Quaderknetaufgabe

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Klasse Schulstufe Thema Themengebiet Schwierigkeit
6/ 7 Primarstufe, Sekundarstufe I Volumen von Quadern und Würfeln bestimmen Größen und Messen **
Heuristsche Hilfsmittel Heuristische Prinzipien Heuristische Strategien
Tabelle, Gleichungen Invarianzprinzip Vorwärtsarbeiten, Rückwärtsarbeiten, Systematisches Probieren

Aufgabenstellung

Zwei unterschiedlich große Würfel aus Knete (Kantenlänge 2 cm und 4 cm) sollen zu einem Quader zusammengeknetet werden, der nur ganzzahlige Kantenlängen hat.

Der neue Quader soll nur ganzzahlige Kantenlängen haben. Wie lang können die Kantenlängen des neuen Quaders sein?
Gibt es mehrere Möglichkeiten? Wenn ja, welche und wie viele? Und wann hast du alle gefunden?

 

Quellenangabe:

madaba.de


Lösungsvariante 1:

  • Bei einer rechnerischen Lösung gilt es zunächst, das Volumen des neuen Quaders auszurechnen, welches der Summe aus den Volumina der Ausgangswürfel entspricht.

\(V_{W1}=(2\;cm)^3 \\ V_{W1}=8 \;cm^3 \\ \\ W_{W2}=(4\; cm)^3 \\ V_{W2}=64 \;cm^3 \\ \\ V_Q=V_{W1}+V_{W2}\\ V_Q=8\; cm^3+63 \;cm^3 \\ V_Q=72\; cm^3\)

  • Das Volumen von 72 cm3 des neuen Quaders errechnet sich aus dem Produkt von dessen Länge, Breite und Höhe. Die Kantenlängen sollen ganzzahlig sein. Somit ergibt sich, dass als Kantenlängen nur Teiler von 72 in Frage kommen.

    Primfaktorzerlegung von 72: 72=2∙2∙2∙3∙3

    Teiler von 72: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72

  • Die Teiler von 72 müssen so kombiniert werden, dass ihr Produkt 72 ergibt. Dies kann aber muss man nicht in Formelschreibweise notieren. So kann man systematisch alle Kombinationsmöglichkeiten aufschreiben, indem man für jeden Teiler aufschreibt, mit welchen Teilerkombinationen im Produkt 72 raus kommt.  Es bietet sich an, die Möglichkeiten systematisch in einer Tabelle zu notieren.

Systematisch wäre es zum Beispiel, mit dem größten Teiler zu beginnen. Die weiteren Faktoren sind kleiner als der erste Faktor.  Dann macht man der Reihe nach mit den nächstkleineren Teilern weiter. Wird bei einem Teiler als weiterer Faktor eine Zahl benötigt, die größer ist als der erste Faktor, dann wurde diese Faktorenkombination bereits weiter oben aufgeschrieben und stellt keine neue Möglichkeit dar.

Kombinationsmöglichkeit Faktor 1 Faktor 2 Faktor 3
1 72 1 1
2 36 2 1
3 24 3 1
4 18 4 1
5 18 2 2
6 12 6 1
7 12 3 2
8 9 8 1
9 9 4 2
10 8 3 3
11 6 6 2
12 6 4 3

Alle Kombinationen mit kleineren Teilern als 6 an erster Stelle als Faktor wurden bereits schon weiter vorne aufgeschrieben, da diese Faktoren, die größer als 4 sind, enthalten.

  • Zuletzt werden die verschiedenen Produkte gezählt: Es gibt 12 verschiedene Möglichkeiten, den Quader mit ganzzahligen Kantenlängen zu kneten.

Lösungsvariante 2:

  • Alternativ könnte man bei einem systematischen Aufschreiben aller Kombinationsmöglichkeiten auch mit dem kleinsten Teiler der 72 beginnen, also mit der 1. Die weiteren Faktoren sind dann größer als der erste Faktor. Man macht in diesem Fall der Reihe nach immer mit dem nächstgrößeren passenden Faktor weiter. Wird bei einer Kombinationsmöglichkeit ein Teiler benötigt, der kleiner ist als der erste Faktor (bzw. der zweite Faktor), dann wurde diese Faktorenkombination bereits weiter oben aufgeschrieben und stellt keine neue Möglichkeit dar.
Kombinationsmöglichkeit Faktor 1 Faktor 2 Faktor 3 Produkt
1 1 1 72 72
2 1 2 36 72
3 1 3 24 72
4 1 4 18 72
5 2 2 18 72
6 1 6 12 72
7 2 3 12 72
8 1 8 9 72
9 2 4 9 72
10 3 3 8 72
11 2 6 6 72
12 3 4 6 72

Alle Kombinationen mit größeren Teilern als 3 an erster Stelle als Faktor wurden bereits schon weiter vorne aufgeschrieben, da diese Faktoren, die kleiner als 4 sind, enthalten.

