Maximale Ausbeute I: Die Wichtelwerkstatt

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Klasse Schulstufe Thema Themengebiet Schwierigkeit
4/ 5/ 6 Primarstufe Flächeninhalte von Rechtecken Größen und Messen **, ***
Heuristsche Hilfsmittel Heuristische Prinzipien Heuristische Strategien
Informative Figur, Gleichungen Symmetrieprinzip Kombiniertes Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten, Systematisches Probieren

Aufgabenstellung

Wichtel Balduin hat als Leiter des Statistik-Büros den Überblick über alle wichtigen Zahlen im Wichteldorf. Vor wenigen Minuten platzte er bei den Pack-Wichteln herein: "Meine lieben Pack-Wichtel, so geht das nicht weiter! Nach meinen neuesten Berechnungen verschwenden wir viel zu viel Papier!"
 
Wichtel Oswald hat gerade einen quadratischen Bogen Geschenkpapier vor sich liegen, der 1 m lang und 1 m breit ist. Er packt heute zwei Arten von Geschenken ein: Kleine Geschenke und große Geschenke. Für die kleinen Geschenke braucht er Stücke die 30 cm breit und 25 cm lang sind. Für die großen Geschenke braucht er Stücke die 65 cm breit und 30 cm lang sind. Oswald nimmt Balduins Kritik sehr ernst. Er überlegt nun, wie er den Bogen zerschneiden sollte, um das Papier am Besten auszunutzen. 
 

 
Bildquelle: Schiemann, S., & Wöstenfeld, R. (2017). Die Mathe-Wichtel. / Stephanie Schiemann; Robert Wöstenfeld ; Band 1: Humorvolle Aufgaben mit Lösungen für mathematisches Entdecken ab der Grundschule (2., erweiterte und überarbeitete Auflage). Wiesbaden: Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH

 

Frage:
Bei welcher der folgenden Kombinationen an Geschenken bleibt vom 1 m x 1 m - Geschenkpapierbogen nach dem Ausschneiden am wenigsten Abfall übrig?
 
Antwortmöglichkeiten:
a) 1 großes Geschenk und 9 kleine Geschenke
b) 2 große Geschenke und 6 kleine Geschenke
c) 3 große Geschenke und 4 kleine Geschenke
d) 4 große Geschenke und 1 kleines Geschenk

Quellenangabe:

Schiemann, S., & Wöstenfeld, R. (2017). Die Mathe-Wichtel. / Stephanie Schiemann; Robert Wöstenfeld ; Band 1: Humorvolle Aufgaben mit Lösungen für mathematisches Entdecken ab der Grundschule (2., erweiterte und überarbeitete Auflage). Wiesbaden: Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH


Lösungsweg 1 - Zeichnerische Lösung
 
Wir zeichnen jede mögliche Kombination von Geschenkpapierbögen auf und schauen, bei welcher Möglichkeit am wenigsten Papier des großen Geschenkpapierbogens übrig bleibt. Da kein quadratisches Papier mit den Seitenlängen 1m zur Verfügung steht, werden alle Angaben im Maßstab 1:10 verkleinert. Der 1m x 1m-Bogen ist dann nur noch 10cm x 10cm groß und wir können ihn gut auf kariertes Papier zeichnen (20 x 20 Kästchen).Wir setzen auch die großen und kleinen Geschenkpapierbögen in diesen Maßstab: 
 
  Original Maßstab 1:10
Großer Bogen: 65cm x 30cm 6,5cm x 3cm (13 x 6 Kästchen)
Kleiner Bogen: 30cm x 25cm 3cm x 2,5cm (6 x 5 Kästchen
 
 
Nun können wir beginnen die Kombinationen aufzuzeichnen. Der Papierrest, der nicht durch die großen oder kleinen Geschenkpapierbögen ausgefüllt wird, wird grün eingefärbt.
 
