Pentominos

Klasse Schulstufe Thema Themengebiet Schwierigkeit
5 Primarstufe Würfel Größen und Messen, Raum und Form *, **
Heuristsche Hilfsmittel Heuristische Prinzipien Heuristische Strategien
Informative Figur, Tabelle Invarianzprinzip Systematisches Probieren

Aufgabenstellung

Pentominos sind Figuren, die man aus fünf Quadraten legen kann. Die Quadrate müssen mindestens eine Seite gemeinsam haben.
 
a) Wieviele verschiedene Pentominos kannst du finden? (Gedrehte oder gespiegelte Pentominos werden nicht mehrfach gezählt. Ein Pentomino siehst du hier schon.)
 
b) Wie kannst du sicher sein, dass du sie alle gefunden hast?
 
c) Welches Pentomino hat den größten Umfang? Vermute zunächst und überlege dann, wie man das überprüfen könnte.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Quellenangabe:

Gebel, I., & Kuzle, A. (2016). MatheWelt. Heft 196. Das Schülerarbeitsheft. mathematik lehren. S.12. Aufgabe 11.


Lösungsvariante 1
 
a) Es gibt insgesamt genau 12 Pentominos.
 
b) Diese Aufgabe beinhaltet, alle zwölf Kombinationen der möglichen Anordnungen von fünf gleich großen Quadraten zu finden. Diese Anordnungen werden als Pentominos bezeichnet. Jeder Schüler bzw. jede Schülerin kann dabei eine eigene Strategie entwickeln, um auf alle Varianten zu kommen.
 
Eine Variante ähnelt der Strategie vom Finden der elf Würfelnetze, die aus manchen Pentominos entstehen können.
 
Dazu legt man zuerst alle fünf Quadrate waagerecht in einer Reihe vor sich hin. Somit ergibt sich das erste Pentomino.
 
1.
 
Im weiteren Schritt legt man nun vier Quadrate in einer Reihe vor sich hin. Das fünfte Quadrat wird nun an verschiedenen Positionen angelegt. Man kann das Quadrat einmal rechts oder links am ersten Quadrat der Reihe anlegen und auch am zweiten. Man muss dabei darauf achten, dass die deckungsgleichen Figuren ausgesondert werden müssen und nicht doppelt genommen werden. Durch dieses Verfahren entstehen zwei weitere Pentominos.
 
2.                                                                                                           3.
                                
 
Im nächsten Schritt legt man nur drei Quadrate als Reihe vor sich hin und legt die übrigen zwei Quadrate an verschiedenen Positionen an. Es entstehen dadurch acht verschiedene Kombinationen.
 
Es entsteht eine Art "T", wenn links und rechts vom ersten Quadrat jeweils ein Quadrat anlegt wird.
 
4.
 
Außerdem kann man ein "+" zusammensetzen, wenn man vom zweiten Quadrat jeweils rechts und links ein Quadrat anlegt.
 
5.
 
Des Weiteren kann man am ersten und letzten Quadrat der Reihe jeweils ein Quadrat rechts und links anlegen.
 
6.
 
Eine weitere Figur entsteht nach der gleichen Vorgehensweise, nur diesmal legt man beide Quadrate auf derselben Seite an, wodurch ein Art Tor entsteht.
 
7.
 
Ein weiteres Pentomino kann entdeckt werden, wenn man zwei Quadrate direkt nebeneinander an das erste Quadrat der Reihe legt. Es sieht so aus wie ein großes "L". Wenn man am ersten und zweiten Quadrat auf der gleichen Seite jeweils ein Quadrat anlegt, entsteht ein "P". Verschiebt man nur eins dieser zwei Quadrate auf die andere Seite, bildet sich ein zehntes Pentomino.
 
8.                                                                    9.                                                                        10.
                                 
 
Das letzte Pentomino, das man mit drei Quadraten in einer Reihe finden kann, ergibt sich, wenn man zwei Quadrate am ersten Quadrat der Reihe anlegt, wodurch aber nur eines der zwei Quadrate die Reihe berührt. Es entsteht dadurch eine Art "Z".
 
11.
 
