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Maximale Ausbeute II: Die Wichtelwerkstatt
Fehlermeldung
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|---|---|---|---|---|
| 3/ 4/ 5 | Primarstufe | Flächeninhalte von Rechtecken | Größen und Messen, Raum und Form | **, *** |
| Heuristsche Hilfsmittel | Heuristische Prinzipien | Heuristische Strategien |
|---|---|---|
| Informative Figur, Tabelle, Gleichungen | Systematisches Probieren |
Aufgabenstellung
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Wichtel Balduin hat als Leiter des Statistik-Büros den Überblick über alle wichtigen Zahlen im Wichteldorf. Vor wenigen Minuten platzte er bei den Pack-Wichteln herein: Meine lieben Pack-Wichtel, so geht das nicht weiter! Nach meinen neuesten Berechnungen verschwenden wir viel zu viel Papier! Wichtel Oswald hat gerade einen quadratischen Bogen Geschenkpapier vor sich liegen, der 1 m lang und 1m breit ist. Er packt heute zwei Arten von Geschenken ein: Kleine Geschenke und große Geschenke. Für die kleinen Geschenke braucht er Stücke, die 30 cm breit und 25 cm lang sind. Für die großen Geschenke braucht er Stücke, die 65 cm breit und 30 cm lang sind. Oswald nimmt Balduins Kritik sehr ernst. Er überlegt nun, wie er den Bogen zerschneiden sollte, um das Papier am besten auszunutzen. Kannst du ihm dabei helfen? |
Quellenangabe:
Original aus Schiemann, S., & Wöstenfeld, R. (2017). Die Mathe-Wichtel. / Stephanie Schiemann; Robert Wöstenfeld ; Band 1:
Humorvolle Aufgaben mit Lösungen für mathematisches Entdecken ab der Grundschule (2., erweiterte und überarbeitete
Auflage). Wiesbaden: Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH
Lösungsweg 1 - Rechnerische Lösung
Gegeben:
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Flächeninhalt Geschenkpapier \(100cm\cdot 100cm=10000cm²\) \(x\):= Anzahl der großen Geschenkpapierbögen, \(y\):= Anzahl der kleinen Geschenkpapierbögen |
Gesucht:
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Die Summe der Flächeninhalte der großen und kleinen Geschenke darf eine Größe von 10.000 cm² nicht überschreiten. Es sind x und y gesucht, sodass gilt: \(x\cdot { A }_{ g }+y\cdot { A }_{ k }\le 10.000cm²\) Außerdem darf die Summe der aneinander grenzenden Seitenlängen 100 cm nicht überschreiten. Es müssen somit die weitere Bedingung \(x\cdot { a }_{ g }+y\cdot { a }_{ k }\le 100cm\) und \(x\cdot { b }_{ g }+y\cdot { b }_{ k }\le 100cm\) gelten. |
Lösung:
Schritt 1:
Berechnen der Summe der Flächeninhalte n großer Geschenke, um die maximale Anzahl an großen Geschenken festzustellen.
| Anzahl n der großen Geschenke | Papiermaße in cm² |
| 1 | 1.950 |
| 2 | 3.900 |
| 3 | 5.850 |
| 4 | 7.800 |
| 5 | 9.750 |
| 6 | 11.700 |
Die maximale Anzahl an großen Geschenken ist 5 (bezogen auf den Flächeninhalt).
Schritt 2:
Berechnen der Summe der Flächeninhalte m kleiner Geschenke, um die maximale Anzahl an kleinen Geschenken festzustellen
| Anzahl m der kleinen Geschenke | Papiermaße in cm² |
| 1 | 750 |
| 2 | 1.500 |
| 3 | 2.250 |
| 4 | 3.000 |
| 5 | 3.750 |
| 6 | 4.500 |
| 7 | 5.250 |
| 8 | 6.000 |
| 9 | 6.750 |
| 10 | 7.500 |
| 11 | 8.250 |
| 12 | 9.000 |
| 13 | 9.750 |
| 14 | 10.500 |
Die maximale Anzahl an kleinen Geschenken beträgt 13 (bezogen auf den Flächeninhalt).
