Geometrische Knobelaufgabe

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Klasse Schulstufe Thema Themengebiet Schwierigkeit
5/ 6 Primarstufe Strecken Größen und Messen, Raum und Form, Zahlen und Operationen **, ***

Aufgabenstellung

In welcher Reihenfolge liegen die Punkte \(B\), \(C\) und \(D\) auf der 2 m langen Strecke \(\overline { AE } \), wenn \(\overline { AB } \) = \(\overline { CE } \) = 110 cm beträgt und \(\overline { AD } \) = \(\frac { 7 }{ 10 } \) der Gesamtlänge von \(\overline { AE } \) ist?

 

 

Quellenangabe:

Original aus Känguru 2006 - Klassenstufen 5 und 6, Aufgabe 16 (Link: http://www.mathe-kaenguru.de/chronik/aufgaben/downloads/06_56.pdf; letzter Zugriff: 07.08.2017)


Lösungsvariante 1 - Zeichnerische Lösung
 
 
 
Skizze:
 

 

Lösung:

In den folgenden Zeichnungen entspricht ein Zentimeter einem Meter. Längenangaben werden also im Maßstab 1:100 angegeben.

 

1. Die gegebene Strecke \(\overline { AE } \) wird gezeichnet.

 

 

 

 

 

2. Die Punkte \(A\) und \(C\) werden mithilfe der gegebenen Strecken \(\overline { AB } = 110cm\) und \(\overline { CE } = 110cm\) abgetragen.

 

 

 

 

 

 

 

 

Punkt \(C\) liegt somit auf der Strecke \(\overline { AE } \) vor Punkt \(B\).

 

 

 

3. Ermittlung des Punktes \(D\) durch die gegebene Strecke von \(\overline { AD } = 140 cm\).

 

Nebenrechnung:

\(\overline { AD } \): \(\frac { 7 }{ 10 } \) von 200 cm

Es gilt: \(\frac { 1 }{ 10 } \) von 200 entspricht 20.

Also \(\overline { AD } =7\cdot 20=140\quad [cm]\) .

Somit gilt für die Reihenfolge der Punkte:

\(C\), \(B\), \(D\)

 
 

 

 
 
 
Lösungsvariante 2 - Rechnerische Lösung

 

 

Skizze

 

gegeben:

\(\overline { AE } =\quad 200cm\)

\(\overline { AB } =\quad 110cm\)

\(\overline { CE } =\quad 110cm\)

 

\(\overline { AD } :\) \(\frac { 7 }{ 10 } \) von \(200cm\) .

\(\frac { 1 }{ 10 } \) von \(200cm = 20cm\)

Also \(\overline { AD } =7\cdot 20cm =140cm\)

 

 

 

gesucht: Reihenfolge der Punkte \(B\), \(C\) und \(D\)

 

Lösung:

Ermittle die kürzeste Strecke vom Punkt \(A\) aus, indem die Längen der Strecken \(\overline { AB } \), \(\overline { AC } \) und \(\overline { AD } \) verglichen werden.

Es sind bereits folgende Strecken bekannt:

\(\overline { AB } =\quad 110cm\)

\(\overline { AD } =\quad 140cm\)

 

Berechne \(\overline { AC } \) mit den gegebenen Strecken:

\(\overline { AC } =\overline { AE } -\overline { CE } \\ \quad =200cm-110cm\\ \quad =90cm\)

 

 

Die Strecke \(\overline { AC } \) ist am kürzesten, gefolgt von \(\overline { AB } \) und schließlich \(\overline { AD } \) . Somit muss auf der Strecke \(\overline { AE }\) der Punkt \(C\) zuerst kommen, gefolgt von Punkt \(B\) und dann von Punkt \(D\).


Die geometrische Knobelaufgabe lässt sich in der Jahrgangsstufe 5/6 einsetzen, da sie zum einen aus dem Känguru-Katalog der fünften und sechsten Jahrgangsstufe entnommen wurde und zum anderen den geförderten und notwendigen Kompetenzen der Niveaustufe D bezüglich des brandenburgischen Rahmenlehrplans entspricht (siehe "Geförderte Kompetenzen").