Zum Entdecken des letzten existierenden Pentominos muss man zwei Quadrate in eine Reihe legen und die restlichen Quadrate so anordnen, sodass eine Art Treppe hervorgerufen wird.
 
12.
 

Mithilfe dieser Vorgehensweisen können die Schülerinnen und Schüler alle zwölf Pentominos für sich entdecken.
 
 
c) Bis auf das P-Pentomino (9) haben alle Pentominos einen Umfang von 12 Längenheiten, wenn davon ausgegangen wird, dass die Seite von einem Quadrat genau eine Längeneinheit beträgt.
Man kann nun alle Seiten zählen und in einer Tabelle vergleichen. Dabei kann man feststellen, dass sich der Umfang zwischen den Pentominos fast gar nicht unterscheidet. In der Tabelle kann man auf einen Blick erkennen, dass nur ein Pentomino einen anderen Umfang hat.
 
Nummer des Pentominos Umfang in LE
1 12
2 12
3 12
4 12
5 12
6 12
7 12
8 12
9 10
10 12
11 12
12 12
 
Das neunte Pentomino ist das einzige mit einem geringeren Umpfang.
 
 
 
Lösungsvariante 2
 
a) Es gibt insgesamt genau 12 Pentominos.
 
b) Eine weitere Variante zum Lösen dieser Aufgabe ist, alle Pentominos unsystematisch zu finden, das heißt durch einfaches Probieren, aber dann nach einem bestimmten System zu sortieren. Dabei kann es jedoch passieren, dass man einen Pentomino vielleicht vergisst bzw. lange nach dem letzten suchen muss. Viele Schülerinnen und Schüler gehen aber nicht sofort den systematischen Weg, sondern "legen einfach drauf los" und probieren verschiedene Kombinationen der gleich großen Quadrate aus. Die Lehrkraft könnte den Lernenden sogenannte "Klickis" geben. Das sind quadratische Figuren, die man zusammenstecken kann. Mithilfe dieser Klickis können die Schülerinnen und Schüler so lange knobeln und ausprobieren bis sie alle 12 Pentominos gefunden haben. Ihre gefundenen Pentominos können sie in einem Punkteraster festhalten, damit sie keins wiederholen und die deckungsgleichen aussondern können. Der Vorteil des Punkterasters ist, dass die Kinder die Figuren sofort frei Hand zeichnen können.
 
c) Diese Aufgabe kann auch rechnerisch gelöst werden.
Um ein Pentomino zu erstellen, verwendet ein Schüler bzw. eine Schülerin genau 5 gleich große Quadrate. Jedes Quadrat hat also einen Umfang von genau 4 Längeneinheiten (LE). Der Gesamtumfang von allen 5 Quadraten beträgt daher 4 LE x 5 = 20 LE. Nun braucht man nur noch die Anzahl der Seiten der Quadrate zählen, die aneinander grenzen und von dem Gesamtumfang von 20 LE subtrahieren. Dabei muss beachtet werden, dass jeweils 2 Seiten aneinander grenzen und diese für die Rechnung doppelt gezählt werden müssen, obwohl man beim Pentomino nur eine Seite sieht. Das alles kann in einer Tabelle zur besseren Übersicht eingetragen werden. Durch diese kurze Rechnung muss nicht der Umfang von jeder Figur genau ausgezählt oder gemessen werden. Das Zählen der angrenzenden Seiten nimmt nicht so viel Zeit in Anspruch.
 
Nummer des Pentominos Anzahl der angrenzenden
Seiten		 Tatsächlicher Umfang (20 LE - Anzahl der angrenzenden Seiten)
1 8 12
2 8 12
3 8 12
4 8 12
5 8 12
6 8 12
7 8 12
8 8 12
9 10 10
10 8 12
11 8 12
12 8 12
 

Auffällig dabei ist, dass außer das neunte Pentomino jedes Pentomino genau 8 angrenzende Seiten besitzt und somit nur das P-Pentomino einen anderen Umfang von 10 Längeneinheiten hat.