  • Zuletzt werden die verschiedenen Produkte gezählt: Es gibt 12 verschiedene Möglichkeiten, den Quader mit ganzzahligen Kantenlängen zu kneten.

Lösungsvariante 3:

Theoretisch wäre es möglich, diese Aufgabe durch echtes Kneten zu lösen. Man könnte zunächst die angegebenen Würfel herstellen, diese dann vermengen und durch Probieren die Anzahl der Möglichkeiten herausfinden. So wäre es nicht zwingend notwendig, die Volumina auszurechnen. In der Praxis kann diese Arbeit aufgrund des Zeitaufwands jedoch nicht sinnvoll sein. Alternativ könnte man Holzklötze oder Steckwürfel zur Verfügung stellen. Damit wäre eine enaktive Bearbeitung der Aufgabe möglich, die eine Findung der Lösung erleichtert.


Zur Lösung der Aufgabe müssen alle Teiler der Zahl 28 gefunden werden. Nur wenn alle Teiler gefunden werden, findet man auch alle möglichen Kantenlängen für die Quader. Die Kompetenz gehört zum Kompetenzbereich „Zahlen und Operationen“, zum Bereich Zahlbeziehungen beschreiben und ist der Kompetenzstufe C zuzuordnen (vgl. Rahmenlehrplan, S. 36).

Wenn die Schülerinnen und Schülern eine informative Figur zur Lösung der Aufgabe nutzen, dann müssen sie die entstehenden Quader skizzieren (Lösung Aufgabe 2 a). Die Kompetenz ist dem Kompetenzbereich „Raum und Form“ (Geometrische Objekte darstellen) auf der Kompetenzstufe D zuzuordnen (Rahmenlehrplan 2015, S. 48).

Die Schülerinnen und Schüler können bei der Bestimmung des Volumens des größeren der beiden Würfel diesen mit dem kleineren der beiden Würfel ausfüllen (Lösung Aufgabe 2 b) und damit den kleineren der beiden Würfel wie einen  Einheitswürfel verwenden. Die Kompetenz ist den Kompetenzbereich „Größen und Messen“  (Größenangaben bestimmen) auf der Kompetenzstufe D zuzuordnen  (Rahmenlehrplan 2015, S. 42).

Des Weiteren werden Kompetenzen zu prozessbezogenen Kompetenzbereichen "Probleme mathematisch lösen" und "Mathematisch kommunizieren" gefördert.

Die Schülerinnen und Schüler werden in der Aufgabenstellung dazu ermutigt zu erklären wann sie alle möglichen neuen Quader gefunden haben. Damit müssen sie ihre eigene Lösung entsprechend begründen. Die Kompetenz wäre im Rahmenlehrplan dem Kompetenzbereich „Mathematisch kommunizieren“ zuzuordnen (vgl. Rahmenlehrplan 2015, S. 21).                         

Die Schülerinnen und Schüler verwenden heuristische Hilfsmittel (informative Figuren, Gleichung oder Tabellen), um das Problem zu visualisieren oder zu strukturieren. Die Kompetenz  lässt sich dem Kompetenzbereich „Probleme mathematisch lösen“ im Rahmenplan zuordnen (vgl. Rahmenlehrplan 2015, S. 19).

Die Schülerinnen und Schüler wenden ihre mathematischen Kenntnisse zur Volumenbestimmung von Quadern und Teilbarkeitsregeln zur Bearbeitung von Problemen an. Die Schülerinnen und Schüler sind in der Lage ihre mathematischen Kenntnisse, die sie bereits zur Volumenbestimmung und zu den Teilbarkeitsregeln von Zahlen haben, situationsgerecht anzuwenden und so das vorliegende Problem zu lösen. Die Kompetenz gehört Kompetenzbereich „Probleme mathematisch lösen“ (vgl. Rahmenlehrplan 2015, S. 19).