 
                                                 Kombination a (1x groß, 9x klein):

 
 
                                                 Kombination b (2x groß, 6x klein):

 
 
                                                 Kombination c (3x groß, 4x klein):

 
 
                                                 Kombination d (4x groß, 1x klein):

 
Da wir die Kombinationen nun gezeichnet haben wissen wir, dass alle Kombinationen aus der Aufgabenstellung grundsätzlich möglich sind. Aber welche Kombination verursacht am wenigsten Papiermüll? Um diese Frage zu beantworten, zählen wir die grünen Kästchen jeder Kombination.
 
 
Kombination a: 52 Kästchen
Kombination b: 64 Kästchen
Kombination c: 46 Kästchen
Kombination d: 58 Kästchen
 
 
Somit verursacht die Kombination c (mit 46 übrig gebliebenen grünen Kästchen) am wenigsten Abfall.
 
 
 
 
Lösungsweg 2 - Rechnerische Lösung 1
 
Um den Flächeninhalt aller Rechtecke in der jeweiligen Kombination (a, b, c oder d) zu berechnen, wird die Rechteckflächenformel \(A = a \cdot b\)  genutzt. So lässt sich ermitteln, wie viel Fläche alle Rechtecke einnehmen, wenn sie lückenlos nebeneinander liegen.
 
Flächeninhalte des kleinen (k) und großen (g) Geschenkbogens:
 
\(A(k)=30cm \cdot 25cm=750cm²\)
\(A(g)=65cm\cdot 30cm=1950cm²\)
 
Nun können mit den Flächeninhalten der einzelnen Geschenkbögen die genutzten Flächen der verschiedenen Kombinationen (a, b, c und d) ausgerechnet werden:
 
\(A(a)=1\cdot A(g)+9\cdot A(k)=1\cdot 1950cm²+9\cdot 750cm²=8700cm²\)
\(A(b)=2\cdot A(g)+6\cdot A(k)=2\cdot 1950cm²+6\cdot 750cm²=8400cm²\)

\(A(c)=3\cdot A(g)+4\cdot A(k)=3\cdot 1950cm²+4\cdot 750cm²=8850cm²\)
\(A(d)=4\cdot A(g)+1\cdot A(k)=4\cdot 1950cm²+1\cdot 750cm²=8550cm²\)

 
Das Geschenkpapier ist 1m lang und 1m breit. Der Flächeninhalt des Geschenkpapiers beträgt also 1m², was in cm² umgerechnet einen Flächeninhalt von 10 000cm²  ergibt. Also kann davon ausgegangen werden, dass nur die Flächeninhalte der Kombinationen möglich sind, die unter 10 000cm² liegen. Dies ist bei allen Kombinationen der Fall.
Da die Kombination gesucht ist, bei der am wenigsten Papier übrig bleibt, wird nun die Kombination mit dem größten Flächeninhalt betrachtet, also Kombination c.
Allerdings muss nun noch geprüft werden, ob die 3 großen und 4 kleinen Geschenke wirklich alle auf den 1m² großen Geschenkpapierbogen passen. Da dies aus der Rechnung heraus nicht feststellbar ist, wird eine zeichnerische Probe gemacht:
 

Da es eine Lösung gibt, in der 3 große und 4 kleine Geschenkpapierbögen auf dem 1m²-großen Geschenkpapierbogen Platz haben, ist Antwort c die Lösung dieser Problemlöseaufgabe.
 
 
 

 Lösungsweg 3 - Rechnerische Lösung 2

Gegeben:

gesamter Bogen: \(1m\times 1m\)
kleiner Bogen: \(30cm\times 25cm=0,3m\times 0,25m\)
großer Bogen: \(65cm\times 30cm=0,65m\times 0,3m\)

 

Gesucht:

Kombination an Geschenken, bei der nach dem Ausschneiden am wenigsten Abfall übrig bleibt

 

Lösung:

