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Nagelbrett
Fehlermeldung
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|---|---|---|---|---|
| 6 | Primarstufe | Flächeninhalt und Umfang von Rechtecken | Größen und Messen | **, *** |
| Heuristsche Hilfsmittel | Heuristische Prinzipien | Heuristische Strategien |
|---|---|---|
| Informative Figur, Tabelle, Gleichungen | Zerlegungs- und Ergänzungsprinzip, Invarianzprinzip | Kombiniertes Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten, Systematisches Probieren |
Aufgabenstellung
Eine 6. Klasse hat im Werkunterricht ein 11 x 11 Nagelbrett hergestellt. Die Abstände zwischen den Nägeln betragen 1 cm. Mit Gummis kann man nun Figuren spannen.
a) Spanne (in Gedanken) möglichst viele Rechtecke mit dem Flächeninhalt A = 24 cm². Was kannst du über deren Umfang aussagen?
b) Findest du zwei Rechtecke, die gleichen Umfang, aber verschiedene Flächeninhalte haben?
c) Spanne das Einheitsquadrat. Wie ändert sich der Flächeninhalt, wenn du die Seitenlänge verdoppelst (verdreifachst)? Und wie ändert sich der Umfang?
d) Besprich deine Entdeckungen mit deinen Mitschülerinnen und Mitschülern.
Quellenangabe:
Lenze, M. (2010). Sekundo. Mathematik (Für differenzierende Schulformen, Dr. A). Braunschweig: Schroedel. S.104
Lösungsvariante 1
gegeben: 11 x 11 Nagelbrett; Abstände zwischen Nägeln entsprechen jeweils 1cm
Aufgabenteil a)
gesucht: möglichst viele Rechtecke mit einer Fläche A von 24 cm²; Umfang U dieser Rechtecke
Lösung:
Ermittle die Möglichkeiten für die Seitenlängen a und b der Rechtecke auf dem Nagelbrett mit A = 24 cm² und berechne dann den Umfang U mit der entsprechenden Formel.
| \(A=a\cdot b\) | \(a\) | \(b\) | \(U=2a+2b\) | Bemerkung |
| \(24=24\cdot 1\) | \(24\) | \(1\) | \(50\) | nicht möglich, da das Rechteck nicht auf das Nagelbrett mit den Maßen 10cm x 10cm passt (siehe Skizze)! |
| \(24=12\cdot 2\) | \(12\) | \(2\) | \(28\) | nicht möglich, da das Rechteck nicht auf das Nagelbrett mit den Maßen 10cm x 10cm passt (siehe Skizze)! |
| \(24=8\cdot 3\) | \(8\) | \(3\) | \(22\) | ✓ |
| \(24=6\cdot 4\) | \(6\) | \(4\) | \(20\) | ✓ |
| Mit der Seitenlänge 5 lässt sich kein Rechteck mit dem Fächeninhalt A = 24 cm² spannen! | \(5\) | - | - | |
Skizze (Aufsicht Nagelbrett):
Somit können auf dem Nagelbrett zwei Rechtecke mit einem Flächeninhalt von 24 cm² aufgespannt werden. Die Rechtecke haben trotz gleichem Flächeninhalt einen anderen Umfang.
Aufgabenteil b)
gesucht: zwei Rechtecke mit gleichem Umfang (U), aber verschiedenen Flächeninhalten (A1, A2)
Lösung:
Lege einen Umfang von 20 cm fest. Dieser Umfang lässt sich mit verschiedenen Seitenlängen a und b bilden.
| \(a\) | \(b\) | \(U=2a+2b\) | \(A=a\cdot b\) |
| 6 | 4 | 20 | 24 |
| 5 | 5 | 20 | 25 |
| 7 | 3 | 20 | 21 |
Es wurden damit sogar drei Rechtecke mit gleichem Umfang (U = 20 cm), aber verschiedenen Flächeninhalten (A1 = 24 cm², A2 = 25 cm², A3 = 21 cm²) gefunden, die auf dem Nagelbrett gespannt werden können.
