Lösungsvariante 1

 
a) Welche Zahlen kann man in die leeren Kreise eintragen, damit die Summe der drei Zahlen auf jeder Seite des

    Dreiecks (Seitensumme) gleich groß ist?

Der nachfolgende Lösungsweg orientiert sich an den Phasen des Problemlösens nach PÓLYA.

 

Phase 1 „Verstehen der Aufgabe“:
Gegeben sind die Zahlen 3, 5 und 12. Diese sind jeweils in der Mitte einer Dreiecksseite notiert und sagen daher noch nichts über die Summe einer Dreiecksseite aus. Von jeder Dreiecksseite kennen wir also genau eine Zahl und somit einen von drei Summenanden, welche addiert die Seitensumme ergeben. Darüber hinaus gibt die Aufgabenstellung (das Ziel) vor, dass die Seitensummen des Dreiecks gleich groß sein sollen.

Phase 2 „Ausdenken eines Plans“:
Die gegebene Aufgabe wird zunächst strukturiert, um inhaltliche Zusammenhänge deutlich zu machen. Wir wissen bereits, dass jeweils eine Zahl in der Mitte einer Dreiecksseite gegeben ist und zwei Zahlen einer Dreiecksseite unbekannt sind. Man stelle sich nun die Frage, wie sich das Eintragen einer zunächst beliebigen Zahl, in einen der noch zwei leeren Kreise auf einer Seite des Dreiecks, auswirkt. Es ist festzustellen, dass das Hinzufügen einer Zahl in ein freies Feld nun in die Berechnung von zwei Dreiecksseiten einfließt, denn je zwei Seiten des Dreiecks haben eine Ecke gemeinsam. Letztlich werden durch die Wahl einer Eckzahl auch die beiden übrig bleibenden Lücken beeinflusst, da wie eben erwähnt eine Ecke zu zwei Seiten des Dreiecks gehört und damit das Ergebnis von den zwei noch offenen Ecken beeinflusst. Wir legen eine Tabelle an, welche die Summen der drei Dreicksseiten in Abhängigkeit der ausgewählten Zahl (die wir in die Spitze des Dreiecks einsetzen) darstellt. Anschließend können wir zunächst mithilfe der heuristischen Strategie des systematischen Probierens die zwei fehlenden Zahlen bestimmen, wobei gegebenenfalls nachjustiert werden muss.

Phase 3 „Ausführen des Plans“:
Wir wählen für die Spitze des Dreiecks eine beliebige natürliche Zahl aus, hier die Zahl 7.

Eingesetzte Zahl	Bisherige Seitensumme, bei der die Zahl 3 gegeben war	Bisherige Seitensumme, bei der die Zahl 12 gegeben war	Bisherige Seitensumme, bei der die Zahl 5 gegeben war
\(7\)	\(7+3=10\)	\(7+12=19\)	\(5\)

Die Addition der Werte jeder Dreiecksseite soll in der Summe 40 betragen. Da wir jeweils eine Zahl einer Seite kennen, können wir über die Differenz der gegebenen Zahl und 40 berechnen wie groß die zwei fehlenden Zahlen auf einer Seite des Dreiecks sein müssen. Für die Seite, auf der die Zahl 3 vorgegebenen war, müssen die zwei übrigen Zahlen zusammen also 37 ergeben. Für die Seite, bei der die Zahl 12 bekannt war, müssen sich demnach die zwei unbekannten Zahlen auf 28 addieren und schließlich folgt für die untere Seite des Dreiecks eine Summe von 35 der zwei fehlenden Zahlen. Wir beginnen nun mit der Suche nach zwei natürlichen Zahlen, die zusammen 28 ergeben. Da beide Zahlen in die Berechnung der zwei anderen fehlenden Seitensummen eingehen, und diese mit 35 und 37 ähnlich groß sind, werden solche Zahlen gesucht, die möglichst nah beieinander liegen und sich auf 28 aufsummieren. Beachtet man zudem, dass durch die Wahl der zwei Zahlen nur noch ein Kreis übrig bleibt, der mit der einen Zahl dann 35 und mit der anderen 37 ergibt, sollten die zwei gewählten Zahlen einen Abstand von 2 aufweisen. Somit fällt die Wahl auf die Zahlen 13 und 15. Da die linke Seitensumme bisher kleiner ist als die untere muss für den oberen Kreis der größere Wert 15 und für den unteren rechten Kreis der Wert 13 eingesetzt werden. Dann folgt für unten links der Wert 22. Alle Seitensummen betragen nun 40, womit eine Lösung für das gesuchte Zahlengitter gefunden wurde.