Schritt 3 bis 5:
| Schritt 3 | Schritt 4 | Schritt 5 | |
| Anzahl der Geschenke | Summe des Flächeninhalts in cm² | Summe der Seitenlängen \(\le \) 100 cm | Abfall in cm² |
| 1 großes + 10 kleine | \(1950 + 7500 = 9450\) | nein | - |
| 1 großes + 9 kleine | \(1950 + 6750 = 8700\) | ja | 1300 |
| 2 große + 8 kleine | \(3900 + 6000 = 9900\) | nein | - |
| 2 große + 7 kleine | \(3900 + 5250 = 9150\) | nein | - |
| 2 große + 6 kleine | \(3900 + 4500 = 8400\) | ja | 1600 |
| 3 große + 5 kleine | \(5850 + 3750 = 9600\) | nein | - |
| 3 große + 4 kleine | \(5850 + 3000 = 8850\) | ja | 1150 |
| 4 große + 2 kleine | \(7800 + 1500 = 9300\) | nein | - |
| 4 große + 1 kleines | \(7800 + 750 = 8550\) | ja | 1450 |
| 5 große + 0 kleine | \(9450 + 0 = 9450\) | nein | - |
| 0 große + 11 kleine | \(8250 + 0 = 8250\) | ja | 1750 |
| 0 große + 12 kleine | \(9000 + 0 = 9000\) | ja | 1000 |
| 0 große + 13 kleine | \(9750 + 0 = 9750\) | nein | - |
zu Schritt 3:
Es werden Möglichkeiten für die Anzahl an großen und kleinen Geschenkpapierbögen, die aus einem Bogen hergestellt werden können, durch Probieren ermittelt. Dabei werden zunächst nur die Summen aus den vorherigen Tabellen der ersten beiden Schritte gewählt, die nahe an 10.000 cm² liegen, um so wenig Abfall wie möglich zu produzieren.
zu Schritt 4:
Die Möglichkeiten werden nun anhand der Summen der Seitenlängen überprüft. Dazu werden Planskizzen angefertigt:
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| \(\Rightarrow \) kein weiteres kleines Geschenk möglich | \(\Rightarrow \) maximal 6 kleine bei 2 großen Geschenken | \(\Rightarrow \) maximal 4 kleine bei 3 großen Geschenken |
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| \(\Rightarrow \) maximal ein kleines bei 4 großen Geschenken; es passen maximal 4 große Geschenke | \(\Rightarrow \) maximal 12 kleine Geschenke |
zu Schritt 5:
Es wird für die Möglichkeiten, bei denen die Summe der Seitenlängen kleiner oder gleich 100 cm ist, der Abfall mit der Formel
\(10.000cm²-(x{ A }_{ g }+y{ A }_{ k })\) ermittelt.
| 10.000 - 8.700 = 1.300 |
| 10.000 - 8.400 = 1.600 |
| 10.000 - 8.850 = 1.150 |
| 10.000 - 8.550 = 1.450 |
| 10.000 - 8.250 = 1.750 |
| 10.000 - 9.000 = 1.000 |
Schritt 6: Ermittlung der Geschenkanzahl mit dem geringsten Abfall
Werden 3 große und 4 kleine Geschenke aus dem Geschenkpapierbogen hergestellt, so ist der entstehende Abfall am geringsten.
Antwort:
Wichtel Oswald muss das Geschenkpapier für 3 große und 4 kleine Geschenke schneiden. Er kann sich dabei eine der beiden Möglichkeiten aus Schritt 4 auswählen.
Lösungsweg 2 - Zeichnerische Lösung
Du kannst die Aufgabe durch Zeichnen lösen. Dafür hilft kariertes Papier, eine quadratische Excel-Tabelle oder auch ein Geometrieprogramm wie zum Beispiel Geogebra. Zeichnest du auf einem Karopapier, wähle dir den Maßstab so, dass du den gesamten Geschenkpapierbogen darauf abbilden kannst. Verkleinerst du den Bogen zum Beispiel auf ein Zehntel (Maßstab 1:10), wäre der 1m x 1m - Bogen noch 10 cm x 10 cm groß. Dies entspricht auf Karopapier 20 Kästchen x 20 Kästchen, wie im (wiederum) verkleinerten Bild.
