Quadrate zählen

Klasse Schulstufe Thema Themengebiet Schwierigkeit
5 Primarstufe Flächeninhalt ebener Figuren Raum und Form *

Aufgabenstellung

Die Fläche folgender Figuren soll bestimmt werden. Das Ergebnis kannst du als Anzahl kleiner Quadrate angeben.

a)

 

 

 

 

 

b)

 

                            c)

 

 

 

 

 

 

Quellenangabe:

Gebel, I. & Kuzle, A. (Hrsg.). (2016). MatheWelt. Das Schülerarbeitsheft. Velber: Friedrich Verlag. S. 9.


a)
Lösungsvariante 1

 

 

 

 

 

Fläche = \(2\cdot 6\) Quadrate

             = 12 Quadrate
Lösungsvariante 2

 

 

 

 

 

 

 

 

Fläche = \(3\cdot 4\) Quadrate

             = 12 Quadrate

 

 

b)
Lösungsvariante 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Fläche = \(4\cdot 5\) Quadrate

             = 20 Quadrate
Lösungsvariante 2

 

 

 

 

 

Fläche = \(4\cdot 5\) Quadrate

             = 20 Quadrate
 
c)
Lösungsvariante 1

 

 

 

 

 

 

 
 

Fläche = \((2\cdot 5 + 2\cdot 4)\) Quadrate

             = 18 Quadrate
Lösungsvariante 2

 

 

 

 

 

 

 
 

Fläche = \((2\cdot 7+2\cdot 2)\) Quadrate

             = 18 Quadrate

 


Die Aufgabe "Qudrate zählen" lässt sich im Rahmen der Unterrichtsthematik "Flächeninhalt ebener Figuren" einsetzen. Sie ist insbesondere für die fünfte Jahrgangsstufe geeignet, da die Anforderungen maximal der Niveaustufe C des brandenburgischen Rahmenlehrplans entsprechen (vgl. "Geförderte Kompetenzen"). Die Aufgabe fördert den selbstständigen Problemlöseprozess der Kinder.


Mit der Aufgabe "Quadrate zählen" werden insbesondere der inhaltsbezogene Kompetenzbereich [L3] Raum und Form sowie der prozessbezogenen Kompetenzbereich [K2] Probleme mathematisch lösen aus dem brandenburgischen Rahmenlehrplan (Teil C) Mathematik für die Jahrgangsstufen 1-10 (LISUM (2015)), der ab dem Schuljahr 2017/18 gültig ist, gefördert.

 

 

Inhaltsbezogene Kompetenzformulierungen

 

Raum und Form [R3]

Kompetenz 1: Die Schülerinnen und Schüler nutzen die Eigenschaften von Abbildungen.

"Die Schülerinnen und Schüler können Lageveränderungen umgangssparachlich beschreiben" (LISUM (2015), Geometrische Abbildungen und ihre Eigenschaften nutzen, Niveaustufe B, S.27)

Erläuterung: Die Beschaffenheit der Figuren sowie das gegebene Kästchenraster erleichtert es den Lernenden durch Abtrennen und Anfügen der „gesuchten“ Teile die Aufgabe zu lösen.

 

Kompetenz 2: Die Schülerinnen und Schüler finden deckungsgleiche Figuren.

"Die Schülerinnen und Schüler können deckungsgleiche Figuren finden" (LISUM (2015), Geometrische Abbildungen und ihre Eigenschaften nutzen, Niveaustufe A, S.27), "Die Schülerinnen und Schüler können Kongruenzabbildungen erkennen" (LISUM (2015), Geometrische Abbildungen und ihre Eigenschaften nutzen, Niveaustufe C, S.27)

Erläuterung: Anhand der Grundformen, die die Kinder kennen, können sie erkennen, welcher Teil abgetrennt und an anderer Stelle wieder angesetzt werden muss, um eine einfach zu berechnende Grundform zu erhalten. Sie identifizieren demnach kongruente Flächen.

 

Kompetenz 3: Die Schülerinnen und Schüler führen Lageveränderungen bei geometrischen Figuren aus.

"Die Schülerinnen und Schüler können Lage- und Größenveränderungen bei geometrischen Figuren ausführen" (LISUM (2015), Geometrische Abbildungen ausführen, Niveaustufe C, S.27)

Erläuterung: Da die Schülerinnen und Schüler von den gegebenen Figuren Teile abtrennen und an anderer Stelle anfügen müssen, um die Aufgabe lösen zu können, führen sie Lageveränderungen bei Teilen der Figur durch.