Aufgabenteil c)
gegeben: Einheitsquadrat (1cm x 1cm)
gesucht: Flächeninhalt, Umfang des Einheitsquadrats (mit verdoppelter; verdreifachter Seitenlänge)
Lösung:
Skizze (Aufsicht Nagelbrett):
Aus der Skizze lässt sich ein Flächeninhalt von 1 cm² und ein Umfang von 4 cm für das Einheitsquadrat entnehmen. Für das Quadrat mit doppelter Seitenlänge lässt sich durch Abzählen der enthaltnen Einheitsflächen ein Flächeninhalt von 4 cm² und ein Umfang von 8 cm erkennen. Für das Quadrat mit dreifacher Seitenlänge des Einheitsquadrats ergibt sich schließlich ein Flächeninhalt von 9 cm² und ein Umfang von 12 cm².
Wenn man die Seitenlänge des Einheitsquadrats verdoppelt, so vervierfacht sich der Flächeninhalt und so verdoppelt sich der Umfang. Wird die Seitenlänge des Einheitsquadrats verdreifacht, so verneunfacht sich der Flächeninhalt und so verdreifacht sich der Umfang.
Lösungsvariante 2
gegeben: 11 x 11 Nagelbrett; Abstände zwischen Nägeln entsprechen jeweils 1cm
Aufgabenteil a)
gesucht: möglichst viele Rechtecke mit einer Fläche A von 24 cm²; Umfang U dieser Rechtecke
Lösung:
Schreibe die Möglichkeiten für die Seitenlängen a und b der Rechtecke auf dem Nagelbrett mit A = 24 cm² auf, indem zunächst die Teiler von 24 ermittelt werden: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
Der Flächeninhalt A der Rechtecke lässt sich nun mittels dieser Zahlen berechnen und somit müssen die Seitenlänge a und b jeweils einer dieser Zahlen entsprechen, da \(A=a\cdot b\) .
Ermittle im nächsten Schritt mit der Umfangformel \(U=2a+2b\) für Rechtecke deren Umfang.
|
Flächeninhalt A (in cm²) |
Seitenlänge a (in cm) |
Seitenlänge b (in cm) |
Umfang U (in cm) |
Bemerkung |
| \(24\) | \(1\) | \(24\) | \(50\) | nicht möglich, da das Rechteck nicht auf das Nagelbrett mit den Maßen 10cm x 10cm passt (siehe Skizze)! |
| \(24\) | \(2\) | \(12\) | \(28\) | nicht möglich, da das Rechteck nicht auf das Nagelbrett mit den Maßen 10cm x 10cm passt (siehe Skizze)! |
| \(24\) | \(3\) | \(8\) | \(22\) | ✓ |
| \(24\) | \(4\) | \(6\) | \(20\) | ✓ |
Skizze (Aufsicht Nagelbrett):
Somit können auf dem Nagelbrett zwei Rechtecke mit einem Flächeninhalt von 24 cm² aufgespannt werden. Die Rechtecke unterscheiden sich trotz gleichem Flächeninhalt in ihrem Umfang.
Aufgabenteil b)
Betrachte die Umfangsformel für Rechtecke:
| \(U=2a+2b\) | \(| : 2\) | |
| \(\Leftrightarrow \) | \(\frac { U }{ 2 } =a+b\) | |
| \(\Rightarrow \) \(a+b\) muss immer die Hälfte des Umfangs ergeben; der Umfang bleibt gleich, der Flächeninhalt ändert sich aber, wenn sich a und b verändern, da \(A=a\cdot b\) . Es gibt also Rechtecke mit gleichem Umfang, aber verschiedenen Flächeninhalten. | ||
Wähle \(U = 20\). Dann muss gelten \(10=a+b\) .
Es ergeben sich somit zum Beispiel die Möglichkeiten \(a=1, b=9\) mit \(A=1\cdot 9=9 [cm²]\) und \(a=2, b=8\) mit \(A=2\cdot 8=16 [cm²]\). Diese lassen sich beide aufgrund der Seitenlängen auf dem Nagelbrett spannen.
Somit sind zwei Rechtecke mit gleichem Umfang, aber verschiedenen Flächeninhalten gefunden worden, die sich auf dem Nagelbrett spannen lassen.