Die kleinen Geschenkbögen sind im Original 30 cm x 25 cm groß und in der 1 : 10 Verkleinerung 6 Kästchen x 5 Kästchen. Die großen Geschenkbögen sind 65 cm x 30 cm groß und entsprechen 13 Kästchen x 6 Kästchen. Schneidest du dir entsprechend viele Schablonen, so kannst du alle Antwortmöglichkeiten auf deinem verkleinerten Geschenkbogen verteilen und so leicht erkennen, wie viele Kästchen nicht genutzt werden (also Abfall sind), und ob die Kombination überhaupt auf den großen Bogen passt. Daraus ergibt sich, welche Kombination das Geschenkpapier am besten ausnutzt. Die Geschenkbögen sind in Orangetönen gefärbt, der Abfall ist blau.
Du kannst erkennen, dass alle vier Kombinationen auch wirklich aus dem Bogen ausgeschnitten werden können. Bei Kombination a) bleiben 52 Kästchen übrig, bei b) 64 Kästchen, bei c) nur 46 Kästchen und bei d) 58 Kästchen. Damit hast du bei der Kombination c) am wenigsten Abfall.
Lösungsweg 3 - Enaktive Lösung
Eine dritte Möglichkeit besteht darin, den Kindern ein quadratisches Stück Bastelkarton (Geschenkpapier) und kleinere rechteckige Stücke (Papier für Geschenke) zur Verfügung zu stellen. Das, was nach dem Lösungsweg der Musterlösung gezeichnet wird, kann nun gelegt werden. Die Kinder probieren (bestenfalls) systematisch, die Geschenke miteinander zu kombinieren. Dabei wird zunächst ein großes Stück Karton auf das Quadrat gelegt und die restliche Fläche mit kleinen Stücken gefüllt. Anschließend werden zwei große Stücke Karton darauf gelegt usw.
Das Material kann für die schwächeren Schüler bereitgestellt werden. Es ist aber auch möglich, dass die Kinder allein zu dem Hilfsmittel greifen, indem sie es ausschneiden. Zu beachten ist in beiden Fällen, dass die Größe der Flächen im Maßstab richtig übernommen wird.
Die Aufgabe lässt sich in der Jahrgangsstufe 5 einsetzen, da die Kinder die Eigenschaften von Quadraten und Rechtecken bereits kennen gelernt haben müssen. Aufgrund der Möglichkeit, die Aufgabe auch zeichnerisch zu lösen, bietet es sich an, zwischen stärkeren und schwächeren Schülern dieser Klassenstufe zu differenzieren.
Eine weitere Adaption würde es ebenfalls zulassen, diese Aufgabe auch in der dritten oder vierten Klasse zu lösen. Hierbei müsste darauf verzichtet werden, die genaue Menge des Abfalls zu betrachten. Die Kinder könnten mithilfe des Bastelkartons alle Möglichkeiten herausfinden, die so wenig Abfall wie möglich produzieren. Dabei gäbe es dann nicht nur eine, sondern mehrere richtige Antworten.
Mit der Aufgabe werden insbesondere die inhaltsbezogenen Kompetenzbereiche [L2] Größen und Messen und [L3] Raum und Form sowie die prozessbezogenen Kompetenzbereiche [K2] Probleme mathematisch lösen, [K3] Mathematisch modellieren und [K4] Mathematische Darstellungen verwenden aus dem brandenburgischen Rahmenlehrplan (Teil C) Mathematik für die Jahrgangsstufen 1-10 (LISUM, 2015), der ab dem Schuljahr 2017/18 gültig ist, gefördert.
Inhaltsbezogene Kompetenzformulierungen
Größen und Messen [L2]
Kompetenz 1: Die Schülerinnen und Schüler können Eigenschaften wie Seitenlänge und Flächeninhalt berechnen.