                                                                                     Abb. 1.3: Lösung des Zahlendreiecks, wenn die

                                                                                                     Seitensumme 40 betragen soll

 

 

 

Lösungsvariante 2

 
a) Welche Zahlen kann man in die leeren Kreise eintragen, damit die Summe der drei Zahlen auf jeder Seite des

    Dreiecks (Seitensumme) gleich groß ist? 

Von jeder Dreiecksseite ist eine Zahl bekannt und zwei unbekannt. Zudem wissen wir, dass die Summe der drei Zahlen auf allen drei Seiten des Dreiecks gleich groß sein soll. Wir können also folgende noch lückenhafte Rechnungen aufstellen:

\(\blacksquare +3+\blacklozenge =\bigstar \) \(\blacklozenge +5+\spadesuit =\bigstar \) \(\blacksquare +12+\spadesuit =\bigstar \)

 

Aus der gestellten Bedingung, dass alle Seitensummen den gleichen Wert liefern sollen, folgt das gleiche Symbol (\(\bigstar \) ) als Ergebnis der Additionsaufgaben. Desweiteren geht eine Ecke des Dreiecks in zwei Rechnungen ein, daher werden die Symbole\(\blacksquare \), \(\blacklozenge \), \(\spadesuit \) in je zwei unterschiedlichen Rechnungen verwendet (\(\blacksquare \) repräsentiert also die Spitze des Dreiecks, \(\blacklozenge \) repräsentiert den unteren linken Kreis und \(\spadesuit \) den Kreis unten rechts). Anhand der Feststellung, dass alle drei Rechnungen je eine feste Zahl enthalten, die sich von den anderen zwei Zahlen unterscheidet, aber dennoch dieselbe Seitensumme gebildet wird, kann gefolgert werden, dass die Zahlen 3, 5, 12 eine Lösung für die Symbole\(\blacksquare \), \(\blacklozenge \), \(\spadesuit \) darstellen. Wir stellen also fest, dass die Zahlen 3, 5, 12 summiert eine Lösung für das Symbol \(\bigstar \) repräsentieren und da wir die Zahlen 3, 5, 12 ebenso als Lösung für die Symbole \(\blacksquare \), \(\blacklozenge \), \(\spadesuit \) ansehen, summieren sich auch diese auf \(\bigstar \) . Welche der Zahlen 3, 5, 12 nun welchem der Symbole \(\blacksquare \), \(\blacklozenge \), \(\spadesuit \)  zugeordnet wird, ist den anfangs aufgestellten Rechnungen zu entnehmen. Dort sind immer zwei von drei Symbolen zu finden, daher stellt die Zahl das fehlende Symbol dar.

 

\(\blacksquare +3+\blacklozenge =\bigstar \): Es fehlt das Symbol \(\spadesuit \), somit ist diesem Symbol die Zahl 3 zuzuordnen. \(\blacklozenge +5+\spadesuit =\bigstar \): Es fehlt das Symbol \(\blacksquare \), somit ist diesem Symbol die Zahl 5 zuzuordnen. \(\blacksquare +12+\spadesuit =\bigstar \): Es fehlt das Symbol \(\blacklozenge \), somit ist diesem Symbol die Zahl 12 zuzuordnen.

 

 

                                                 Abb.2.1: Lösung des Zahlendreiecks
 

 

b) Gibt es neben deiner Lösung noch weitere Lösungen? Wie viele verschiedene Lösungen gibt es?
 

In Teil a) haben wir eine Lösung gefunden, indem erkannt wurde, dass die Zahlen 3, 5, 12 den Symbolen \(\spadesuit \), \(\blacksquare \), \(\blacklozenge \) eindeutig zugeordnet werden können. Bei der Suche nach einer weiteren Lösung muss von dieser Verteilung Abstand genommen werden. Der ersten Zuweisung können wir jedoch bestimmte Eigenschaften entnehmen, nämlich das Verhältnis der Zahlen zueinander. Die Zahl unten links ist am größten und ist im Vergleich zur Zahl, welche in die Spitze des Dreiecks eingetragen wird, um 7 größer. Die Zahl unten rechts ist um 2 kleiner als die Zahl in der Spitze und damit um 9 kleiner als die Zahl unten links. Wollen wir nun eine weitere Lösung ausmachen, müssen wir die Verhältnisse beibehalten. Somit können wir die erste Auflösung der Symbole übernehmen und gleichmäßig vergrößern bzw. verkleinern. Damit ist gleichsam die Frage beantwortet, wie viele Lösungen es gibt. Die kleinste Lösung des Zahlendreiecks tritt ein, wenn für die Zahl unten rechts der Wert 0 gewählt wird. Nach oben weisen die natürlichen Zahlen keinerlei Grenzen auf, weswegen unendlich viele Lösungen zu dem Zahlenrätsel existieren.
 

                                                                                        Abb. 2.2: Lösung des Zahlendreiecks, wenn die

                                                                                                        Seitensumme 40 betragen soll