Mit der geometrischen Knobelaufgabe werden die inhaltsbezogenen Kompetenzbereiche [L1] Zahlen und Operationen, [L2] Größen und Messen und [L3] Raum und Form sowie die prozessbezogenen Kompetenzbereiche [K2] Probleme mathematisch lösen, [K4] Mathematische Darstellungen verwenden und [K5] Mit symbolischen, formalen, technischen Elementen der Mathematik umgehen aus dem brandenburgischen Rahmenlehrplan Mathematik für die Jahrgangsstufen 1-10 (vgl. LISUM, 2015), der ab dem Schuljahr 2017/18 gültig ist, gefördert.

 

 

Inhaltsbezogene Kompetenzformulierungen

 

Größen und Messen [L2]

Kompetenz 1: Die Schülerinnen und Schüler können verschiedene Einheiten der Größenangaben umwandeln (m in cm).

"Die Schülerinnen und Schüler können mit Größenangaben rechnen [...]" (LISUM 2015, Größen in Sachzusammenhängen berechnen, Niveaustufe C, S.25)

Erläuterung: Für das korrekte Lösen der Aufgabe und die Verwendung der gegebenen Größen in einer Gleichung ist es nötig, die Einheiten der Größenangaben zunächst in eine einheitliche Einheit umzuwandeln.

 

Zahlen und Operationen [L1]

Kompetenz 2: Die Schülerinnen und Schüler können mit Bruchteilen von Größen rechnen.

"Die Schülerinnen und Schüler können Rechenstrategien, -verfahren, -regeln und Gesetze der Grundrechenoperationen nutzen (auch im Bereich der gebrochenen Zahlen)" (LISUM 2015, Rechenverfahren und -strategien anwenden, Niveaustufe D, S.23)

Erläuterung: Um die Strecke \(\overline { AD } \) korrekt einordnen zu können, ist es nötig, den Bruch \(\frac { 7 }{ 10 } \) zunächst in eine natürliche Zahl aufzulösen.

 

Raum und Form [L3]

Kompetenz 3: Die Schülerinnen und Schüler können die Punkte und Strecken verschiedener Streckenangaben in zeichnerischer Form darstellen.

"Die Schülerinnen und Schüler können ausgewählte geometrische Objekte herstellen und zeichnen" (LISUM 2015, Geometrische Objekte darstellen, Niveaustufe B, S.26)

Erläuterung: Diese Visualisierung der Strecken kann wie im Beispiel des ersten Lösungsweges zur Lösung führen.

 

 

 

Prozessbezogene Kompetenzformulierungen

 

Probleme mathematisch lösen [K2]

Kompetenz 4: Die Schülerinnen und Schüler können die Grundrechenarten der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division im Bereich der gebrochenen Zahlen bei der Bearbeitung von Problemen anwenden.

"Die Schülerinnen und Schüler können mathematische Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten bei der Bearbeitung von Problemen anwenden" (LISUM 2015, S.19)

Erläuterung: Um mit der Gleichungsschreibweise zu einer Lösung zu gelangen, ist es nötig die Aufgabe zu strukturieren. Mit der Suche der kürzesten Strecke vom Punkt A aus, ist die Aufgabe nach dieser Umsetzung gelöst. Um auf diese Idee zu kommen, müssen die Schülerinnen und Schüler ihre mathematischen Fähigkeiten, Kenntnisse und Fertigkeiten kombinieren.

 

Mathematische Darstellungen verwenden [K4]

Kompetenz 5: Die Schülerinnen und Schüler können geeignete Darstellungen (Informative Figur in Form einer Streckenübersicht) für das Bearbeiten von mathematischen Sachverhalten nutzen, um zu einer Problemlösung zu gelangen.

"Die Schülerinnen und Schüler können geeignete Darstellungen für das Bearbeiten mathematischer Sachverhalte und Probleme auswählen, nutzen und entwickeln", "können Darstellungen zielgerichtet verändern" (LISUM 2015, S.20)

Erläuterung: Wie beim ersten Lösungsweg ist es möglich und naheliegend, die Aufgabe mit einer informativen Figur zu bewältigen. Dazu müssen die Informationen aus der Aufgabe in eine graphische Darstellung übersetzt werden.

