Quaderknetaufgabe

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Klasse Schulstufe Thema Themengebiet Schwierigkeit
6 Primarstufe Volumenberechnung Größen und Messen, Raum und Form, Zahlen und Operationen **

Aufgabenstellung

Zwei unterschiedlich große Würfel aus Knete (Kantenlänge 1 cm und 3 cm) sollen zu einem Quader zusammengeknetet werden.
 
 
Der neue Quader soll nur ganzzahlige Kantenlängen haben. Wie lang können die Kantenlängen des neuen Quaders sein?
Gibt es mehrere Möglichkeiten? Wenn ja, welche und wie viele? Und wann hast du alle gefunden?
 

Quellenangabe:

o.V.: Quaderknetaufgabe. In: o.V.: MatheWelt ML 196. Das Schülerarbeitsheft. 5.-9. Klasse. mathematik lehren. Seelze: Friedrich Verlag, 2016. S.4.


Lösungsvariante 1
 
gegeben: 
Seitenlänge des Würfels 1: \(1 cm\)
Seitenlänge des Würfels 2: \(3cm\)

 
 
 
gesucht:
Seitenlängen des neuen Quaders (alle Möglichkeiten)
 
 
 
Lösung:
Würfel 1 besteht aus einem Würfel, der \(1cm\cdot 1cm\cdot 1cm\) groß ist. Damit hat er ein Volumen von \(1cm³\) .
 
Würfel 2 besteht aus 27 Würfel, die \(1cm\cdot 1cm\cdot 1cm\) groß sind. Damit hat er ein Volumen von \(27 cm³\).
 
 
Um die Seitenlängen des Quaders herauszubekommen, ist es notwendig die Teiler von 28 zu finden. Ein anderer Weg wäre das systematische Probieren, indem die 28 kleinen \(1cm\cdot 1cm\cdot 1cm\) Würfel so angeordnet werden, dass ein Quader mit ganzzahligen Kantenlängen entsteht.
 
Die Teiler der 28 sind: 1, 2, 4, 7, 14, 28
 
Es dürfen nur drei Zahlen miteinander multipliziert werden, die zusammen 28 ergeben.
 
Somit kann man einen Quader mit den Seitenlängen \(1cm\cdot 1cm\cdot 28cm\)  bilden (Möglichkeit 1).
 
 

Diesen Quader kann man in der Mitte teilen und nebeneinander zusammenfügen. Damit erhält man einen Quader mit den Seitenlängen \(1cm\cdot 2cm\cdot 14cm\) (Möglichkeit 2).
 

Diesen Quader kann man wieder teilen und auf zwei verschiedene Arten wieder zusammenfügen. Dann erhält man entweder einen Quader mit den Maßen \(1cm\cdot 4cm\cdot 7cm\) (Möglichkeit 3) oder einen Quader mit den Maßen \(2cm\cdot 2cm\cdot 7cm\) (Möglichkeit 4).
 
                                                             
 

Man kann den Quader auf keine andere Art auseinander und wieder zusammensetzen, sodass ein anderer Quader entsteht würde. Somit können die zwei Ausgangswürfel in vier verschiedene Quader mit ganzzahligen Kantenlängen umgewandelt werden.
 
 
 
Lösungsvariante 2
 
gegeben:
\({ a }_{ { W }_{ 1 } }=1cm\)
\({ a }_{ { W }_{ 2} }=3cm\)
 
 
 
gesucht: 
\({ a }_{Q }, { b }_{Q }, { c }_{Q }\)
 
 
 
Lösung:
Für das Volumen eines Würfels mit der Seitenlänge a gilt: \({V}_{W}=a³\)
Somit gilt für Würfel 1 \({V}_{{W}_{1}}=1cm \cdot 1cm \cdot 1cm = 1 cm³\) und für Würfel 2 \({V}_{{W}_{2}}=3cm \cdot 3cm \cdot 3cm = 27 cm³\) .
 
Für das Volumen des neuen Quaders gilt dann \({V}_{Q}={V}_{{W}_{1}}+{V}_{{W}_{2}}=1cm³+27cm³=28cm³\) .
Außerdem gilt \({V}_{Q}={a}_{Q} \cdot {b}_{Q} \cdot {c}_{Q}\) , also \({V}_{Q}={a}_{Q} \cdot {b}_{Q} \cdot {c}_{Q}=28cm³\) .
 
Teiler der 28 sind: 1, 2, 4, 7, 14, 28.
 