"Die Schülerinnen und Schüler können Größen messen (auch [...] Flächeninhalte)" (LISUM, 2015, Größenangaben bestimmen, Niveaustufe C, S.24)
Kompetenz 2: Die Schülerinnen und Schüler können Eigenschaften wie Seitenlänge und Flächeninhalt nutzen.
"Die Schülerinnen und schüler können mit Größenangaben rechnen (auch mit Flächeninhalten, [...])" (LISUM, 2015, Größen in Sachzusammenhängen berechnen, Niveaustufe C, S.25)
Raum und Form [L3]
Kompetenz 3: Die Schülerinnen und Schüler sind in der Lage, eine Planskizze anzufertigen.
"Legen, Zerlegen, Auslegen, Zusammensetzen, Falten, Schneiden, Spannen, Drucken ebener Figuren Zeichnen ebener Figuren frei Hand und mithilfe von Zeichengeräten (Lineal, Geodreieck, Schablone) überwiegend auf Rasterpapier" (LISUM, 2015, Geometrische Objekte darstellen, Niveaustufe B, S.46)
Prozessbezogene Kompetenzformulierungen
Probleme mathematisch lösen [K2]
Kompetenz 4: Die Schülerinnen und Schüler sind in der Lage, einen eigenen, ihnen unbekannten Lösungsweg zu erarbeiten.
"Die Schülerinnen und Schüler können Aufgaben bearbeiten, zu denen sie noch keine Routinestrategie haben (sich zu helfen wissen)" (LISUM, 2015, S.19)
Mathematisch modellieren [K3]
Kompetenz 5: Die Schülerinnen und Schüler können das im Sachtext dargestellte Problem in einen mathematischen Kontext übersetzen.
"Die Schülerinnen und Schüler können Sachsituationen in die Sprache der Mathematik übersetzen und entsprechende Aufgaben innermathematisch lösen" (LISUM, 2015, S.20)
Mathematische Darstellungen verwenden [K4]
Kompetenz 6: Die Schülerinnen und Schüler können zwischen verschiedenen Ebenen der Darstellung wechseln.
"Die Schülerinnen und Schüler können zwischen verschiedenen Darstellungen und Darstellungsebenen wechseln (übersetzen)" (LISUM, 2015, S.20)
Heuristische Hilfsmittel:
- Zu Beginn der Lösung der Aufgabe helfen Zeichnungen und Gleichungen, die gegebenen und gesuchten Werte zu erfassen.
- Um die Papiermaße für die verschiedenen Geschenke zu strukturieren, wird als heuristisches Hilfsmittel die Tabelle genutzt.
Heuristische Strategien:
- Beim Überprüfen der Kombinationsmöglichkeiten wird systematisch probiert.
Die Aufgabe "Maximale Ausbeute II: Die Wichtelwerkstatt" hat nach Cohors-Fresenborg et al bezüglich des rechnerischen Lösungsweges einen Schwierigkeitsgrad von *** und bezüglich des zweiten und dritten Lösungsweges eine Schwierigkeit von **.
Sprachlogische Komplexität:
Die Reihenfolge der Sätze und Satzteile in der Aufgabenstellung lässt keine Rückschlüsse auf die Schritte bei der mathematischen Bearbeitung zu. Darüber hinaus handelt es sich um einen längeren Text, der von den Grundschülerinnen und -schülern erfasst werden muss und aus dem erst einmal die für die Lösung relevanten Informationen herausgefiltert werden müssen. Somit entspricht die Sprachlogische Komplexität der Aufgabe der Stufe 2.
Kognitive Komplexität:
Bei der Lösung der Aufgabe müssen sich die Kinder zunächst überlegen, wie sie bei der Lösung am besten vorgehen. Dabei muss die Größe der verschiedenen Geschenkpapierbögen berücksichtigt werden. Somit lässt sich auch die Kognitive Komplexität auf Stufe 2 ansiedeln.