Aufgabenteil c)
gegeben: Einheitsquadrat (1cm x 1cm)
gesucht: Flächeninhalt A, Umfang U des Einheitsquadrats (mit doppelter; dreifachter Seitenlänge)
Lösung:
Ermittle den Flächeninhalt A in Abhängigkeit vom Einheitsquadrat:
|
Seitenlänge \(a\) |
Flächeninhalt \(A=a\cdot a\) |
||
|
|
\(1\) | \(1\) |
|
| \(2\) | \(4\) | ||
| \(3\) | \(9\) | ||
| ... | ... | ||
| bei n-facher Seitenlänge des Einheitsquadrats | \(1\cdot n=n\) | \(1\cdot n²=n²\) |
Bei 2-facher Seitenlänge des Einheitsquadrats beträgt der Flächeninhalt das 2²-fache, er vervierfacht sich also. Bei Verdreifachung ist der Flächeninhalt 3²-mal so groß, er verneunfacht sich also.
Ermittle den Umfang U in Abhängigkeit vom Einheitsquadrat:
|
Seitenlänge \(a\) |
Umfang \(U=2a+2a\) |
||
 |
\(1\) |
\(4\) |  |
|
\(2\) |
\(8\) | ||
|
\(3\) |
\(12\) | ||
|
... |
... |
||
| bei n-facher Seitenlänge des Einheitsquadrats | \(1n=n\) | \(4n\) |
Bei Verdopplung der Seitenlänge des Einheitsquadrats verdoppelt sich auch der Umfang, bei Verdreifachung verdreifacht dieser sich.
Die Nagelbrett-Aufgabe eignet sich für den Einsatz in der 6. Jahrgangsstufe, da die Schülerinnen und Schüler bestimmte Lernvoraussetzungen für die Bearbeitung mitbringen müssen. Dazu zählen vor allem, dass die Lernenden die Einheiten cm und cm² situationsangemessen verwenden (LISUM 2015, Größen und Messen, Niveaustufe D, S.24) und dass die Schülerinnen und Schüler die Fläche und den Umfang von Rechtecken und Quadraten berechnen können (LISUM 2015, Größen und Messen, Niveaustufe C, S.24).
Mit der Nagelbrett-Aufgabe werden insbesondere der inhaltsbezogene Kompetenzbereich [L2] Größen und Messen und der prozessbezogene Kompetenzbereich [K2] Probleme mathematisch lösen aus dem brandenburgischen Rahmenlehrplan Mathematik für die Jahrgangsstufen 1-10 (vgl. LISUM 2015), der ab dem Schuljahr 2017/18 gültig ist, gefördert.
Inhaltsbezogene Kompetenzformulierungen
Größen und Messen [L2]
Kompetenz 1: Die Schülerinnen und Schüler verwenden situationsangemessen die Einheiten cm und cm².
"Die Schülerinnen und Schüler können die verschiedenen Größen und ihre Einheiten nutzen (auch Flächeninhalt [...])" (LISUM 2015, Größen und Messen, Vorstellungen zu Größen und ihren Einheiten nutzen, Niveaustufe D, S. 24)
Kompetenz 2: Die Schülerinnen und Schüler unterscheiden Fläche und Umfang von Rechtecken und Quadraten.
"Die Schülerinnen und Schüler können Größen messen (auch [...] Flächeninhalte)" (LISUM 2015, Größen und Messen, Größenangaben bestimmen, Niveaustufe C, S.24)
Raum und Form [L3]
Kompetenz 3: Die Schülerinnen und Schüler kennen die Eigenschaften von Rechtecken und Quadraten.
"Die Schülerinnen und Schüler können ausgewählte geometrische Objekte unterscheiden" (LISUM 2015, Raum und Form, Geometrische Objekte und ihre Eigenschaften beschreiben, Niveaustufe B, S.26)
Prozessbezogene Kompetenzformulierungen
Probleme mathematisch lösen [K2]
Kompetenz 4: Die Schülerinnen und Schüler nutzen heuristische Hilfsmittel (Tabellen, Gleichungen und/oder Informative Figuren) und heuristische Strategien ((Kombiniertes) Vorwärt- und Rückwärtsarbeiten, Systematisches Probieren), um unbekannte Situation zu lösen.