 

Mit symbolischen, formalen, technischen Elementen der Mathematik umgehen [K5]

Kompetenz 6: Die Schülerinnen und Schüler können Beschreibungen in Gleichungen übersetzen.

"Die Schülerinnen und Schüler können [...] Gleichungen [...] zur Beschreibung von Sachverhalten nutzen" (LISUM 2015, S.20)

Erläuterung: Um die Strecke \(\overline { AC } \) zu ermitteln, muss man den Zusammenhang der Strecken \(\overline { AC } \) und \(\overline { CE } \) verstehen und diesen in eine Gleichung übersetzen.
 


Heuristische Hilfsmittel: 
  • Beim ersten Lösungsweg wird eine Informative Figur genutzt. Dabei werden die gegebenen Größen direkt auf die gezeichnete Strecke übertragen, sodass bis auf das Umrechnen des Bruches keine weiteren rechnerischen Maßnahmen nötig sind.

 

  • Beim zweiten Lösungsweg wird das heuristische Hilfsmittel der Gleichung verwendet. Um die kürzeste Strecke vom Punkt A aus herauszufinden, wird die Strecke \(\overline { AC } \) in Formelsprache durch andere gegebene Größen ersetzt. Dabei macht man sich die Beziehungen zwischen den gegebenen Größen zunutze.

 

 

Heuristische Strategien: 
  • Bei der zeichnerischen Lösung wird die Strategie des Vorwärtsarbeitens genutzt: Das gegebene wird schrittweise in eine Abbildung gezeichnet bis schließlich die Reihenfolge der Punkte ersichtlich ist.

 

  • Bei der rechnerischen Lösung wird zunächst das Gesuchte betrachtet und es folgt die Überlegung, dass durch Vergleich der Längen \(\overline { AB } \), \(\overline { AC } \) und \(\overline { AD } \) die Reihenfolge der Punkte B, C und D ermittelt werden kann. Hierbei handelt es sich um Rückwärtsarbeiten. Im nächsten Schritt wird dann vorwärts gearbeitet, indem festgestellt wird, dass die Strecken \(\overline { AB } \) und \(\overline { AD } \) bereits gegeben sind. Die Strecke \(\overline { AC } \) muss jedoch erst ermittelt werden, wobei wieder rückwärtsgearbeitet wird. Bei diesem Lösungsweg wird demnach die Strategie des kombinierten Vorwärts- und Rückwärtsarbeitens angewandt.

 

 

Heuristische Prinzipien: 
  • Beim ersten Lösungsweg ist das Ergänzungsprinzip von Bedeutung. So wird die Strecke \(\overline { AE } \) um die Strecken \(\overline { AB } \), \(\overline { CE } \) und \(\overline { AD } \) ergänzt, um die Reihenfolge der Punkte erkennen zu können.

 

  • Daneben spielt das Invarianzprinzip eine Rolle: Alle Punkte haben die Gemeinsamkeit, dass sie auf der Strecke \(\overline { AE } \) liegen und außerdem haben zwei gegebene Strecken die gleiche Länge (\(\overline { AB } \) = \(\overline { CE } \)).

 

  • Insbesondere bei der zeichnerischen Lösung wird auch das Transformationsprinzip genutzt, da die gegebenen algebraischen Strecken in die graphische Darstellung transformiert werden.

 

  • Beim rechnerischen Lösungsweg wird außerdem das Symmetrieprinzip genutzt. So werden bei dieser Lösung die drei Strecken \(\overline { AB } \), \(\overline { AC } \) und \(\overline { AD } \) betrachtet, die alle den gleichen Ausgangspunkt \(A\) haben, wodurch sich die Punkte \(B\), \(C\) und \(D\) in Bezug auf den Abstand zu \(A\) vergleichen lassen.

Die geometrische Knobelaufgabe hat nach Cohors-Fresenborg et al. bezüglich der zeichnerischen Lösung mit vier erreichten Punkten einen Schwierigkeitsgrad von ** und bezüglich des rechnerischen Lösungswegs mit insgesamt sechs erreichten Punkten einen Schwierigkeitsgrad von ***.

