dauern wird. Die Aufgabe kann man dann in Zusammenarbeit lösen. Durch den gemeinsamen Austausch von Ideen zur Lösung werden die Schülerinnen und Schüler eher zu einem Ergebnis gelangen. Dabei ist es jedoch sinnvoll, den zeichnerischen Lösungsweg nur als Kontrollmöglichkeit für den rechnerischen Lösungsweg anzubieten. Zum Einstieg in ein Thema ist die Aufgabe nicht geeignet.
Wir freuen uns auf Ihre Anregungen und konstruktive Rückmeldung zum Material.
Copyright © 2014-2017 - Ana Kuzle