Nun rechnet aus das Nikolaushaus!

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Klasse Schulstufe Thema Themengebiet Schwierigkeit
5/ 6/ 7/ 8 Primarstufe, Sekundarstufe I Kombinatorik Zahlen und Operationen *, **
Heuristsche Hilfsmittel Heuristische Prinzipien Heuristische Strategien
Informative Figur, Lösungsgraphen Zerlegungs- und Ergänzungsprinzip, Invarianzprinzip Vorwärtsarbeiten, Systematisches Probieren

Aufgabenstellung

Mathelehrer Oberklug hat für seine letzte Mathestunde vor Weihnachten für seine Schüler eine kleine, aber nette Fleißaufgabe vorbereitet. Er hat ein Nikolaushaus gezeichnet, für das es ja 44 unterschiedliche Arten gibt, es zu zeichnen, ohne den Stift abzusetzen und ohne eine Linie doppelt zu zeichnen.
Zusätzlich hat er Zahlen an die Ecken und Rechenoperationen an die Linien des Hauses gezeichnet.
 

„Wenn ihr dieses Haus zeichnet und dabei die Zahlen und Rechenoperationen in der Reihenfolge notiert, wie sie beim Zeichnen auftauchen, dann erhaltet ihr eine Rechenaufgabe, die ein Ergebnis besitzt. Ihr wollt nun dieses Haus aber so zeichnen, dass der Wert dieser Rechenaufgabe so groß wie möglich wird, also überlegt klug, auf welche Weise ihr das Haus zeichnen wollt, und vergesst dabei nicht die Rechenregeln, die ich euch beigebracht habe. Auch hier gilt Punkt vor Strich. Und nun viel Spaß beim Überlegen und Rechnen.”
Können Sie den größten möglichen Wert berechnen, der dabei herauskommen kann?

Quellenangabe:

Frank Schwellinger (2012). Das Reihenhaus vom Nikolaus. Rowohlt Taschenbuch Verlag.


Wir erhalten die Lösung, wenn wir alle 44 Möglichkeiten aufzeichnen und dabei parallel immer die Ergebnisse notieren. Das klingt allerdings nach viel Arbeit. Wir wollen es uns daher ein wenig vereinfachen.

Als erstes können wir uns überlegen, dass wir beim Zeichnen aller 44 Möglichkeiten jeden Knoten, bis auf den „Spitzknoten” 3, doppelt ablaufen. Den Knoten 3 würden wir genau dann zweimal durchlaufen, wenn wir bei ihm beginnen. Das ist jedoch nicht möglich, da alle anderen Knoten immer eine ungerade Anzahl an ausgehenden Kanten besitzt und wir daher das Nikolaushaus nie vollständig zeichnen könnten. 

Jetzt stellen wir uns vor, dass alle Kanten mit der Rechenoperation „$+$” versehen sind. Da die Addition kommutativ ist, können wir mit obiger Überlegung folgende Rechnung notieren

\(2+2+4+4+5+5+6+6+3.\)


Zwischen den Knoten 2 und 5 sowie 3 und 4 haben wir jedoch eine Multiplikation zu stehen und diese geht aufgrund der Punkt-vor-Strich Regel natürlich vor. Also ergibt sich 

\(2\cdot 5+3\cdot 4+ 2+4+5+6+6=\underline{\underline{45}}.\)
 

Diese Rechnung war unabhängig von der Art wie das Nikolaushaus entstanden ist. Für alle 44 Möglichkeiten ergibt sich daher immer das Ergebnis 45, was dann natürlich auch der größtmögliche Wert ist.


Die Aufgabe lässt sich in den Bereich der Arithmetik, d.h. dem Umgang mit Zahlen und Operationen sowie einem kleinen Teil aus dem Bereich der Kombinatorik in Verbindung mit der Graphentheorie zuordnen. In der Graphentheorie ist in bestimmten Situationen die Anzahl der Möglichkeiten von einem Knoten zu einem anderen Knoten interessant. Das Haus vom Nikolaus, welches als ungerichteter Graph mit fünf Knoten dargestellt werden kann, ist daher prädestiniert für solche Fragen, die mit „Wie viele Möglichkeiten gibt es ... ?” im Zusammenhang stehen. Kombinatorische/graphentheoretische Tricks in Verbindung mit dem Kontext der Aufgabe und der sichere Umgang mit den Rechengesetzen führen dann zum Ergebnis.

Nach dem Kompetenzstufenmodell der KMK für den mittleren Schulabschluss aus dem Jahr 2011 lässt sich diese Aufgabe in den unteren Regelstandard einordnen, da sie vor allem Anforderungen der Kompetenzstufen II und III an die Schülerinnen und Schüler stellt. Aus der zweiten Stufe sind dies unter anderem der sichere Umgang mit einfachen Rechenoperationenen und einfachen Zahlen, die Identifikation und Entnahme relevanter Informationen aus einem längeren Text und eine einfache mathematische Argumentation zu führen. Dies beschreibt schon relativ kompakt alle grundlegenden Anforderungen, die zur Lösung der Aufgabe führen. In der dritten Kompetenzstufe finden sich die Anwendung von gewissen Strategien zur Lösungssuche und die strukturierte Darstellung von anfänglichen Überlegungen bis zu Lösungswegen wieder. Die hier angesprochenen Strategien führen letztendlich zu einer eleganten Lösung, die auch ansprechend präsentiert werden sollte, damit sie andere Schülerinnen und Schüler verstehen können. 