Es lassen sich für die vier Möglichkeiten a), b), c) und d) folgende Gleichungen aufstellen:

a) \({ A }_{ gesamt }=1\cdot { A }_{ g }+9\cdot { A }_{ k }+{ x }_{ a }\)    mit     \({ x }_{ a }\) ... Rest bei Möglichkeit a
b) \({ A }_{ gesamt }=2\cdot { A }_{ g }+6\cdot { A }_{ k }+{ x }_{ b }\)    mit     \({ x }_{ b }\) ... Rest bei Möglichkeit b
c) \({ A }_{ gesamt }=3\cdot { A }_{ g }+4\cdot { A }_{ k }+{ x }_{ c }\)    mit     \({ x }_{ c }\) ... Rest bei Möglichkeit c
d) \({ A }_{ gesamt }=4\cdot { A }_{ g }+1\cdot { A }_{ k }+{ x }_{ d }\)    mit     \({ x }_{ d }\) ... Rest bei Möglichkeit d

 

Nun gilt:

\({ A }_{ gesamt }=1m\cdot 1m=1{ m }^{ 2 }\)
\({ A }_{ g }=0,65m\cdot 0,3m=0,195{ m }^{ 2 }\)
\({ A }_{ k }=0,3m\cdot 0,25m=0,075{ m }^{ 2 }\)

 

Durch Einsetzen folgt für die vier Gleichungen:

a) \(1=1\cdot 0,195+9\cdot 0,075+{ x }_{ a }\)
b) \(1=2\cdot 0,195+6\cdot 0,075+{ x }_{ b }\)
c) \(1=3\cdot 0,195+4\cdot 0,075+{ x }_{ c }\)
d) \(1=4\cdot 0,195+1\cdot 0,075+{ x }_{ d }\)

 

Es ergibt sich:

a) \(1=0,87+{ x }_{ a }\) | \(-\quad 0,87\)
b) \(1=0,84+{ x }_{ b }\) | \(-\quad 0,84\)
c) \(1=0,885+{ x }_{ c }\) | \(-\quad 0,885\)
d) \(1=0,855+{ x }_{ d }\) | \(-\quad 0,855\)

 

Damit folgt für die Reste bei den einzelnen Möglichkeiten:

a) \({ x }_{ a }=0,13\)
b) \({ x }_{ b }=0,16\)
c) \({ x }_{ c }=0,115\)
d) \({ x }_{ d }=0,145\)

 

Damit bleibt bei der Kombination c) mit 3 großen und 4 kleinen Geschenken mit 0,115 m² am wenigsten Abfall übrig.


Die Aufgabe lässt sich den Niveaustufen C aufwärts zuordnen. So sind die Themen "Flächeninhalte von Rechtecken" und "Umrechnung von Größen" im brandenburgischen Rahmenlehrplan für Mathematik (2015) hauptsächlich in den Niveaustufen C und D zu finden. Das Thema Maßstab tritt dahingegen erst ab der Niveaustufe E auf, weshalb die Aufgabe frühestens in der vierten oder fünften Klasse eingesetzt werden sollte, wenn nicht sogar erst in der Klassenstufe 6, je nach Leistungsstand der Klasse. Da die Aufgabe viele Umrechnungen, das Nutzen des Maßstabes die Flächeninhaltsformel für Rechtecke sowie Kommazahlen erfordert, sind Schüler und Schülerinnen der fünften oder sechsten Klasse mit dieser Aufgabe wahrscheinlich am besten zu begeistern. Allerdings kann das Maßstabproblem auch umgangen werden, indem den Schülerinnen und Schülern großes Karopapier, oder die Tafel und ein großes Lineal zur Verfügung gestellt wird. In diesem Fall wäre eine Gruppenarbeit von Vorteil, was jedoch ganz auf die Klasse ankommt.

Es werden die Kompetenzbereiche prozessbezogenen Kompetenzbereiche [K2] Probleme mathematisch lösen und die inhaltsbezogenen Kompetenzbereiche [L2] Größen und Messen aus dem brandenburgischen Rahmenlehrplan (Teil C) Mathematik für die Jahrgangsstufen 1-10 (LISUM, 2015), der ab dem Schuljahr 2017/18 gültig ist, angesprochen.
 