Heuristische Hilfsmittel: 
  • In der oben beschriebenen Bearbeitung wurde zum Auffinden der Lösungen zunächst eine Gleichung verwendet, die den Zusammenhang zwischen dem Volumen des neuen Quaders und dessen Kantenlängen verdeutlicht.
  • Weitaus wichtiger bei der Aufgabenbearbeitung ist das Erstellen einer Tabelle bzw. das Ordnen der Überlegungen im Sinne einer Tabelle. Die SuS müssen sich überlegen, welche Daten/Angaben sie in die Tabelle eintragen wollen und wie (Zeilen, Spalten) sie diese sinnvoll anordnen. Gelingt dies, wird die Aufgabenbearbeitung deutlich zielgerichteter und insgesamt leichter lösbar.
Heuristische Strategien: 
  • Statt einfach drauf los zu rechnen, kann systematisches Probieren hier schnell zur Lösung der Aufgabe führen. Im gewünschten Falle gehen die Schüler systematisch alle Kombinationsmöglichkeiten der Faktoren, die 72 ergeben, durch. Das heißt sie starten wie oben beschrieben zunächst entweder mit dem kleinsten (1) oder dem größten (72) Teiler von 72, suchen dazu die weiteren nötigen Faktoren und gehen der Reihe nach, also der Größe geordnet nach, systematisch vor.  So ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie Lösungen vergessen, am geringsten.
  • Darüber hinaus das Verwenden von Vor- und/oder Rückwärtsarbeiten ist denkbar.
Heuristische Prinzipien: 
  • In der Lösung obiger Aufgabe findet das Invarianzprinzip Anwendung. Während das Volumen des Quaders stets gleich bleibt, ändern sich von Quader zu Quader die Kantenlängen.

Da dieser Aufgabe 4 Punkten vergeben wurden, wurde diese Aufgabe mit ** gekennzeichnet. Hier die Analyse:

Sprachlogische Komplexität: 

Die Aufgabenstellung besteht aus mehreren Haupt- und Nebensätzen (insgesamt zwei Sätze mit einem einfachen Nebensatz). Dabei werden nähere Informationen zur Kantenlänge der Würfel in einer Klammer gegeben. Im letzten Satz („Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür?“) findet sich ein einfacher sprachlicher Rückbezug. Insgesamt entspricht die Reihenfolge der Satzteile nicht unmittelbar den Schritten der mathematischen Bearbeitung, da der Lösungsweg nicht vorgegeben wird. Eine Vorstellung von dem, was in der Aufgabe gefordert ist, ist jedoch relativ leicht verständlich. Aufgrund dieser Beobachtungen könnte man die Stufe 1 hinsichtlich der sprachlogischen Komplexität zuordnen.

Kognitive Komplexität: 

Zum effektiven Auffinden aller Faktorenkombinationen, müssen einfache Denkschritte nacheinander (und parallel) ausgeführt werden, die von systematischen, strategischen, heuristischen und metakognitiven Aktivitäten begleitet werden. Vor allem der Aspekt, dass die Aufgabe sinnvoller, zeitsparender und zielgerichteter gelöst werden kann, wenn Denkvorgänge vor der Durchführung der einzelnen Schritte ausgewählt werden, führen dazu, dass diese Aufgabe hinsichtlich der kognitiven Komplexität der Stufe 2 zuzuordnen ist.

Formalisierung von Wissen: 

Das Merkmal wird zum Lösen der Aufgabe nicht benötigt. Somit ist die Aufgabe hinsichtlich der Formalisierung von Wissen der Stufe 0 zuzuordnen.

Formelhandhabung: 

Es sind lediglich einfache algebraische Operationen, nämlich einfache Multiplikationen, Additionen und gegebenenfalls Divisionen, in einem überschaubaren Maß auszuführen. Diese können leicht kontrolliert und gesteuert werden. Die Formelhandhabung, also die Fähigkeit eines Schülers im Sinne eines Taschenrechners zu arbeiten stellt keine große Herausforderung für die Schüler in dieser Aufgabe dar, wird jedoch zum Lösen der Aufgabe benötigt. Hinsichtlich der Formelhandhabung sollte dieser Aufgabe die Stufe 1 zugeordnet werden.

Stufenzuordnung: 
Formalisierung von Wissen
Stufe 0
Formelhandhabung
Stufe 1
Kognitive Komplexität
Stufe 2
Sprachlogische Komplexität
Stufe 1

Hilfestellungen: 
Die erste Hürde beim Bearbeiten einer Aufgabe ist immer das Verstehen der Aufgabenstellung. So könnte SuS nicht auf Anhieb klar sein, wie sie die verschiedenen ganzzahligen Lösungen herausbekommen, da sie unter Umständen nicht auf den Schritt von den anschaulichen Knetmassen zu Volumenberechnungen an Würfeln bzw. Quadern kommen. In diesem Falle könnte man z.B. folgende Hilfestellungen geben:
 
Allgemein-strategische Hilfen Inhaltsorientierte-strategische Hilfen Inhaltliche Hilfen
Veranschauliche dir die Situation. Gibt es Größen in der Aufgabe, die gleich bleiben? Was bleibt im Vergleich der Ausgangswürfel mit den neuen Quadern gleich?
Wie sieht die Anfangssituation aus?   Was weißt du über die Volumina von Würfeln/Quadern? Wie berechnet man diese?
Was ist zu tun? Was ist gegeben? Was ist gesucht?   Wie hängt die Kantenlänge von Quadern mit dem Volumen zusammen?
 