Damit ergeben sich folgende Möglichkeiten für ganzzahlige Seitenlängen \({a}_{Q}\), \({b}_{Q}\) und \({c}_{Q}\) des neuen Quaders:
 
\({a}_{Q}\) \({b}_{Q}\) \({c}_{Q}\)
1 1 28
1 2 14
1 4 7
2 2 7
 
 
Es gibt keine weitere Möglichkeit die Zahlen zu teilen, daher wurden alle möglichen Quader-Formen gefunden. Es gibt insgesamt vier verschiedene Möglichkeiten einen neuen Knetquader zu bilden.

Die Aufgabe kann in der 6. Klasse  im Rahmen der Unterrichtsthematik Volumenberechnung umgesetzt werden, da viele der geforderten inhaltsbezogenen Kompetenzen der Kompetenzstufe D erst in der 6. Klasse erworben werden (vgl. Abschnitt "Kompetenzen").
 

Hier werden jeweils drei inhaltsbezogene und prozessbezogene Kompetenzen formuliert. Dabei wird auf den brandenburgischen Rahmenlehrplan "Teil C. Mathematik. Jahrgangsstufen 1-10. 2015", der ab dem Schuljahr 2017/18 gültig ist (im Folgenden als RLP bezeichnet), Bezug genommen.
 
 
Inhaltsbezogene Kompetenzformulierungen
 
Zahlen und Operatoren:
  • Die Schülerinnen und Schüler können die Teiler der Zahl 28 angeben.
"Nutzen der Teilbarkeitsregeln [...] zum Prüfen natürlicher Zahlen auf Teilbarkeit" (RLP, Zahlbeziehungen beschreiben, Niveaustufe D, S.36)
 
Zur Lösung der Aufgabe müssen alle Teiler der Zahl 28 gefunden werden. Nur wenn alle Teiler gefunden werden, findet man auch alle möglichen Kantenlängen für die Quader.
 
 
Raum und Form:
  • Die Schülerinnen und Schüler skizzieren Schrägbilder von Quadern.
"Skizzieren der Schrägbilder von Würfeln und Quadern [...]" (RLP, Geometrische Objekte darstellen, Niveaustufe D, S. 48)
 
Wenn die Schülerinnen und Schülern eine informative Figur zur Lösung der Aufgabe nutzen, dann müssen sie die entstehenden Quader skizzieren (Lösung Aufgabe 2 a).
 
 
Größen und Messen:
  • Die Schülerinnen und Schüler bestimmen Volumina von Quadern durch das Ausfüllen mit Einheitswürfeln.
"näherungsweises Bestimmen von Volumina durch Auffüllen mit Einheitswürfeln" (RLP, Größenangaben bestimmen, Niveaustufe D, S.42)
 
Die Schülerinnen und Schüler können bei der Bestimmung des Volumens des größeren der beiden Würfel diesen mit dem kleineren der beiden Würfel ausfüllen (Lösung Aufgabe 2 b) und damit den kleineren der beiden Würfel wie einen Einheitswürfel verwenden.
 
 
 
Prozessbezogenen Kompetenzformulierungen
 
Mathematisch kommunizieren:
  • Die Schülerinnen und Schüler können eigene Problembearbeitungen und Einsichten darstellen.
"Die Schülerinnen und Schüler können eigene Problembearbeitungen
und Einsichten dokumentieren und darstellen" (RLP, Mathematisch kommunizieren, S. 21). 
 
Die Schülerinnen und Schüler werden in der Aufgabenstellung dazu ermutigt zu erklären, wann sie alle möglichen neuen Quader gefunden haben. Damit müssen sie ihre eigene Lösung entsprechend begründen.
 
 
Probleme mathematisch lösen:
  • Die Schülerinnen und Schüler wenden heuristische Hilfsmittel (informative Figuren, Gleichung oder Tabellen) an, um Probleme mathematisch zu lösen.
"Die Schülerinnen und Schüler [...] nutzen heuristische Hilfsmittel zum Problemlösen anwenden" (RLP, Probleme mathematisch lösen, S. 19)
 
Die Schülerinnen und Schüler verwenden heuristische Hilfsmittel, um das Problem zu visualisieren (Lösung Aufgabe 2 a) oder zu strukturieren (Lösung Aufgabe 2 b).
 