Orientiert man sich an den inhaltsbezogenen Kompetenzen im Rahmenlehrplan und vergleicht man diese mit den Anforderungen in der Aufgabe, dann lässt sich diese Aufgabe der fünften Klasse zuordnen. Die Schülerinnen und Schüler verfügen in der dritten bzw. vierten Klasse über notwendige Kenntnisse, verschiedene ebene Figuren zusammenzulegen und zusammenzusetzen. Sie wissen, welche Eigenschaften ein Quadrat hat und wie Würfelnetze aussehen müssen, damit sie daraus einen Würfel bauen können. Hinzu kommt, dass sie sich mit dem Begriff des Umfangs auskennen und diesen geeignet anwenden können. Außerdem haben sie sich bereits in der dritten bzw. vierten Klasse mit den Begrifflichkeiten "deckungsgleich" sowie "gedreht und gespiegelt" auseinandergesetzt und wissen, was diese bedeuten. (vgl. Abschnitt "Geförderte Kompetenzen")

Mithilfe dieser Aufgabe werden sowohl die inhaltsbezogenen Kompetenzbereiche "[L3] Raum und Form" und "[L2] Größen und Messen" als auch die prozessbezogenen Kompetenzbereiche "[K1] Mathematisch argumentieren" und "[K2] Probleme mathematisch lösen" bezüglich des brandenburgischen Rahmenlehrplans "Teil C. Mathematik. Jahrgangsstufen 1-10. 2015", der ab dem Schuljahr 2017/18 gültig ist (im Folgenden als RLP bezeichnet) erfasst.
 
 
Inhaltsbezogene Kompetenzformulierungen
 
Raum und Form:
  • Die Schülerinnen und Schüler können die fünf ebenen Quadrate zu einer Gesamtfigur (Pentomino) zusammensetzen.  
"Die Schülerinnen und Schüler können Modelle ausgewählter Körper herstellen und weitere ebene geometrische Figuren zeichnen." (RLP, Raum und Form, Geometrische Objekte darstellen, Niveaustufe C, S.26)
 
  • Die Schülerinnen und Schüler können ebenen Figuren (Pentominos) frei Hand und mithilfe von Zeichengeräten (Lineal) überwiegend auf einem Rasterpapier festhalten. (ebd.)
 
  • Die Schülerinnen und Schüler können die vorhandenen Pentominos mithilfe eines sechsten Quadrates zu einem Würfelnetz ergänzen. (ebd.)
 
Größen und Messen:
  • Die Schülerinnen und Schüler können den Umfang der Pentominos durch Auszählen von Einheitslängen bestimmen und erkennen den Umfang einer Figur als Länge.
"Die Schülerinnen und Schüler können die verschiedenen Größen und ihre Einheiten nutzen" (RLP, Größen und Messen, Vorstellungen zu Größen und ihren Einheiten nutzen, S.24)

Begründung:
Die Schülerinnen und Schüler müssen bei diesen Teilaufgaben mit ebenen Figuren (Quadraten) arbeiten und diese zu größeren Figuren (Pentominos) zusammensetzen. Um ihre Ergebnisse festzuhalten, zeichnen sie ihre gefundenen Figuren in ein Punkteraster ein. Des Weiteren können leistungsstarke Schülerinnen und Schüler die Pentominos herausfinden, die sich durch Hinzufügen eines Quadrates zu einem Würfelnetz ergänzen. Beim Lösen der dritten Teilaufgabe müssen die Kinder wissen, was ein Umfang ist und wie man diesen berechnet.
 
 
 
Prozessbezogene Kompetenzen
 
Mathematisch kommunizieren
  • Die Schülerinnen und Schüler können Zusammenhänge zwischen den Quadraten und Strukturen der Pentominos erkennen und weitere Pentominos finden.
"Die Schülerinnen und Schüler können Zusammenhänge und Strukturen erkennen" (RLP, Mathematisch kommunizieren, S.19)
 
Probleme mathematisch lösen
  • Die Schülerinnen und Schüler können die 12 Pentominos finden und somit die Aufgabe vollständig erfüllen, ohne eine gewisse Routinestrategie anzuwenden.
"Die Schülerinnen und Schüler können Aufgaben bearbeiten, zu denen sie noch keine Routinestrategie haben (sich zu helfen wissen)" (RLP, Probleme mathematisch lösen, S.19)
 
  • Die Schülerinnen und Schüler können ihr Vorwissen zu Quadraten aktivieren und bei der Bearbeitung dieser Aufgabe anwenden.
"Die Schülerinnen und Schüler können mathematische Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten bei der Bearbeitung von Problemen anwenden" (ebd.)
 
