Münzen werfen

Klasse Schulstufe Thema Themengebiet Schwierigkeit
8/ 9/ 10 Sekundarstufe I Daten und Zufall **

Aufgabenstellung

Auf die Frage, was Wahrscheinlichkeit ist, erklärt dir jemand: "Wirft man drei Münzen, ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie alle mit Kopf oder Zahl nach oben landen, 1:2. Bei drei Münzen müssen nämlich immer mindestens zwei zugleich dasselbe zeigen. Die Dritte Münze zeigt mit derselben Häufigkeit Kopf oder Zahl und bestimmt so die Wahrscheinlichkeit."

 1)     Stimmt das? Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Münzen mit Kopf oder Zahl oben landen?

(2)    ( Wie kommt dieser jemand zu dieser Einschätzung? )

Quellenangabe:

Moscovich, Ivan: 1000 Denkspiele aus Wissenschaft, Natur und Technik; deutsche Ausgabe 2012; h.f.ullmann publishing, Potsdam


Lösung Baumdiagramm:

http://www.ellroth.de/M8_5Laplace_Wahrscheinlichkeit_clip_image034.gif

Jeder der einzelnen Stränge hat eine Wahrscheinlichkeit von \({1 \over 8}\), da sich die Wahrscheinlichkeiten von jeweils \({1 \over 2}\) entlang der Stränge multiplizieren. Die Summe der Wahrscheinlichkeiten der beiden in Frage kommenden Stänge ZZZ und KKK ist \({2 \over 8}\), also \({1 \over 4}\).

 

Lösung Bernoulli-Kette:

Ein dreifacher (fairer) Münzwurf ist die dreifache Ausführung eines Bernoulliexperiments und somit \((3;0,5;k)\)-Binomial-verteilt. Das von uns betrachtete Ereignis \(A\) entspricht \(k\in \{0;3\}\).

Also gilt:

\(P(A) = P(x=0) + P(x=3) \)

\(P(A) = \binom{3}{0}\times0,5^0\times0,5^3+ \binom{3}{3}\times0,5^3\times0,5^0 \)

\(P(A) = 0,125+0,125 = 0,25\)

 

Lösung Laplace-Tabelle:

Das werfen von drei Münzen kann auch als Urnenversuch im kombinatorischen Sinne verstanden werden und entspricht dem Ziehen mit Zurücklegen ohne Berücksichtigung der Reihenfolge. Wegen \(n=2\) und \(k=3\) gibt es \(n^k=8\) verschiedene Kombinationen, die alle gleichwahrscheinlich sind. Nach Laplace ist dann \(P(A)={Anzahl~der~Günstigen \over Anzahl~der~Möglichen}={2 \over 8}={1 \over 4}\).

 

Lösung probieren:

Selbst verständlich ist es auch möglich, die Wahrscheinlichkeit der Ereignisses durch eine Annäherung der relativen Häufigkeit über eine Stichprobe mit einer geeigneten Anzahl an Versuchen zu ermitteln.

 

Zusatzaufgabe Lösung Sprache:

Der Fehler kommt durch die falsche Interpretation der "Dritten Münze", wie sie in der Aufgabe genannt wird, zustande. Die Formulierung "mindestens zwei Münzen" macht nämlich keine Aussage darüber, welche zwei Münzen das überhaupt sind. Dementsprechend ist auch die dritte Münze nicht genau zuzuordnen. Sobald man die Münzen mit z.B: den zahlen \(A,B,C\) oder bestimmten Plätzen in der Bernoulli-Kette konnotiert, stößt diese Logik an ihre Grenzen. Wenn wir z.B: \(C\) als "Dritte Münze" festlegen, dann stimmt die Aussage nicht mehr, dass die zwei anderen immer auf die gleiche Seite fallen. Andersherum, wenn wir also die gleich gefallenen Münzen als \(A\) und \(B\) identifizieren, ist dann die Aussage falsch, die Wahrscheinlichkeit entspräche für die dritte Zahl dann immer \(1:2\), wie folgende Tabelle zeigt:

 

Zusatzaufgabe Lösung bedingte Wahrscheinlichkeit:

Die falsche Lösung könnte auch durch eine täuschende Anwendung der bedingten Wahrscheinlichkeit zusammen gekommen sein. Unter der (richtigen) Annahme, dass es sich bei den einzelnen Münzwürfen um unabhängige Zufallsexperimente handelt, könnte man zu Überzeugung gelangen, dass die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis \(A=Z\times Z\times Z\) bzw. \(B=K\times K\times K\) unabhängig davon ist, was in den ersten beiden Würfen passiert ist. Dies gilt allerdings nur für den einzelnen Ausgang des dritten Wurfes und nicht für das ganze Tupel.

 


Im Rahmenlehrplan für die Sekundarstufe I der Jahrgangsstufen 7 – 10 in Brandenburg (2008) findet man auf der Seite 15 bezüglich der Erwartungen zum inhaltsbezogenen Kompetenzbereich "Daten und Zufall" folgende Aussage: "Durch Verfahren und Begriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung können Zufallserscheinungen
verstanden und qualitativ erfasst werden. Auf diese Weise kann man zu fundierten
und kontrollierten Urteilen in realen Entscheidungssituationen gelangen"

Die vorgestellten Lösungsstrategien entsprechen im Grunde genommen den wesentlichen, in der SEK I vorgestellten Strategien zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten: Baumdiagramme und Kombinatorik (Klasse 9/10). Auch eine Lösung durch intuitive Ideen in einer früheren Klassenstufe ist denkbar.

Eine elegante Lösung durch Binomialverteilung und eine Betrachtung unter zu Hilfenahme des Unabhängigkeitsbegriffes sind mit Schülern der Jahrgangsstufe 12 möglich. Zwingend erforderlich für die Lösung insbesondere der ersten Teilaufgabe ist dieses Wissen allerdings nicht.