 

Inhaltsbezogene Kompetenzformulierungen
 
Größen und Messen [L2]
Die mit dieser Aufgabe geförderten inhaltsbezogenen mathematischen Kompetenzen gehören dem Bereich "Größen und Messen“ an, da bei dieser Aufgabe Größen gemessen und verglichen werden. Die Schülerinnen und Schüler entwickeln im handelnden Umgang tragfähige Größenvorstellungen und lernen zu Messen sowie mit Einheiten und Maßen umzugehen. Zudem werden Längen und Flächeninhalte behandelt.
 

Kompetnez 1: Die Schülerinnen und Schüler können bekannte Einheiten (insbesondere m, cm) ineinander umwandeln.

"Die Schülerinnen und Schüler können die verschiedenen Einheiten und ihre Größen nutzen" (LISUM, 2015, Vorstellungen zu Größen und ihre Einheiten nutzen, Niveaustufe C, S.24) 
 

Kompetenz 2: Die Schülerinnen und Schüler können den Flächeninhalt von geradlinigen ebenen Figuren (hier Rechtecken) durch Auszählen von Einheitslängen (hier Einheitsquadrate) bestimmen.

"Die Schülerinnen und Schüler können Größen messen (auch Massen und Flächeninhalte)" (LISUM, 2015, Größenangaben
bestimmen, Niveaustufe C, S.24)
 

Kompetenz 3: Die Schüler und Schülerinnen können verschiedene Größen (auch Flächeninhalt, Umfang) deren Einheiten (cm, cm², m, m²) situationsgemäß verwenden. 

"Die Schülerinnen und Schüler können die verschiedenen Größen und ihre Einheiten nutzen (auch Flächeninhalt [,...])"  (LISUM, 2015, Vorstellungen zu Größen und ihre Einheiten nutzen, Niveaustufe D, S.24)
 
 
 
Prozessbezogenen Kompetenzformulierungen
Probleme mathematisch lösen [K2]
Mit der Aufgabe wird die prozessbezogene Kompetenz „Probleme mathematisch lösen“ angesprochen, da kein Lösungsweg gegeben ist und dieser erst entwickelt werden muss. Zudem stellen die Schülerinnen und Schüler Vermutungen auf und lösen das Problem idealerweise unter Verwendung heuristischer Strategien und Hilfsmittel. Am Ende prüfen sie ihre Ergebnisse.

 

Kompetenz 4: Die Schülerinnen und Schüler können heuristische Hilfsmittel zum Lösen des Problems anwenden (informative Figur, Skizze, Tabelle).

"Die Schülerinnen und Schüler [...] nutzen heuristische Hilfsmittel zum Problemlösen anwenden" (LISUM, 2015, S.19)
 

Kompetenz 5: Die Schülerinnen und Schüler können Lösungsstrategien, wie das Rückwärtsarbeiten oder die Rückführung von Unbekanntem auf Bekanntes, entwickeln und nutzen.

"Die Schülerinnen und Schüler können Lösungsstrategien [...] entwickeln und nutzen" (ebd.)
 

Kompetenz 6: Die Schülerinnen und Schüler können die Plausibilität von Ergebnissen durch zeichnerische oder rechnerische Proben überprüfen.

 "Die Schülerinnen und Schüler können Plausibilität von Ergebnissen überprüfen" (ebd.)
 
 

Heuristische Hilfsmittel: 
  • Als heuristische Hilfsmittel werden Gleichungen genutzt, da die Formel für die Berechnung des Flächeninhaltes des Rechtecks bekannt ist. Insbesondere bei der zweiten rechnerischen Lösung wird die Größe des Papierrests für die verschiedenen Möglichkeiten mithilfe von aufgestellten Gleichungen ermittelt.
 
  • Außerdem werden Skizzen angefertigt, um die Flächeninhalte der Rechtecke aufzuzeichnen. Diese werden beim Lösungsprozess weiterentwickelt, somit handelt es sich um informative Figuren.
 