Begründung:
Die Schülerinnen und Schüler können eine Systematik beim Finden der 12 Pentominos entdecken und diese anwenden, um die restlichen Pentominos zu finden. Dabei erweitern sie ihre geometrischen Vorstellungen, weil sie aus den gegebenen ebenen Figuren (Quadrate) weitere ebene Figuren produzieren.

Heuristische Hilfsmittel: 
  • Bei der Lösung der Pentomino-Aufgabe werden Skizzen verwendet, die jeweils schrittweise verändert werden, um alle Pentominos zu ordnen und um sicherzugehen, dass keines vergessen wurde. Somit handelt es sich bei diesen Skizzen um informative Figuren.
 
  • Außerdem werden für die Lösungen Tabellen hinzugezogen, in denen der Umpfang der Pentominos klarer erkannt und herausgelesen werden kann.
 
 
Heuristische Strategien: 
  • Eine relevante heuristische Strategie für die Lösung dieser Aufgabe ist das systematische Probieren, so werden die Skizzen systematisch verändert, um letztenlich alle Pentominos zu finden.
 
 
 
Heuristische Prinzipien: 
  • Beim Finden aller Pentominos bleibt die Anzahl der Quadrate, aus denen diese zusammengesetzt sind konstant. Außerdem wird von der waagerechten Anordnung der Quadrate ausgegangen und diese wird in jedem Schritt verändert. Dabei verändert sich die Position von mindestens zwei Quadraten jeweils nicht. Somit ist das Invarianzprinzip für die Lösung von Bedeutung.

Die Pentomino-Aufgabe hat nach Chohors-Fresenborg et al bezüglich der ersten Lösungsvariante einen Schwierigkeitsgrad von * (2 erreichte Punkte) und bezüglich des zweiten Lösungswegs mit größerem Rechenanteil einen Schwierigkeitsgrad von ** (mit ingesamt 3 erreichten Punkten).
 
 
Sprachlogische Komplexität: 
Die Sprachlogische Komplexität der Aufgabe entspricht der Stufe 1, da die Reihenfolge der Sätze keine Hinweise auf die Schritte bei der mathematischen Bearbeitung gibt. Es treten aber sprachliche Rückbezüge auf, so beziehen sich die Aufgabenteile b) und c) auf die in Teilaufgabe a) gefundene Lösung.
 
 
Kognitive Komplexität: 
Beim Finden aller Pentominos muss die in der Aufgabenstellung gegebene Nebenbedingung berrücksichtigt werden, dass eine solche Figur nur aus fünf Quadraten bestehen darf, die mindestens eine Seite gemeinsam haben. Die Zahl an Denkvorgängen hält sich in Grenzen und diese können nacheinander und parallel abgearbeitet werden. So muss beispielsweise nebenbei berücksichtigt werden, dass gedrehte und gespiegelte Pentominos nicht doppelt gezählt werden dürfen. Demzufolge lässt sich auch die Kognitive Komplexität auf Stufe 1 einordnen.
 
 
Formalisierung von Wissen: 
Die Formalisierung von Wissen lässt sich auf Stufe 0 ansiedeln, denn Symbolisierungen bei der Lösung sind lediglich in tabellarischer, graphischer und bezüglich der Lösungsvariante 2 auch in rechnerischer Form zu erstellen. Es müssen aber bei beiden Lösungswegen keine Darstellungskontexte wie beispielsweise Funktionsterme aufgestellt werden.
 