 

 

Sprachlogische Komplexität: 

Die Aufgabenstellung besteht aus einem Haupt- und einem Nebensatz, in dem auch eine Information enthalten ist, die zunächt berechnet werden muss und dann erst weiter verwendet werden kann ("wenn [...]  \(\overline { AD } \) \(=\frac { 7 }{ 10 } \) der Gesamtlänge von \(\overline { AE } \) ist"). Außerdem gibt die Reihenfolge der Satzteile keinen Aufschluss über die Schritte bei der mathematischen Bearbeitung. Aufgrund des komplexen Satzbaus und den vielen Informationen in diesem kurzen Satz lässt sich die Aufgabe bezüglich der Sprachlogischen Komplexität in Anbetracht des Einsatzes in einer fünften oder sechsten Klasse auf Stufe 2 einordnen.

 

 

Kognitive Komplexität: 

Die Kognitive Komplexität lässt sich sowohl bezüglich der zeichnerischen Lösung als auch bezüglich der rechnerischen Lösung auf Stufe 2 ansiedeln. So müssen bei beiden Lösungswegen Denkvorgänge vor der Bearbeitung ausgewählt werden: Bei der zeichnerischen Lösung muss die Überlegung voran gehen, die algebraischen Angaben in eine geometrische Darstellung zu übertragen. Beim rechnerischen Lösungsweg, muss vorher die Überlegung gemacht werden, dass die drei Strecken, welche die Punkte B, C und D jeweils mit dem Punkt A verbinden, bezüglich ihrer Länge verglichen werden können.

 

 

Formalisierung von Wissen: 

Bei der zeichnerischen Lösung lässt sich die Formalisierung von Wissen auf Stufe 0 ansiedeln, da Darstellungen lediglich in graphischer und rechnerischer Form zu erstellen sind. Beim zweiten Lösungsweg ist es notwendig, eine einfache Gleichung aufzustellen, um die Strecke \(\overline { AC } \) zu berechnen. Somit lässt sich die Formalisierung von Wissen bei diesem Lösungsweg auf Stufe 1 ansiedeln.

 

 

Formelhandhabung: 

Aus den gleichen Gründen wie bei der Formalisierung von Wissen lässt sich die Formelhandhabung bezüglich der zeichnerischen Lösung auf Stufe 0 einordnen und bezüglich der rechnerischen Lösung auf Stufe 1. Bei der zeichnerischen Lösung sind algebraische Operationen lediglich bei der Berechnung der Strecke \(\overline { AD } \) erforderlich, bei der rechnerischen Lösung zusätzlich bei der Ermittlung der Strecke \(\overline { AC } \).

 

 

Stufenzuordnung: 
Formalisierung von Wissen
Stufe 0
Stufe 1
Formelhandhabung
Stufe 0
Stufe 1
Kognitive Komplexität
Stufe 2
Sprachlogische Komplexität
Stufe 2

Hilfestellungen: 

Bei der Bearbeitung der Knobelaufgabe durch Schülerinnen und Schüler der fünften oder sechsten Jahrgangsstufe könnten an einigen Stellen Schwierigkeiten auftreten. Im Folgenden sind zwei solcher kritischen Stellen aufgeführt und es wird dargestellt, mit welchen allgemein-strategischen, inhaltsorientierten strategischen Hilfen und inhaltlichen Hilfen in solchen Situationen interveniert werden kann.

 

Die Lernenden könnten zunächst Schwierigkeiten haben die 2 m lange Strecke \(\overline { AE } \) mit den 110 cm langen Strecken \(\overline { AB } \) und \(\overline { CE } \) sinnvoll in Verbindung zu bringen, bzw. die 2 m in 200 cm umzurechnen, um schließlich damit weiterarbeiten zu können. Tritt diese Problematik auf, so können beispielsweise folgende Hilfen gegeben werden:

 

Allgemein-strategische Hilfen Inhaltsorientierte strategische Hilfen Inhaltliche Hilfen
Wann können wir mit verschiedenen (Längen-)Einheiten rechnen? In welche Einheiten lässt sich die Einheit Meter umrechnen? Wie viel Zentimeter entsprechen einem Meter?
Können wir die gegebenen Längen problemlos verrechnen? Bringe die Längen auf eine Einheit! Wie viel Zentimeter entsprechen zwei Metern?
Wie gehen wir vor, wenn wir mit Längenangaben rechnen? Mit welcher Einheit lässt sich am besten weiterarbeiten? Wie lässt sich Meter in Zentimeter umrechnen?