 
Heuristische Strategien: 
  • Es wird die Strategie des kombinierten Vor- und Rückwärtsarbeitens angewendet: Beim ersten Lösungsweg wird zunächst wird mit dem Gegebenen gearbeitet, da die gegebenen Maße verwendet werden und dann die Lösungen ausprobiert bzw. aufgezeichnet werden. Bei der zweiten Lösungsvariante werden zunächst die Flächeninhalte der einzelnen Geschenke berechnet und dann die Zahlen in die Lösungsmöglichkeiten eingesetzt und ausgerechnet. Am Ende wird geprüft, bei welcher Lösung am wenigsten Papier übrig ist. Bei dieser Strategie handelt es sich auch um das kombinierte Vor- und Rückwärtsarbeiten, da zuerst mit dem Bekannten gearbeitet wird und dann das Bekannte auf die Antwortmöglichkeiten angewendet wird, um auf das Ergebnis zu kommen.  
 
  • Beim ersten Lösungsweg wird beim Aufzeichnen der Lösungsmöglichkeiten systematisch ausprobiert. Auch beim zweiten Lösungsweg wird bei der Überprüfung/Aufzeichnung von Antwortmöglichkeit c systematisch ausprobiert. (Wären keine Lösungsmöglichkeiten vorgegeben, würde die Strategie das systematische Ausprobieren überwiegen.)
 
 
Heuristische Prinzipien: 
  • Beim Zeichnen der vier Antwortmöglichkeiten (vgl. Lösungweg 1) wird immer auf gleiche Art und Weise vorgegangen, beispielsweise wird der gleiche Maßstab verwendet. Ebenso wird beim Berechnen der jeweils genutzten Flächen (vgl. Lösungsvariante 2) immer die Flächeninhaltsformel für Rechtecke verwendet und einzelne Flächeninhalte werden summiert. Somit ist bei der Lösung der Aufgabe das Symmetrieprinzip von Bedeutung.

Die Aufgabe "Maximale Ausbeute" hat nach Cohors-Fresenborg et al unter Berücksichtigung der Lerngruppe einer Grundschulklasse bezüglich des ersten dargestellten Lösungsweges einen Schwierigkeitsgrad von ** und bezüglich des zweiten Lösungsweges eine Schwierigkeit von ***.
 
 
Sprachlogische Komplexität: 
Durch die Einbettung des mathematischen Problems in den Wichtel-Kontext wird von den Schülerinnen und Schülern der Klassenstufen 4 bis 6 (vgl. Abschnitt "Themengebiet") zunächst Lesekompetenz erfordert, um das Problem zu verstehen und die für die Lösung relevanten Informationen aus dem Text zu entnehmen. Darüber hinaus gibt die Anordnung der Satzteile und Sätze in der Aufgabenstellung keine Hinweise auf die Reihenfolge der abzuarbeitenden Schritte. Somit entspricht die Aufgabe einer Sprachlogischen Komplexität der Stufe 2.
 
 
Kognitive Komplexität: 
Die Kognitive Komplexität lässt sich auf der Stufe 2 einordnen: Vor der Lösung sind Denkvorgänge notwendig. Die Schülerinnen und Schüler müssen Maßstabsberechnungen berücksichtigen und sich überlegen, wie sie am besten vorgehen. Dabei sind heuristische Überlegungen von Bedeutung, so nehmen sie sich beispielsweise Gleichungen und informative Figuren zuhilfe und verwenden Strategien, wie das kombinierte Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten sowie das Systematische Probieren.
 
 
Formalisierung von Wissen: 
Die Formalisierung von Wissen entspricht beim ersten Lösungsweg der Stufe 0. Es handelt sich um eine rein graphische Lösung, in der keine weiteren Darstellungskontexte zu erstellen sind. In der zweiten Lösungsvariante werden darüber hinaus Gleichungen zur Berechnung des Flächeninhaltes aufgestellt, weshalb die Aufgaben bezüglich dieses Lösungswegs auf Stufe 1 anzusiedeln ist.
 
 
Formelhandhabung: 
Bei der zeichnerischen Lösung sind lediglich bei den Maßstabsberechnungen algebraischen Operatoren erforderlich, deshalb entspricht die Formelhandhabung bei diesem Lösungsweg der Stufe 0. Die rechnerische Lösung erfordert dahingegen in überschaubarem Maße den korrekten Umgang mit der Flächeninhaltsformel für Rechtecke. Somit lässt sich diese Lösungsvariante bezüglich der Formelhandhabung der Stufe 1 zuordnen.  
 