 
Formelhandhabung: 
Bei der ersten Lösung sind keine algebraischen Operationen erforderlich. Daher lässt sich die Pentomino-Aufgabe bezüglich dieses Lösungsweges auf Stufe 0 einordnen. Beim zweiten Lösungsweg wird in Aufgabenteil c) der Gesamtumfang von allen fünf Quadraten berechnet und die Anzahl der aneinandergrenzenden Seiten von diesem subtrahiert. Somit sind algebraische Operationen erforderlich - wenn auch in einem sehr überschaubaren Maße. Die Formelhandhabung entspricht demnach bezüglich des zweiten Lösungsweges der Stufe 1.
 
 
Stufenzuordnung: 
Formalisierung von Wissen
Stufe 0
Formelhandhabung
Stufe 0
Stufe 1
Kognitive Komplexität
Stufe 1
Sprachlogische Komplexität
Stufe 1

Hilfestellungen: 
Die wesentliche problematische Stelle bei dieser Aufgabe ist vermutlich der Aufgabenteil b), also zu begründen, dass es keine weiteren Pentonimos gibt. Treten hier Schwierigkeiten auf, können folgende Hilfestellungen gegeben werden:
 
Allgemein-strategische Hilfen Inhaltsorientierte strategische Hilfen Inhaltliche Hilfen
Nutze Skizzen. Finde alle Pentominos durch systematisches Probieren. Gehe von einem Pentomino aus und verändere dieses systematisch.
Was musst du beim Finden aller Pentominos berücksichtigen? Achte darauf, was in der Aufgabenstellung vorgegeben ist. Versuche systematisch vorzugehen! Wie kannst du das Pentomino, in dem alle fünf Quadrate waagerecht nebeneinander angeordnet sind, systematisch verändern?
Falls vorher die Würfelnetze im Unterricht thematisiert worden sind:
Wie sind wir beim Suchen der 11 Würfelnetze vorgegangen?
Gibt es Objekte/Größen die konstant bleiben? Halte bestimmte Quadrate fest und verändere die Position bestimmter Quadrate.
 
 
Sozialformen: 
  • Einzelarbeit
 
 
Differenzierungsmöglichkeiten: 
Für die leistungsschwächeren Schülerinnen und Schüler kann die Aufgabe wie folgt abgewandelt werden:
  • die Lehrkraft kann ein systematisches Vorgehen vorgeben, z.B. 3 oder 4 Quadrate in einer Reihe, wodurch die Lernenden diese Aufgabe systematisch lösen können und nicht willkürlich.
 
  • Eine weitere Variante wäre der beschriebene Lösungsweg aus Aufgabe 2. Die Schülerinnen und Schüler erhalten 5 gleich große quadratische Klickis, aus denen sie dann versuchen, alle Pentominos zu finden, indem sie die verschiedenen Kombination mithilfe der Klickis zusammen stecken.
 
 
Für leistungsstarke Kinder kann die Lehrkraft diese Aufgabe erweitern, sodass die Schülerinnen und Schüler die Pentominos finden müssen, aus denen man durch Anlegen eines weiteren sechsten Quadrates ein Würfelnetz entstehen lässt.

Diese Aufgabe eignet sich als Ausstieg und als Ergebnissicherung zum Thema "Würfel". Das Lehrziel ist es, den Schülerinnen und Schülern ein entdeckendes Lernen zu ermöglichen. Durch das selbstständige Suchen der zwölf Pentominos soll die Problemlösekompetenz der Kinder gefördert werden. Man kann die Pentominos für weitere Aufgaben nutzen. Jeder Schüler bzw. jede Schülerin kann sich nach dem Finden der 12 Pentominos in der nächsten Stunde einen eigenen Satz Pentominos herstellen. Mithilfe dieses Satzes können dann die Schülerinnen und Schüler weitere Aufgaben lösen. Sie können zum Beispiel größere zusammengesetzte Figuren mit den Pentominos legen bzw. nachlegen oder sich auch eigene Figuren ausdenken, die sie dann in einem Punkteraster festhalten können. Im Anschluss daran können die Lernenden dann untereinander in der Klasse über ihre Ergebnisse kommunizieren und ihren Mitschülerinnen und -schülern ihre eigenen Figuren zum Nachlegen geben.


Bearbeitet von: Leo Oberschmidt (überarbeitet von Marisa Pfläging)
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