 
  • Die Schülerinnen und Schüler wenden ihre mathematischen Kenntnisse zur Volumenbestimmung von Quadern und Teilbarkeitsregeln zur Bearbeitung von Problemen an.
"Die Schülerinnen und Schüler können mathematische Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten bei der Bearbeitung von Problemen anwenden" (RLP, Probleme mathematisch lösen, S.19)

Die Schülerinnen und Schüler sind in der Lage ihre mathematischen Kenntnisse, die sie bereits zur Volumenbestimmung und bezüglich der Teilbarkeitsregeln von Zahlen haben, situationsgerecht anzuwenden und so das vorliegende Problem zu lösen.

Heuristische Hilfsmittel: 
In der ersten der beiden Lösungen wird eine informative Figur zur Lösung der Aufgabe benötigt. Dies ist hilfreich bei der Visualisierung des aktuellen Zustandes des Quaders. Dadurch lässt sich leichter überlegen, wie man den Quader noch verändern kann.
 
In der zweiten der beiden Lösungen wird das heuristische Hilfsmittel der Tabelle verwendet. Durch die Tabelle ist es möglich die Informationen kompakt und strukturiert darzustellen.
 
 
Heuristische Strategien: 
Beim ersten Lösungsansatz wird eher die Strategie des Vorwärtsarbeitens verwendet. Ausgehend von der vorherigen Möglichkeit werden jeweils weitere Möglichkeiten für Quader mit ganzzahligen Seitenlängen und einem Volumen von 28cm³ generiert.
 
Beim zweiten Lösungsansatz wird das kombinierte Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten verwendet.
 
 
Heuristische Prinzipien: 
Als heuristisches Prinzip kommen sowohl das Zerlegungsprinzip als auch das Invarianzprinzip zum Einsatz. Das Zerlegungsprinzip wird benötigt, um alle Teiler der 28 zu finden. Das Invarianzprinzip ist von Nöten, da in der Quaderkentaufgabe das Volumen des Quaders unveränderlich ist, während die Seitenlängen variiert werden können.

Die Quaderknetaufgabe entspricht nach Cohors-Fresenborg et al. (2004) mit insgesamt 5 erreichten Punkten einem Schwierigkeitsgrad von **.
 
 
Sprachlogische Komplexität: 
Der Quaderknetaufgabe ist eine Sprachlogische Komplexität der Stufe 1 zuzuordnen, da die Reihenfolge der Sätze in der Aufgabenstellung nicht den unmittelbaren Schritten der Lösung entspricht. Die Sätze sind aber kurz und prägnant formuliert und es sind keine für die Lösung irrelavanten Informationen, welche die Schülerinnen und Schülern verunsichern könnten, gegeben.
 
 
Kognitive Komplexität: 
Die Kognitive Komplexität entspricht der Stufe 2: Denkvorgänge müssen vor der Bearbeitung ablaufen und es muss die Nebenbedingung berücksichtigt werden, dass der neue Quader nur ganzzahlige Seitenlängen aufweisen darf. Darüber hinaus begleiten die heuristischen Strategien des Vorwärtsarbeitens, bzw. des kombinierten Vorwärts- und Rückwärtsarbeitens den Lösungsprozess.
 
 
Formalisierung von Wissen: 
Bei der Lösung der Quaderknetaufgabe ist nur die Volumenformel für Quader aufzustellen und es sind die Teiler von 28 zu ermitteln. Dabei handelt es sich um sehr einfache Darstellungen, bzw. Berechnungen. Somit ist die Formalisierung von Wissen ist auf der Stufe 1 anzusiedeln.
 
 
Formelhandhabung: 
Termumformungen sind in einem sehr überschaubaren Maß erforderlich. Dabei handelt es sich lediglich um Berechnungen mit der Volumenformel für Quader, weshalb die Aufgabe bezüglich der Formelhandhabung der Stufe 1 entspricht.
 
 
Stufenzuordnung: 
Formalisierung von Wissen
Stufe 1
Formelhandhabung
Stufe 1
Kognitive Komplexität
Stufe 2
Sprachlogische Komplexität
Stufe 1

Hilfestellungen: 
Bei der Lösung der Quaderknetaufgabe kann es zunächst problematisch sein, auf den Gedanken zu kommen, erst einmal das Volumen der gegebenen Würfel und daraus das Volumen des neuen Quaders zu berechnen, um letztendlich eine Einschränkung für mögliche Seitenlängen des neuen Quaders zu erhalten. An dieser Stelle können die folgenden Hilfen gegeben werden.
 