 
Stufenzuordnung: 
Formalisierung von Wissen
Stufe 0
Stufe 1
Formelhandhabung
Stufe 0
Stufe 1
Kognitive Komplexität
Stufe 2
Sprachlogische Komplexität
Stufe 2

Hilfestellungen: 
Bei der zeichnerischen Lösung der Aufgabe "Maximale Ausbeutung" kann es zunächst problematisch sein, dass die Grundschulschülerinnen und -schüler nicht auf die Idee kommen, die Antwortmöglichkeiten unter Verwendung eines geeigneten Maßstabs darzustellen, um dann sehen zu können bei welcher Möglichkeit die Abfall-Fläche am geringsten ist. In diesem Fall können folgende Hilfen gegeben werden:
 
Allgemein-strategische Hilfen Inhaltsorientierte strategische Hilfen Inhaltliche Hilfen
Wie kannst du selbst austesten, bei welcher Antwortmöglichkeit am meisten Abfall anfällt? Gibt es eine Möglichkeit die Antwortmöglichkeiten zeichnerisch darzustellen, ohne die Längenverhältnisse zu verändern? Wähle einen geeigneten Maßstab für die Darstellung.
Können dir Skizzen weiterhelfen? Welche Bedingungen müssen diese Skizzen erfüllen? Benötigst du 1m x 1m-großes Papier, um auszuprobieren, bei welcher Antwortmöglichkeit am meißten Abfall anfällt, oder kannst du dies auch mit einem DIN-A4-Blatt austesten? Mit welchem Maßstab kannst du die Antwortmöglichkeiten darstellen?
Veranschauliche dir die vier Antwortmöglichkeiten. Welche Bedingungen müssen die Skizzen erfüllen, damit du aus diesen direkt ein Ergebnis ableiten kannst? Wie können wir vorgehen, wenn wir größere Längen und Flächen so darstellen wollen, dass die Proportionen erhalten bleiben? Denke an Landkarten. Kannst du die Größe der Abfall-Flächen jeweils zeichnerisch darstellen?
 
 
Beim zweiten Lösungsweg könnten die Schülerinnen und Schüler nicht auf die Idee kommen, für jede Antwortmöglichkeit jeweils die genutzte Fläche zu berechnen, um letztendlich zu entscheiden, welche Antwortmöglichkeit am nutzbringendsten ist. Hier können die folgenden Hinweise gegeben werden.
 
Allgemein-strategische Hilfen Inhaltsorientierte strategische Hilfen Inhaltliche Hilfen
Welche Informationen sind gegeben? Was kannst du mit diesen berechnen? Welche Größe gibt dir Auskunft darüber, bei welcher Antwortmöglichkeit am wenigsten Abfall anfällt? Wie berechnet man den Flächeninhalt von Rechtecken?
Welche bereits erlernten Formeln können dir weiterhelfen? Denke daran, wie wir den Flächeninhalt von Rechtecken berechnet haben. Wie groß sind jeweils die Flächeninhalte des kleinen und des großen Geschenkpapierbogens?
  Bei welcher Antwortmöglichkeit ist die Abfall-Fläche am kleinsten? Wie groß ist der Flächeninhalt der genutzten Fläche bei jeder Antwortmöglichkeit?
 
 
 
Sozialformen: 
  • Einzelarbeit
  • Partnerarbeit
  • Gruppenarbeit
 
 
Differenzierungsmöglichkeiten: 
Durch die verschiedenen Lösungswege wird deutlich, dass bereits die Aufgabenlösung an sich zwischen leistungsstärkeren und leistungsschwächeren Schülerinnen und Schülern differenziert: So kann die Aufgabe wie in Lösungsweg 1 auf Ikonischer Ebene mithilfe einer Informativen Figur gelöst werden, was wahrscheinlich für leistungsschwächere Lernende einfacher ist, und wie bei den beiden rechnerischen Lösungen auf Symbolischer Ebene mithilfe von Gleichungen.
 