"Die Schülerinnen und Schüler können Lösungsstrategien [...] entwickeln und nutzen heuristische Hilfsmittel zum Problemlösen anwenden" , "können Aufgaben bearbeiten, zu denen sie noch keine Routinestrategie haben (sich zu helfen wissen)" (LISUM 2015, S.19)
Kompetenz 5: Die Schülerinnen und Schüler erkennen Lösungsstrategien und übertragen diese auf ähnliche Sachverhalte innerhalb der Aufgabenstellung.
"Die Schülerinnen und Schüler können Zusammenhänge erkennen und Lösungsstrategien auf ähnliche Sachverhalte übertragen" (ebd.)
Kompetenz 6: Die Schülerinnen und Schüler können mathematische Kenntnisse, wie die Formeln zur Berechnung des
Flächeninhaltes und des Umfangs, bei der Lösung eines Problems anwenden.
"Die Schülerinnen und Schüler können mathematische Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten bei der Bearbeitung von Problemen anwenden" (ebd.)
Heuristische Hilfsmittel:
- Bei Aufgabenteil a) wird sowohl im ersten als auch im zweiten Lösungsweg eine Tabelle genutzt, darüber hinaus auch im Aufgabenteil b) beim ersten Lösungsweg und im Aufgabenteil c) beim zweiten Lösungsweg.
- Bei allen Teilaufgaben (mit Ausnahme der Lösung des Aufgabenteils c) bei der ersten Lösungsvariante) werden Gleichungen für die Berechnung des Flächeninhalts bzw. Umfangs verwendet. Außerdem wird beim zweiten Lösungsweg mithilfe der umgeformten Umfangsformel ermittelt, welche Seitenlängen für einen festgelegten Umfang in Frage kommen.
- In der ersten Lösung des Aufgabenteils c) handelt es sich bei der Skizze um eine Informative Figur, da in dieser die Flächeninhalte bzw. Umfänge der erweiterten Quadrate abgelesen werden.
Heuristische Strategien:
- In Teilaufgabe a) werden möglichst viele Rechtecke mit einer Fläche von A = 24 cm² gesucht. Mithilfe der Flächeninhaltsformel für Rechtecke werden mögliche Seitenlängen für Rechtecke mit einem solchen Flächeninhalt gefunden. Hier wird also vom Zielwert, dem Flächeninhalt, ausgegangen und der Anfangswert, nämlich die Seitenlängen a und b, ermittelt. Es wird demnach zunächst rückwärts gearbeitet. Im nächsten Schritt wird dann für jedes Rechteck mit der Umfangsformel für Rechtecke der Umfang berechnet, es wird vorwärts gearbeitet. Somit wird in diesem Aufgabenteil kombiniert vorwärts und rückwärts gearbeitet. Auch bei den anderen Aufgabenteilen wird die Strategie des kombinierten Vorwärts- und Rückwärtsarbeitens genutzt.
- Eine weitere bei dieser Aufgabe relevante Strategie ist das Systematische Probieren. Dieses wird beim ersten Lösungsweg in Aufgabenteil a) und b) jeweils in der Tabelle angewandt.
Heuristische Prinzipien:
- Bei den Teilaufgaben a) und b) der Nagelbrett-Aufgabe spielt das Invarianzprinzip eine Rolle. So ist in Aufgabenteil a) der Flächeninhalt der gesuchten Rechtecke konstant und in Aufgabenteil b) der Umfang. Die Seitenlängen sollen aber variieren. Diese können über die Flächeninhaltsformel oder Umfangsformel für Rechtecke ermittelt werden, dessen allgemeine Form wiederum jeweils konstant ist.
- Des Weiteren ist das Zerlegungsprinzip von Bedeutung. So wird bei der zweiten Lösungsvariante der Flächeninhalt von 24 [cm²] zunächst in Teiler zerlegt, um mögliche Seitenlängen zu finden. Außerdem wird bei der Ermittlung des Flächeninhalts der erweiterten Quadrate bei der ersten Lösungsvariante in Teilaufgabe c) das Zerlegungsprinzip angewandt, indem dieser dank der Zerlegung in Einheitsquadrate, die durch die Nägel des Nagelbretts gut ersichtlich sind, abgezählt werden kann.