Kompetenzstufe III (Punktwerte von 515 bis 594) (nach Blum, Roppelt und Müller)

"Diese Schülerinnen und Schüler können aus einer gegebenen Darstellung (z. B.
Balkendiagramm) relative Häufi gkeiten berechnen, die Äquivalenz einfacher
Zufallsexperimente erkennen und einfache Wahrscheinlichkeiten bei vertrauten
mehrstufigen Zufallsexperimenten berechnen."

 

Für die erste Teilaufgabe müssen die Schülerinnen und Schüler in der Lage sein, die Wahrscheinlichkeit eines Eregnisses bei einem "vertrauten, mehrstufigen Zufallsexperiments" zu bestimmen. Die erste Teilaufgabe halte ich persönlich allerdings für so vertraut, dass auch eine Einordnung in Stufe II möglich ist. Die Zusatzaufgabe erfordert ein Rückwärtsarbeiten und das Finden einer "komplexen Argumentation zu einer
vorgegebenen realitätsbezogenen Aussage" und entspricht damit, wenn man eine höherklassige Antwort als "Das ist falsch, weil meine Rechnung richtig ist und da etwas anderes herauskommt!" von seinen Schülerinnen und Schülern erwartet, dem Kompetenzbereich IV.


Heuristische Hilfsmittel: 

informative Figur:

Baumdiagramm

Tabelle:

Übersicht über alle Kombinationen

Heuristische Strategien: 

Vorwärtsarbeiten:

Was ist gegeben? Welche Bedingungen gelten und welche Art Zufallsexperiment liegt vor?

Systematisches Probieren:

Experimentelles nachvollziehen des Zufallsexperiments bei fehlender Qualifikation (z.B: niedrige Klassenstufe)

Analogieschlüsse:

Übernahme der Lösungsstrategie anderer dreistufiger Zufallsexperimente, z.B: Würfelwurf

Heuristische Prinzipien: 

Zerlegungsprinzip:

Hintereinanderausführung der einzelnen Würfe

Transformationsprinzip:

Überführung der Aufgabe in ein mathematisches Modell (Urnenmodell, Baumdiagramm,...)


Der Schwierigkeitsgrad ist vor allem abhängig von der vorigen Bearbeitung ähnlicher Aufgaben. Ist bereits mit mehrstufigen Münzwürfen gearbeitet worden, treten bestimmte Denkhürden (Es sind drei Stufen, auch wenn alle Münzen gleichzeitig fallen, Unabhängigkeit der Würfe) mit hoher Wahrscheinlichkeit seltener auf.

Die Analyse der fehlerhaften Rechnung im zweiten Aufgabenteil ist für die Schüler vor allem wegen der fehlenden mathematischen Argumentationswerkzeuge (Bedingte Wahrscheinlichkeit, sprachlicher Fehler durch uneindeutige Stufenbelegung [mindestens zwei Münzen; die "dritte Münze] schwer präzise zu lösen, wenngleich für die meisten von ihnen die Falschheit alleine relativ eindeutig festzustellen sein sollte.

 

Sprachlogische Komplexität: 

Stufe 0,

Kognitive Komplexität: 

Stufe 2,

es müssen Vorüberlegungen angestellt werden bezüglich des Aufbaus des Zufallsexperiments und der günstigen Ereignisse.

Formalisierung von Wissen: 

Stufe 2,

da zusätzlich zur Verwendung einer geeigneten Darstellung (Diagramm, Tabelle) zur Lösungsfindung Fehlinterpretationen wie die Annahme, alle Münzen würden gleichzeitig fallen, überwunden werden müssen.

Formelhandhabung: 

Stufe 0,

bei Beherrschung der Formel bzw. des Abzählverfahrens ist außer einsetzen und Plus/Minus-Rechnen nicht viel zu können.


Hilfestellungen: 

inhaltliche Hilfe:

Macht es einen Unterschied, ob man drei Münzen gleichzeitig oder hintereinander wirft?

Sozialformen: 

Einzel-, maximal Zweierarbeit.

Differenzierungsmöglichkeiten: 

Differenzierungsmöglichkeiten bietet die Argumentative Widerlegung der falschen Rechnung im zweiten Aufgabenteil.


Diese Aufgabe ist gut für einen Themeneinstieg geeignet, da die vorgeschlagene Lösung offensichtlich falsch ist und die Ermittlung der richtigen Wahrscheinlichkeit auch intuitiv oder durch eine geeignete Fallbetrachtung möglich ist. Die verschiedenen Ergebnisse können dann diskutiert und vom Lehrer die Notwendigkeit einer systematischen Auseinandersetzung mit dem Wahrscheinlichkeitsbegriff aufgegriffen werden.

 

Desweiteren ist die Aufgabe als Übungsaufgabe für mehrstufige Zufallsexperimente gut geeignet, da sich die Wahrscheinlichkeiten leicht ermitteln lassen und der Ergebnisraum sehr überschaubar ist.

 

Einen Einsatz im Bereich beweisen, der einem bei Aufagen des Typs "Stimmt das?" ebenfalls in den Sinn kommt, sehe ich kritisch. Es ist eine Sache, eine falsche Rechnung zu korrigieren, aber es entspricht bei weitem nicht den Formalitäten eines Beweises. Die Umwandlung der Argumentation in entweder logische Aussagen (WENN zwei Münzen, DANN die dritte usw.) oder formale Sprache (\(P_{Z\times Z}(Z\times Z\times Z ) \neq P(Z\times Z\times Z)\)) ist für Schüler der SEK I kaum möglich.



Bearbeitet von: Christoph Magirius
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