Darüber hinaus gibt es aber auch Möglichkeiten durch weitere Veränderungen der Aufgaben Differenzierungsmöglichkeiten zu schaffen und dafür zu sorgen, dass die Aufgabe sowohl für leistungsschwächere als auch für leistungsstärkere Schülerinnen und Schüler eine angemessene Herausforderung darstellt.
 
Für leistungsschwächere Schülerinnen und Schüler kann die Aufgabe auf folgende Weise verändert werden:
  • Den Lernenden können bereits vorgeschnittene große und kleine Geschenkpapierbögen sowie ein vorgeschnittener Gesamtbogen gegeben werden, sodass sie die großen und kleinen Bögen auf dem Gesamtbogen verschieben können und die verschiedenen Möglichkeiten entdecken können. Dadurch wird ihnen eine Enaktive Aufgabenlösung ermöglicht.

 

  •  Die Aufgabe kann analogisiert werden, indem der große Bogen in der Aufgabenstellung als 0,65m x 0,3m - Bogen anstatt als 65cm x 30cm - Bogen und der kleine Bogen als 0,3m x 0,25m - Bogen anstatt als 30cm x 25cm - Bogen angegeben wird. Dann müssten die Zahlen nicht mehr umgerechnet werden und die Lernenden könnten sich auf die Berechnung des Flächeninhalts konzentrieren.

 

  • Außerdem können informative Figuren vorgegeben werden, damit leseschwächere Schülerinnen und Schüler die Informationen zusätzlich aus diesen entnehmen können und einen ersten Lösungsansatz erhalten.

 

  • Den Lernenden könnte auch größeres Papier und ein großes Lineal gegeben werden, sodass keine Maßstabsberechnung mehr notwendig sind.
 
 
Für leistungsstärkere Schülerinnen und Schüler könnten folgende Änderungen vorgenommen werden:
  • Die Lösungsmöglichkeiten könnten weggelassen werden, sodass die Lernenden selbständig versuchen müssten eine Kombination zu finden, bei der das Geschenkpapier bestmöglich ausgenutzt wird (vgl. Maximale Ausbeute II: Die Wichtelwerkstatt). Strategie und Lösungsweg sind damit noch offener.

 

  • Zudem können die Maße des zur Verfügung stehenden Geschenkpapiers vergrößert werden, um eine größere Lösungsmenge zu bieten.

 

  • Daneben kann die Aufgabe auch variiert werden, indem andere Flächen statt Rechtecke genutzt werden (Fünfecke, Dreiecke,…).

Die Aufgabe eignet sich für mehrere Lernsituationen. Man kann mit ihr produktives Üben unterstützen, da durch die vielfältigen Lösungsmöglichkeiten, von denen nur eine richtig ist, das Ausrechnen des Flächeninhaltes mehrfach geübt werden kann. Die Formel wird dadurch gefestigt. Das Thema muss allerdings bereits behandelt worden sein, da die Schülerinnen und Schüler ansonsten nicht auf den gewünschten Lösungsweg kommen. Deshalb eignet sich die Aufgabe nicht als Einstieg, sondern zum Üben oder als Abschluss der Unterrichtseinheit der Flächenberechnung.
 
Des Weiteren können die Schülerinnen und Schüler an der Aufgabe das Beweisen üben, da sie zeigen müssen, dass nur eine Lösung richtig ist und die Anderen falsch sind. Sie können dabei das Argumentieren üben, wenn die Aufgabenstellung um den Auftrag erweitert wird, dass die Lernenden ihren Lösungsweg begründen/erklären sollen.
 
Auch als langfristige Hausaufgabe, oder Zusatzaufgabe für schnellere Schülerinnen und Schüler wäre diese Aufgabe denkbar, allerdings können bei Einsatz im Unterricht gelegentlich Hilfestellungen und Denkanregungen gegeben werden.


Bearbeitet von: Laura Berner, Anja Borgmann, Mia Haack, Alexandra Kuckuck, Maria Radtchenko (ergänzt von Marisa Pfläging)
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