Wenn die Schüler dabei sind, die verschiedenen Faktorkombinationen zu notieren, könnte es sein, dass sie entweder in vollkommen zufälliger Reihenfolge passende Kombinationen aufschreiben oder zwar eine Strategie beim Aufschreiben haben, aber diese nicht zielführend ist bzw. nicht konsequent eingehalten wird. Vermutlich taucht im Unterricht irgendwann die Frage auf, wie viele Möglichkeiten es denn insgesamt gibt. Mit großer Wahrscheinlichkeit werden vielen Schülern zunächst zumindest einige Lösungen fehlen. Es geht also darum sie möglichst dazu zu bekommen, dass sie mit einer geeigneten Strategie systematisch Probieren. Das könnten sie in Form einer Tabelle machen. Folgende Hilfestellungen sind u.a. denkbar:
 
Allgemein-strategische Hilfen Inhaltsorientierte-strategische Hilfen Gibt es eine Möglichkeit das Probieren so zu systematisieren, dass das Finden aller Lösungen leichter wird?
Fällt dir eine Strategie ein, mit der du an die Lösung der Aufgabe herangehen könntest? Kann (systematisches) Probieren zur Lösung der Aufgabe führen? Hilft es, wenn du zunächst mit dem kleinsten/größten Teiler der 72 startest und dann systematisch die anderen Faktoren, die für das Produkt nötig sind, der Größe nach hinzu fügst?
Fällt dir eine Darstellungsform ein, mit der du deine Lösungen übersichtlicher gestalten kannst? Hilft es dir, wenn du eine Tabelle benutzt/anfertigst?  
Sozialformen: 

Es handelt sich um eine kognitiv schwierige Aufgabe, da es darum geht, ALLE Möglichkeiten zu finden, wie man mit drei ganzen Zahlen das Produkt 72 bildet. Vor allem die Ich-Du-Wir-Methode erscheint sinnvoll. Zunächst kann so individuell eine intensive Auseinandersetzung mit der Aufgabe stattfinden, dann im Partneraustausch die Ideen besprochen und verwirklicht werden. Schließlich können sich die Schüler in kleineren Gruppen besprechen und die Lösungen anschließend vorstellen.

Bei Einzelnarbeit besteht die Gefahr, dass vor allem schwächere Schüler keine zielführenden Strategien verwenden, um alle Lösungen zu finden, sondern z.B. nur beispielhafte Lösungen finden. Bei reiner Gruppenarbeit besteht die Gefahr, dass einzelne vor allem stärkere Schüler ihre Lösungsstrategie Mitschülern präsentieren beziehungsweise die Bearbeitung vornehmen und diese gar nicht erst selbst über Strategien nachdenken bzw. Lösungen suchen.

Eine Besprechung der Aufgabe im Plenum ist sinnvoll,  damit alle Schüler die Gelegenheit haben, das systematische Probieren als sinnvolle Strategie und Tabellen als Hilfsmittel zu erkennen bzw. zu schätzen.

Statt die Aufgabe im Unterricht für alle Schüler zu verwenden, könnte man die Aufgabe auch leistungsstärkeren Schülern als zusätzliche Herausforderung anbieten. Sie könnten sie, falls sie im Unterricht schneller als andere fertig wären, zusätzlich bearbeiten oder auch als Zusatzhausaufgabe erledigen.

Differenzierungsmöglichkeiten: 

Die Aufgabenstellung an sich schon eine gewisse Differenzierung, da schwächere und stärkere Schülerinnen und Schüler wahrscheinlich unterschiedlich gut begründen können wann und warum sie alle möglichen Quader gefunden haben.