Beim Blick in die Bildungsstandards für Mathematik lassen sich außerdem inhaltsbezogene Kompetenzen unter der „Leitidee Zahl” herauslesen. Eine Kompetenz, die mit dieser Aufgabe erfasst werden soll, ist das nutzen von Rechengesetzen, um sich Vorteile für den Lösungsweg zu verschaffen. Außerdem müssen die SuS kombinatorische Überlegungen durchführen und selbst die Vorgehensweise zur Lösung wählen. Dabei ist das kritische prüfen der Ergebnisse unter Einbeziehung des selbst gewählten Lösungsmodells wichtig, denn nur so ist auch gewährleistet, ob die Lösung auch wirklich korrekt ist.


Heuristische Hilfsmittel: 
  • Als heuristisches Hilfsmittel wird die informative Figur ja schon mit der Aufgabe mitgeliefert, mit der die SuS dann Arbeiten können.
  • Als Lösungsgraphen identifiziert man bei dieser Aufgabe wohl eher die korrekte und systematische Aufschreibweise im Probierprozess, um aus diesem dann auf die allgemeine Lösung zu schließen.
Heuristische Strategien: 
  • Wie schon erwähnt werden die meisten SuS bei dieser Aufgabe zunächst versuchen ein paar Zeichenvariationen des Nikolaushauses suchen und ausprobieren, welches Ergebnis sie erhalten. Dieser Vorgang wird dann immer systematischer, bis er schließlich in einer allgemeinen Betrachtung des Problems mündet. Somit sind hier ganz klar systematisches Probieren und Vorwärtsarbeiten als heuristische Strategien zu nennen und zu benutzen und können mit dieser Aufgabe eingeführt oder geübt werden.
Heuristische Prinzipien: 
  • Als heuristische Prinzipien versteht man Methoden, um sich die Lösung zu erleichtern, indem man ähnliche Sachverhalte in den Lösungsprozess einbezieht. Bei dieser Aufgabe kann man, wie in der Differenzierung schon angesprochen, zunächst andere einfachere Figuren betrachten und dort ähnliche Berechnungen durchführen, um dann auf die komplexere Struktur des Nikolaushauses zu schließen. Dies versteht man unter dem Zerteilungsprinzip.
  • Andererseits spielt hier aber auch das Invarianzprinzip eine Rolle, dass aussagt, inwiefern man von ähnlichen Sachverhalten auf andere schließen kann. Heißt die SuS müssen sich vergewissern, wenn sie an einer einfacheren Struktur die Unabhängigkeit des Ergebnisses vom gewählten Weg festgestellt haben, ob sie dieses Ergebnis auch auf das Nikolaushaus anwenden können oder ob es Unterschiede, die zu einem anderen Schluss führen, aufweist.

Allgemeine Analyse

Allgemein kann man den Schwierigkeitsgrad der Aufgabe mit einem bzw. zwei Sternchen angeben. Klar sind gerade jüngere Schülerinnen und Schüler zunächst darauf aus, möglichst viele verschiedene Varianten der 44 Möglichkeiten das Haus vom Nikolaus zu zeichnen und das jeweilige Ergebnis auszurechnen. Doch nach spätestens 5-10 Versuchen, wo immer das gleiche Ergebnis herauskommt, sollten die Schülerinnen und Schüler schon zu dem Gedanken kommen, dass es anscheinend eine Regelmäßigkeit hier gibt. Diese dann zu begründen, ist bestimmt nicht einfach, sollte aber auch kein Ding der Unmöglichkeit darstellen. Deshalb ist die Aufgabe auch als Maximalstandard eingestuft. Schülerinnen und Schüler der Sekundarstufe brechen ihre Versuchsphase bestimmt schon etwas früher ab und kommen entweder schneller oder in größerer Zahl zur richtigen Begründung der Vermutung, dass alle Ergebnisse der verschiedenen Zeichenvarianten gleich sind.

Da dieser Aufgabe zwischen 2 und 3  Punkten vergeben wurden, wurde diese Aufgabe mit * und ** gekennzeichnet. Hier die Analyse:

Sprachlogische Komplexität: 
Von der sprachlogischen Komplexität lässt sich die Aufgabenstellung in der Stufe 1  einordnen, da die Reihenfolge der Sätze der mathematischen Bearbeitung nicht unmittelbar entspricht. Zudem handelt es sich bei dem Text offensichlich um einen längeren Text mit vielen völlig nebensächlichen Informationen, was eine genauere Analyse des Textes erfordert, um die wichtigsten Informationen für die Bearbeitung der Aufgabe herauszulesen.
Kognitive Komplexität: 
Die Aufgabenstellung beinhaltet Anforderungen aus einer Mischung von Stufe 1 und 2. Ohne Zusatzüberlegungen oder die Berücksichtigung von Nebenbedingungen (Kommutativität der Addition) sowie strukturierenden und strategischen Überlegungen wäre eine „elegante” Lösung nicht möglich.
Formalisierung von Wissen: 

Die Formalisierung von Wissen ist auf Stufe 0 einzuschätzen. Die Formalisierung der Rechnung ist durch die Abbildung fast schon gegeben, es müssen beim „Abfahren” des Hauses die Zahlen und Operationen lediglich in der richtigen Reihenfolge aufgeschrieben werden. Nach ersten verschiedenen Versuchen des „Abfahrens” ist der Schritt zur Verallgemeinerung auch nicht mehr weit und bedarf eigentlich keiner weiteren mathematischen Formalisierung.