Formalisierung von Wissen:
Die Formalisierung von Wissen lässt sich bezüglich der rechnerischen Lösung in Anbetracht des Einsatzes bis in die Jahrgangsstufe 5 hinein auf Stufe 2 einordnen und bezüglich der anderen beiden Lösungswege auf Stufe 0. So werden bei der rechnerischen Lösung eigenständig Funktionsterme erbracht, wobei verschiedene Variablen für die verschiedenen bedeutsamen Größen eingeführt werden. Bei den anderen beiden Lösungen wird dahingegen lediglich mithilfe von Zeichnungen und auf enaktive Weise gearbeitet.
Formelhandhabung:
Bei der rechnerischen Lösung werden lediglich verschiedene Größen in aufgestellte Gleichungen eingesetzt und Rechenoperationen der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division genutzt. Lösungsroutinen sind damit bezüglich dieses Lösungsweges in überschaubarem Maße vorhanden und die Formelhandhabung lässt sich damit bezüglich dieses Weges auf Stufe 1 ansiedeln. Bezüglich der zweiten und dritten Lösungsvariante lässt sie sich wie auch die Formalisierung von Wissen auf Stufe 0 ansiedeln.
Stufenzuordnung:
Formalisierung von Wissen
Stufe 0
Stufe 2
Formelhandhabung
Stufe 0
Stufe 1
Kognitive Komplexität
Stufe 2
Sprachlogische Komplexität
Stufe 2
Hilfestellungen:
Bei der Lösung der Aufgabe "Maximale Ausbeute II: Die Wichtelwerkstatt" können die Schülerinnen und Schüler an einigen Stellen Probleme haben und nicht weiterkommen. Hier sind zwei dieser kritischen Stellen dargestellt und es ist dargestellt mit welchen Hilfestellungen als Lehrkraft darauf eingegangen werden kann.
Die Schülerinnen und Schüler könnten nicht auf die grundsätzliche Idee kommen, den Abfall zu betrachten und die Möglichkeit, bei der der Abfall am geringsten ist, zu ermitteln. In diesem Fall können den Kindern folgende Hilfen gegeben werden
| Allgemein-strategische Hilfen | Inhaltsorientierte strategische Hilfen | Inhaltliche Hilfen |
| Fertige doch Zeichnungen an! | Was gilt noch, wenn der Platz am besten ausgenutzt ist? | Wann ist der Abfall am geringsten? |
| Du kannst bei deinen Zeichnungen auch verschiedene Farben nutzen. | Betrachte die ungenutzte Fläche! | Wie viel Abfall fällt bei den verschiedenen Möglichkeiten an? |
| Überprüfe, ob der Platz am besten ausgenutzt ist. | Kannst du berechnen, wie groß der Abfall ist? | - |
Die Lernenden könnten außerdem davor zurückschrecken, oder nicht auf die Idee kommen, systematisch die verschiedenen Möglichkeiten auszuprobieren. Vielleicht denken Sie auch, sie müssen rein rechnerisch vorgehen, obwohl es auch erlaubt ist, die Aufgabe zeichnerisch oder enaktiv zu lösen. Stellt sich dies heraus, so können folgende Hinweise und Fragen hilfreich sein:
| Allgemein-strategische Hilfen | Inhaltsorientierte strategische Hilfen | Inhaltliche Hilfen |
| Überlege dir eine Strategie, wie du alle Möglichkeiten überprüfen kannst. | Gibt es bestimmte Flächen, die du betrachten musst? | Welche verschiedenen Möglichkeiten gibt es, den Geschenkpapierbogen zuzuschneiden? |
| Du kannst dir auch Zeichnungen anfertigen. | Ist es sinnvoll bestimmte Flächeninhalte zu betrachten oder zu berechnen? | Was weißt du über die Stücke, die für ein großes und ein kleines Geschenk benötigt werden? |
| Du darfst auch mit Hilfsmitteln arbeiten, oder dir Hilfsmittel anfertigen. | Kannst du systematisch bei der Ermittlung der verschiedenen Möglichkeiten vorgehen? | Was ist zu berücksichtigen, wenn die verschiednenen Stücke für die kleinen und großen Geschenke aneinandergereiht werden? |
Sozialformen:
- Einzelarbeit
- Partnerarbeit
- Kleingruppenarbeit
Differenzierungsmöglichkeiten:
Zur Differenzierung für leistungsschwächere und leistungsstärkere Kinder bietet sich eine Differenzierung auf enaktiver, ikonischer und symbolischer Ebene an.