 

 

Außerdem könnten die Schülerinnen und Schüler Probleme haben, einen geeigneten Lösungsansatz, bzw. eine geeignete Herangehensweise zu finden. Bei beiden Lösungswegen ist ein räumliches Vorstellungsvermögen erforderlich und eine Skizze kann helfen, um sich die Situation zu veranschaulichen. Kommen die Schülerinnen und Schüler nicht auf diesen Gedanken, so kann als Lehrperson mit folgenden Hilfestellungen interveniert werden.

 

Allgemein-strategische Hilfen Inhaltsorientierte strategische Hilfen Inhaltliche Hilfen
Fertige dir eine Skizze an!

Kannst du die gegebenen Strecken graphisch darstellten?

(Diese Hilfe leitet zur zeichnerischen Lösung hin.)

 Wie sieht die in der Aufgabenstellung dargestellte Information graphisch aus?
Kannst du dir die gegebenen Informationen veranschaulichen?

Durch welche Objekte lassen sich die Punkte B, C und D vergleichen?

(Diese Frage leitet zur rechnerischen Lösung hin.)

 Welche Objekte werden durch die gegebenen algebraischen Ausdrücke beschrieben?
Wie gehen wir bei Problemlöseaufgaben im Allgemeinen vor? Welche Hinweise geben die Längen der gegebenen Strecken auf die Lage der Punkte auf der Strecke \(\overline { AE } \)? -

 

 

Sozialformen: 
  • Einzelarbeit

 

 

Differenzierungsmöglichkeiten: 

Die Knobelaufgabe an sich stellt bereits eine Art der Differenzierung dar, da mit dieser hauptsächlich leistungsstärkere Schülerinnen und Schüler angesprochen werden, welche die Zielgruppe von Mathematik-Wettbewerben wie dem Känguru-Wettbewerb sind.

 

Die Aufgabe könnte generell für alle Schülerinnen und Schüler als Zusatzaufgabe eingesetzt werden, wenn sie mit der Bearbeitung von anderen Übungsaufgaben der Thematik "Strecken" bereits fertig sind. Sie lässt sich aber darüber hinaus auch noch weiter für leistungschwächere Schülerinnen und Schüler abwandeln. So kann in der Aufgabenstellung die Länge der Strecke \(\overline { AE } \) von 2m in 200cm abgewandelt werden. In diesem Fall wäre eine Umrechnung nicht mehr notwendig. Außerdem könnte die Länge der Strecke \(\overline { AD } \) als natürliche Zahl, also direkt als 140 cm angegeben werden, sodass eine explizite Berechnung nicht mehr notwendig ist. Eine weitere Möglichkeit der Vereinfachung wäre es, eine Skizze, die die Strecke \(\overline { AE } \) darstellt, neben der Aufgabenstellung anzugeben. Damit würde den Schülerinnen und Schülern der Einstieg in die Aufgabe erleichtert werden.

 

Auch für leistungsstärkere Schülerinnen und Schüler könnte die Aufgabe abgewandelt werden, sodass sie noch weiter an Schwierigkeit zunimmt. So könnten auch die Strecken \(\overline { AB } \) und \(\overline { CE } \) nicht als ganze Zahl (110cm) sondern als gebrochene Zahl (\(\frac { 11 }{ 20 } \) von der Strecke \(\overline { AE } \) ) angegeben werden. Außerdem könnte die Strecke \(\overline { CE } \) anstelle von 110cm beispielsweise 150cm lang sein. An der Reihenfolge der Punkte würde sich damit letztendlich nichts ändern, es wären aber mehr verschiedene Längen im Spiel, wodurch die Aufgabe an Komplexität gewinnen würde.


Die Aufgabe eignet sich wie der Großteil der Aufgaben aus dem Känguru-Wettbewerb vor allem zum Knobeln. Insofern sollte die Aufgabe eher am Ende eines Lernabschnittes oder einer Lernsequenz stehen.

Sie könnte ebenfalls eine Übungsmöglichkeit für das Umrechnen von Einheiten und den Umgang mit Strecken darstellen.



Bearbeitet von: Josephine Schuldt (ergänzt von Marisa Pfläging)
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