Formelhandhabung: 

Die Anforderungen an die Formelhandhabung der SuS durch die Aufgabe kann sowohl in Stufe 0 eingeschätzt werden. Zwar sind hier keine wirklichen Formelumstellungen zur Bearbeitung der Aufgabe nötig, doch gerade für jüngere SuS ist die Handhabung der Kommutivität der Addition noch eine größere Schwierigkeit als für SuS der Sekundarstufe. Somit ist es hier stark altersabhängig, welche Anforderungen in diesem Bereich an die SuS gestellt werden.

Stufenzuordnung: 
Formalisierung von Wissen
Stufe 0
Formelhandhabung
Stufe 1
Kognitive Komplexität
Stufe 1
Sprachlogische Komplexität
Stufe 1

Hilfestellungen: 
Die folgenden Hilfestellungen können hilfreich sein:
 
Allgemein-strategische Hilfestellungen Inhatlich-strategische Hilfestellungen Inhaltliche Hilfestellungen
Finde uns probiere verschiedene Varianten aus. Schreibe deine Rechnungen untereinander auf, Wiederhole die Rechelregeln.
 
Suche nach Gemeinsamkeiten bzw. Unterscheidungen. Kannst du einen Muster erkennen?
  
Sozialformen: 

Wie schon erwähnt, kann die Aufgabe gut als langfristige Hausaufgabe aufgegeben werden, womit die Schülerrinen und Schüler je nach Interesse in Einzel-, Partner- oder Gruppenarbeit die Aufgabe angehen können. Im Unterricht stehen eigentlich auch alle 3 Möglichkeiten des Einsatzes zur Verfügung. Die Partnerarbeit erscheint jedoch als optimale Sozialform. Gerade da es eine für Mathematik motivierende Aufgabe sein soll, erweckt die Einzelarbeit doch eher einen zu strengen und leistungskontrollierenden Anschein. Bei Gruppenarbeit läuft man Gefahr, dass die individuelle Anstrengung für die Lösung der Aufgabe zu kurz kommt. Die Partnerarbeit stellt hier eine optimale Mischung dar. Die Schülerinnen und Schüler können zusammen über die Aufgabe sprechen, ihre jeweiligen Ideen einbringen und sich gegenseitig helfen bzw. unterstützen.

Differenzierungsmöglichkeiten: 

Gerade für die oben erwähnte Partnerarbeit bietet sich an die Tandems aus eher leistungsstärkeren und -schwächeren Schülerinnen und Schüler zusammenzustellen. Dadurch kann sowohl beim leistungsstarken Schüler durch das Erklären der Lösung und das Eingehen auf die Schwierigkeiten des leistungsschwächeren Schülers als auch durch die Kommunikation über und die Überwindung dieser Schwierigkeiten seitens des schwächeren Schulers ein Lerneffekt auftreten.

Eine andere Differenzierung bietet sich an, indem man die Schüler dazu anhält sich einfachere Figuren auszudenken oder welche vorgibt, sodass sie den Sachverhalt erst auf einfacherer Basis lösen und dann auf das Nikolaushaus übertragen. Bei leistungsstärkeren Schülern könnte man als weiterführende Aufgabe zum Beispiel stellen, die Operationen zu vertauschen, um so eine maximales Ergebnis zu erreichen. Man kann auch die Rechenoperationen Minus und Geteilt hinzunehmen oder die Schüler sich neue Gebilde ausdenken lassen. Vielleicht finden sich Konstellationen, wo nicht immer das gleiche Ergebnis herauskommt. Die Freiheiten in der Variation der Aufgabe sind sehr umfangreich.


Die Aufgabe bietet sich natürlich gerade als Kontext in der Weihnachtszeit an. Somit kann sie zum Beispiel als Wochenhausaufgabe in der Adventszeit gestellt werden, wobei denjenigen mit der richtigen Lösung ein kleines Geschenk in Aussicht gestellt werden kann. Gerade in der Primarstufe stellt sie aber auch eine gute Übungsaufgabe für den Unterricht zum Umgang mit verschiedenen Rechenoperationen dar. Gerade der Umgang mit Punkt- und Strichrechnung kommt hier noch einmal zum Tragen und kann auch für Schülerinnen und Schüler höherer Klassen einen gewissen Wiederholungs- bzw. Übungseffekt haben.



Bearbeitet von: Matthias Schall, Peter Mahns & Ana Kuzle
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