Für die schwächeren Kinder gibt es folgende Differenzierungsmöglichkeiten:
- Die Flächen der kleinen und großen Geschenke können in Form von Pappkartonflächen vorbereitet werden, bzw. es kann mit den Kindern zusammen das Basteln der Flächen erarbeitet werden. Anschließend werden die Flächen auf einem Geschenkpapierbogen so verteilt, dass am wenigsten Abfall am Ende übrigbleibt. Den Kindern fällt es auf enaktiver Ebene leichter die Aufgabe zu verstehen, da sie immer mitverfolgen können wie weit die Lösung vorangeschritten ist.
- Ebenfalls ist es möglich, dass innerhalb der Aufgabe nicht umgerechnet werden muss und der Papierbogen in der Aufgabenstellung in cm angegeben wird (statt 1 m lang und 1 m breit sind 100 cm lang und 100 cm breit gegeben).
- Für Kinder, die Schwierigkeiten mit Zahlen ab dem Hunderterbereich haben, ist es möglich die Aufgabe mit kleineren Zahlen zu stellen. Der Papierbogen hätte somit eine Größe von 10 x 10 cm, das große Paket wäre 6,5 x 3 cm und das kleine Paket 3 x 2,5 cm groß.
- Die Aufgabe könnte den Schülerinnen und Schülern außerdem erleichtert werden, indem ihnen Lösungsmöglichkeiten vorgegeben werden und sie die richtige Antwort daraus auswählen und begründen müssen (vgl. Maximale Ausbeute I: Die Wichtelwerkstatt).
Für die leistungsstärkeren Schülerinnen und Schüler gibt es folgende Differenzierungsmöglichkeiten:
- Es kann je nach können eine ikonisch oder symbolisch zu lösende Aufgabe geben. Auf ikonischer Ebene können den Kindern zum besseren Verständnis Bilder mit den Maßen des gesamten Geschenkpapiers und den Maßen des Papiers für kleine und große Geschenke zur Verfügung gestellt werden. Um den Lösungsweg anzuleiten kann ein vorgefertigter Arbeitsbogen mit der Frage nach gesucht und gegeben bzw. weiteren Unteraufgaben eine weitere Hilfe bieten.
- Den ganz starken Schülerinnen und Schülern kann ausschließlich der Aufgabentext gegeben werden. Sie müssen dann selbst erkennen, welches Ziel sie verfolgen müssen und welchen Lösungsweg sie dazu einschlagen.
- Auch die Schüler und Schülerinnen, die zu Anfang eine symbolische Aufgabenstellung erhalten, können sich später mit der enaktiven Arbeitsweise von ihren eigenen Lösungen überzeugen, oder erhalten dadurch weitere Anregungen die Aufgabe zu lösen.
Diese Aufgabe ist sowohl für den Unterricht als auch als Hausaufgabe geeignet. Wenn die Kinder diese Aufgabe zu Hause lösen, erhalten sie die Möglichkeit, den Sachkontext besser zu verstehen, indem sie das Problem mit den Materialien aus der Aufgabenstellung erforschen und zu lösen versuchen. Im Unterricht kann die Aufgabe sowohl in Kleingruppen als auch alleine gelöst werden. Dies ermöglicht eine gute Differenzierung, bietet aber auch Gelegenheit, die Ergebnisse einander zu präsentieren und damit die Kompetenz des mathematischen Kommunizierens zu fördern.
Bearbeitet von: Charlene Arendt, Lisa Brinkmann, Elisa Fähnrich, Ana Kuzle, Peter Klöpping (ergänzt von Marisa Pfläging)
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