Allgemein-strategische Hilfen Inhaltsorientierte strategische Hilfen Inhaltliche Hilfen
Stelle dir die Situation räumlich vor. Aus welchen Würfeln lässt sich der neu entstandene Quader zusammensetzen? Was musst du über den neuen Quader wissen, um die Kantenlängen bestimmen zu können? Welche Volumina kannst du berechnen?
Was ist gegeben und was soll berechnet werden? Kannst du mithilfe der gegebenen Seitenlängen der beiden Würfel zunächst weitere Größen der Würfel und dadurch eine Größe des neu entstandenen Quaders berechnen? Welches Volumen muss der neue Quader haben, wenn er aus den beiden gegebenen Würfeln entsteht?
Wie könntest du überprüfen, ob der neu entstandene Quader aus den gegebenen Würfeln entstanden ist? Durch welche Größen lassen sich Körper beschreiben? Welche dieser Größen kannst du für die beiden gegebenen Würfel und den neu entstandenen Qauder aus den bekannten Informationen ermitteln? Wie lassen sich Volumina von Würfeln und Quadern berechnen?
 
 
Eine weitere kritische Stelle kann die Berechnung der Teiler des Volumens (\({V}_{Q}=28cm³\)) des neu entstandenen Quaders sein, um alle möglichen Seitenlängen dieses Quaders zu ermitteln.
 
Allgemein-strategische Hilfen Inhaltsorientierte strategische Hilfen Inhaltliche Hilfen
Berücksichtige, welche Bedingungen für den neu entstandenen Quader erfüllt sein müssen. Welche Eigenschaften müssen die Seitenlängen des neuen Quaders erfüllen? Welche ganzzahligen Teiler des Volumens des neuen Quaders gibt es?
Was weißt du bereits über den neu entstandenen Quader? Welche Seitenlängen kommen für den neuen Quader in Frage? Welche Möglichkeiten gibt es für die Multiplikation dreier ganzer Zahlen mit 28 als Produkt?
Denke daran, wie das Volumen von Quadern berechnet wird. Wie lautet die Volumenformel für Quader? Welche Einschränkung ist dadurch für die Seitenlängen des neuen Quaders gegeben? Welche drei ganzen Zahlen können multipliziert werden, um 28 zu erhalten?
 
 
Sozialformen: 
  • Einzelarbeit
  • Partnerarbeit
 
 
Differenzierungsmöglichkeiten: 
Unserer Meinung nach beinhaltet die Aufgabenstellung an sich schon eine gewisse Differenzierung, da schwächere und stärkere Schülerinnen und Schüler wahrscheinlich unterschiedlich gut begründen können, wann und warum sie alle möglichen Quader gefunden haben.
 
Zusätzlich könnte man für schwächere Schülerinnen und Schüler Holzklötze oder Steckwürfel zur Verfügung stellen. Damit wäre eine enaktive Bearbeitung der Aufgabe möglich, die eine Findung der Lösung erleichtert.
 
Für leistungsstärkere Schülerinnen und Schüler ließe sich der Zahlenraum vergrößern, indem man Würfel mit einer anderen Kantenlänge vorgibt (z. B. 2 cm und 4 cm Kantenlänge). Dadurch müssten die Schülerinnen und Schüler nicht nur in einem größeren Zahlenraum arbeiten, es würde sich eventuell auch, je nach Wahl der Zahlen, die Anzahl der möglichen Quader erhöhen.

Die Aufgabe eignet sich für die Entwicklung der Problemlösefähigkeit, denn die Lernenden müssen sich genau überlegen, wie sie zu dem Ergebnis gelangen.
 
Zusätzlich kann die Aufgabe eingesetzt werden, um in das Thema der Volumenberechnung einzusteigen, denn so kann es den Kindern ermöglicht werden, hinter den „Volumen“-Begriff zu kommen. Sie eignet sich zur Entdeckung, dass Körper unterschiedlichster Form das gleiche Volumen haben können. Die Quader, die in dieser Aufgabe entstehen, haben sehr unterschiedliche Formen und doch alle das gleiche Volumen.
 
Denkbar wäre auch eine Einführung in Beweistechniken, da die Schülerinnen und Schüler bei dieser Aufgabe begründen sollen, warum sie alle Lösungen gefunden haben.
 
Zusätzlich bietet sich die Aufgabe zur Förderung der mathematischen Kommunikation in der Klasse an. Unterschiedliche Lösungsansätze können besprochen und thematisiert werden. Dadurch üben die Schülerinnen und Schüler über mathematische Inhalte zu sprechen, und sie werden ermutigt mathematische Fachsprache zu verwenden.


Bearbeitet von: Johanna Paulig, Emilia Protze (überarbeitet von Marisa Pfläging)
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