Die Nagelbrett-Aufgabe hat nach Cohors-Fresenborg et al. bezüglich des ersten Lösungsweges einen Schwierigkeitsgrad von ** und bezüglich des zweiten Lösungsweges einen Schwierigkeitsgrad von ***.
Sprachlogische Komplexität:
Es handelt sich bei der Aufgabenstellung um einfache Haupt- und Nebensätze, die Reihenfolge der Sätze und Satzteile gibt allerdings keine Auskunft über die Schritte bei der Bearbeitung. Somit lässt sich die Nagelbrett-Aufgabe bezüglich der Sprachlogischen Komplexität auf Stufe 1 einordnen.
Kognitive Komplexität:
Die Kognitive Komplexität der Aufgabe ist im Hinblick auf die Umsetzung in einer sechsten Klasse auf Stufe 2 anzusiedeln, da sich vor Bearbeitung der Aufgabe überlegt werden muss, wie am besten vorgegangen wird und Nebenbedingungen, wie in Aufgabe a) der konstante Flächeninhalt oder in b) der konstante Umfang, zu berücksichtigen sind.
Formalisierung von Wissen:
Bei der ersten Lösungsvariante sind bloß sehr einfache Darstellungskontexte, wie die Flächeninhalts- und Umfangsformel für Rechtecke aufzustellen. Bezüglich dieses Lösungsweges lässt sich die Formalisierung von Wissen demnach auf Stufe 1 ansiedeln. Die Formalisierung von Wissen bezüglich des anderen Lösungsweges ist allerdings auf Stufe 2 einzuordnen, da hier in Aufgabenteil b) die Umfangsformel zunächst umgestellt wird, und allgemein betrachtet wird, was für Schülerinnen und Schüler einer sechsten Klasse sehr anspruchsvoll ist.
Formelhandhabung:
Aus gleichen Gründen wie bei der Formalisierung von Wissen erfordert die Aufgabe bezüglich des ersten Lösungsweges eine Formelhandhabung auf Stufe 1 und bezüglich des zweiten Lösungsweges eine Formelhandhabung auf Stufe 2. So sind bei der ersten Lösungsvariante Lösungsroutinen lediglich beim Einsetzen der Seitenlängen erforderlich. Bei Teilaufgabe b) der zweiten Lösung wird die Umfangsformel zunächst umgeformt, was Schülerinnen und Schüler der sechsten Klasse im Unterricht noch gar nicht kennen gelernt haben, sondern was erst in Jahrgangsstufe 7 vorgesehen ist (LISUM 2015, S.28: "Die Schülerinnen und Schüler können lineare Gleichungen und Verhältnisgleichungen lösen (auch mit Äquivalenzumformungen)" (Niveaustufe E)).
Stufenzuordnung:
Formalisierung von Wissen
Stufe 1
Stufe 2
Formelhandhabung
Stufe 1
Stufe 2
Kognitive Komplexität
Stufe 2
Sprachlogische Komplexität
Stufe 1
Hilfestellungen:
Eine Lösung der Aufgabe kann für die Schülerinnen und Schüler an einigen Stellen kritisch sein. Zwei solcher problematischen Stellen werden im Folgenden dargestellt und es werden Hinweise gegeben, wie als Lehrperson darauf eingegangen werden kann.