Hinweise für die Leistungsschwächeren Schülerinnen und Schüler
  • Schwächeren Schülern, könnte man zum Beispiel die Hürde nehmen, zunächst verstehen zu müssen, worum es eigentlich geht. So könnte man ihnen die Hürde nehmen, sich mit den Knetwürfeln (oder Holz-/Steckwürfeln) auseinander zu setzen.  Damit wäre eine enaktive Bearbeitung der Aufgabe möglich, die eine Findung der Lösung erleichtert. Man könnte die Aufgabe darauf reduzieren, dass sie angeben sollen, wie viele verschiedene Quader mit ganzzahliger Kantenlänge es gibt, die ein Volumen von 72 cm3 besitzen. Dadurch müssten sie nicht erst den Schritt machen, die beiden Volumina der Würfel zu addieren bzw. die beiden Knetmassen zu einer Masse zusammen zu fügen. So würden sie unter Umständen schneller an das systematische Probieren herangeführt. Andererseits fällt es vielen Schülern durch die Veranschaulichung leichter einen Zugang zu mathematischen Problemen zu erhalten.ischen Problemen zu erhalten.
  • Für schwächere Schüler könnte man außerdem die Aufgabenstellung insofern abwandeln, dass die Ausgangswürfel sind und damit der entstehende Quader kleiner ist (z.B. Kantenlängen 1 und 3 und Volumen des Quaders 28 cm3). Damit ergäben sich auch weniger Möglichkeiten.
  • Eine weitere Möglichkeit, das Finden aller Lösungen zu vereinfachen, wäre zum Beispiel eine vorgefertigte Tabelle, in der schon einige Faktoren eingetragen sind und die Schüler nur noch ergänzen müssen. So könnten sie eventuell anhand dieser Tabelle die Systematik im Aufschreiben der Lösungen erkennen und dann auf eine andere Aufgabe selbst anwenden.
  • Schwächeren Schülern könnte man auch die Aufgabenstellung vereinfachen, indem man direkt die zielführende Strategie des systematischen Probierens angibt, sofern diese bekannt ist. („Finde durch systematisches Probieren heraus, wie viele Möglichkeiten es dafür gibt!“)
  • Darüber hinaus könnte man den schwächeren Schülern auch die Möglichkeit geben, nicht alle Lösungen finden zu müssen, sondern wahlweise eine gewisse Anzahl oder „so viele wie möglich“ finden zu lassen.
Hinweise für die Leistungsstärkeren Schülerinnen und Schüler
  • Leistungsstärkeren Schülern, die schneller fertig sind, könnte man zusätzliche Aufgaben stellen wie beispielsweise:  Ist es auch möglich aus der gesamten Knetmasse einen Würfel (mit ganzzahligen Kantenlängen) zu kneten? Hier könnten Schüler auch ohne Kenntnisse über Quadratwurzeln angeben, dass es mit jedem Stück Knete möglich ist, einen Würfel zu formen, egal welches Volumen er hat, nur eben nicht immer mit ganzzahligen Kantenlängen.
  • Außerdem könnte man stärkeren Schülern den Auftrag geben, ihre verwendete Strategie zum Auffinden der Lösungen zu beschreiben bzw. an andere Schüler weiter zu geben.
  • Für stärkere Schülerinnen und Schüler ließe sich der Zahlenraum vergrößern, indem man Würfel mit einer anderen Kantenlänge vorgibt (z. B. 2 cm und 6 cm Kantenlänge). Dadurch müssten die Schülerinnen und Schüler nicht nur in einem größeren Zahlenraum arbeiten, es würde sich eventuell auch, je nach Wahl der Zahlen, die Anzahl der möglichen Quader erhöhen.
  • Eine weitere Aufgabe für stärkere Schüler wäre, sie nicht ganzzahlige Lösungen finden zu lassen (beispielhaft).

Die Aufgabe eignet sich unserer Meinung nach zur Entdeckung/Erforschung, dass Körper (in diesem Fall Quader) unterschiedlichster Form das gleiche Volumen haben können. Die Quader, die in dieser Aufgabe entstehen, haben sehr unterschiedliche Formen und doch alle das gleiche Volumen. Man kann also das Rechnen mit Volumen von Würfeln und Quadern produktiv üben. Zuvor müssen aber Kenntnisse über Volumenberechnung vermittelt worden sein. Des Weiteren kann die Aufgabe genutzt werden, um das Arbeiten mit dem heuristischen Hilfsmittel Tabelle sowie die Strategie des systematischen Probierens bei den Schülern einzuführen bzw. auch diese produktiv zu üben. Vor allem das systematische Probieren ist essentiell zum Auffinden aller 12 Faktorenkombinationen. Das Arbeiten mit Tabellen erleichtert die Darstellung und damit die Überlegungen. Eine Alternative wäre die Aufgabe als langfristige Hausaufgabe zu stellen und später im Unterricht besprechen.



Bearbeitet von: Ana Kuzle & Janike Wagener
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