Bei der Lösung von Aufgabenteil a) könnten die Schülerinnen und Schüler nicht auf die Idee kommen zunächst die Teiler von 24 zu ermitteln, um alle möglichen Seitenlängen a uns b zu finden. Beim ersten Lösungsweg könnten sie daher beim Systematischen Ausprobieren ein Verständnisproblem haben, warum sie ab der Seitenlänge 5 [cm] nicht mehr weiter probieren brauchen. In diesem Fall können folgende Allgemein-strategische Hilfen, Inhaltsorientierte strategische Hilfen und Inhaltlichen Hilfen gegeben werden:
| Allgemein-strategische Hilfen | Inhaltsorientierte strategische Hilfen | Inhaltliche Hilfen |
| Kannst du Formeln anwenden, die du bereits im Unterricht kennen gelernt hast? | Gibt es eine Formel, die dir weiterhelfen könnte? | Wie berechnet man den Flächeninhalt von Rechtecken? |
| Überprüfe deine Lösung! | Wie lässt sich überprüfen, ob der Flächeninhalt deines Rechtecks wirklich 24 [cm²] beträgt? Was fällt dir bei der Rechnung auf? | Welche Eigenschaften müssen die Seitenlängen haben, damit der Flächeninhalt des Rechtecks 24 [cm²] beträgt? |
| Beachte, was gegeben ist! | Denke daran, dass die Abstände zwischen den Nägeln ganzzahlig sind. | Durch welche Zahlen lässt sich 24 teilen? Hilft dir das weiter? |
Außerdem könnte bei Aufgabenteil b) das Problem auftreten, dass die Lernenden versuchen eine allgemeine Lösung zu finden und sie nicht in der Lage sind, einen sinnvollen Umfang festzulegen. An dieser Stelle können folgende Hinweise helfen:
| Allgemein-strategische Hilfen | Inhaltsorientierte strategische Hilfen | Inhaltliche Hilfen |
| Was ist gesucht? | Lege ruhig eine Größe für den Umfang fest! | Hilft es dir vielleicht, erst einmal einen bestimmten Umfang festzulegen? |
| Eine Skizze könnte dir helfen. | Beachte welche Zusammenhänge zwischen Umfang, Seitenlänge und Flächeninhalt vorherrschen! | Welche Eigenschaften sollte der Umfang haben, um möglichst viele Rechtecke mit verschiedenen Flächeninhalten zu finden (gesucht sind hier zwei)? |
| Was weißt du bereits über die Thematik? | Helfen dir Formeln, die du schon aus dem Unterricht kennst? | Wie lautet die Umfangformel für Rechtecke? |
Sozialformen:
- Einzelarbeit
- Partnerarbeit (insbesondere bei Aufgabenteil d))
Differenzierungsmöglichkeiten:
Eine Differenzierungsmöglichkeit für leistungsschwächere Schülerinnen und Schüler ist es, ein reales Nagelbrett zu verwenden. So können sie haptisch ausprobieren und gezielt den Flächeninhalt und Umfang des Rechteckes nachzählen. Des Weiteren würden sich kleinere Angaben (beispielsweise die Angabe der Flächeninhalts- und Umfangsformel für Rechtecke) eignen, um diesen Schülerinnen und Schülern den Einstieg in die Lösung zu erleichtern. Auch könnte eine Kürzung der Aufgabe diese vereinfachen. So könnte z.B. nur die Bearbeitung der ersten Aufgabe oder der ersten beiden Aufgaben den Umfang mindern.
Für leistungsstärkere Schülerinnen und Schüler könnte ein größeres Nagelbrett (beispielsweise ein 22 x 22 Nagelbrett) angesetzt werden. Auch ein größerer Flächeninhalt in Aufgabenteil a) als Endzustand (z.B. 48 cm²) könnten die Aufgabe differenzieren, da 48 mehr Teiler hat als 24. Des Weiteren könnte die Teilaufgabe c) erweitert werden, indem auch noch der Flächeninhalt und Umfang des Quadrats mit vierfacher, fünffacher,...., n-facher Seitenlänge des Einheitsquadrat untersucht werden soll.
Die Aufgabe eignet sich, um bereits zuvor kennengelernte heuristische Hilfsmittel anzuwenden und zu vertiefen. Für die Bearbeitung der Aufgabe sollten die Schülerinnen und Schüler bereits mit heuristischen Hilfsmittel in Kontakt gekommen sein. Mit der Aufgabe könnten nun Strategien wie beispielsweise das systematische Probieren thematisiert und explizit behandelt werden.
Daneben bietet sich die Aufgabe an, um Zusammenhänge und Unterschiede zwischen der Berechnung des Flächeninhalts und des Umfangs von Rechtecken zu erforschen und somit deutlich zu machen.
Bearbeitet von: Ina Reichenbächer (ergänzt von Marisa Pfläging)
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