 

 

Prozessbezogene Kompetenzformulierungen

 

Probleme mathematisch lösen [K2]

Kompetenz 4: Die Schülerinnen und Schüler wenden das heuristische Hilfsmittel der informativen Figur zum Problemlösen an.

"Die Schülerinnen und Schüler können heuristische Hilfsmittel zum Problemlösen anwenden" (LISUM (2015), S.19)

Erläuterung: Die Lernenden nutzen Skizzen, die sie durch Abtrennen von Figurenteilen und Lageveränderungen dieser so abändern, dass sie die Quadrate besser zählen können.

 

Kompetenz 5: Die Schülerinnen und Schüler übertragen bekannte/vorgegebene Lösungsstrategien auf ähnliche Sachverhalte.

"Die Schülerinnen und Schüler können Lösungsstrategien auf ähnliche Sachverhalte übertragen" (LISUM (2015), S.19)

Erläuterung: Die in der Aufgabenstellung gegebene Beispiellösung zu Aufgabenteil a) dient den Lernenden dazu, dass sie diesen Ansatz für die folgenden Aufgaben b) und c) abwandeln können.

 

Kompetenz 6: Die Schülerinnen und Schüler nutzen eine Lösungsidee, um für die Bestimmung der Anzahl an Quadraten in einer Figur eine eigene Lösungsstrategie zu entwickeln.

"Die Schülerinnen und Schüler können Lösungsstrategien [...] entwickeln und nutzen" (LISUM (2015), S.19)

Erläuterung: Die Lernenden können die Aufgabe mit der vorgegebenen Lösungsidee bearbeiten. Im Laufe der Aufgabe können sie aus dieser Lösungsidee eine eigene Lösungstrategie entwickeln.


Heuristische Hilfsmittel: 
  • Bei der Lösung der einzelnen Aufgabenteile wird jeweils eine Informative Figur erstellt. Die Ausgangsskizze wird zerlegt und in einer neuen Skizze werden die Teile anders zusammengesetzt, sodass ein Abzählen der Kästchen ermöglicht wird.

 

 

Heuristische Strategien: 
  • Bei der Lösung handelt es sich um kombiniertes Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten. Es wird zunächst das Gesuchte betrachtet, nämlich die Kästchenanzahlen. Es lässt sich erkennen, dass diese nicht ohne Weiteres abgezählt werden können. Die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass es sinnvoll wäre, die Figuren zu zerlegen und neu zusammenzusetzen. Dann wird vorwärtsgearbeitet, es wird das Gegebene genau betrachtet und geschaut, wie sich die Figuren zerlegen und neu zusammensetzen lassen.

 

  • Bei Aufgabenteil b) und c) werden Analogieschlüsse genutzt. So haben die Lernenden zu Aufgabenteil a) eine Hilfestellung für die Vorgehensweise bekommen und sie erkennen, dass ein solches Vorgehen auch in den weiteren beiden Teilaufgaben zum Ziel führt.

 

 

Heuristische Prinzipien: 
  • Die Schülerinnen und Schüler zerlegen bei der Lösung die gegebenen ebenen Figuren in Teilfiguren. Damit ist das Zerlegungsprinzip von Bedeutung. Außerdem ergänzen sie die Figuren mit diesen Teilfiguren an anderen Stellen, wodurch auch das Ergänzungsprinzip eine Rolle spielt.

 

  • Die zerlegte und ergänzte Figur haben den gleichen Flächeninhalt. Damit wird auch das Invarianzprinzip angewendet.

 

  • Auch das Symmetrieprinzip ist relevant, da die Lernenden die Figuren genau betrachten und nach Symmetrien in der Figur suchen, sodass sie bestimmte Teile abtrennen und an anderer Stelle anfügen können. Sie identifizieren also deckungsgleiche Figuren.

Die Aufgabe "Quadrate zählen" hat nach Cohors-Fresenborg et al. mit einem erreichten Punkten einen Schwierigkeitsgrad von *.

 

 

Sprachlogische Komplexität: 

Bei der Aufgabenstellung handelt es sich um einfache Hauptsätze und durch den in der Aufgabenstellung gegebenen Hinweis werden die Bearbeitungsschritte vorgegeben. Somit entspricht die Sprachlogische Komplexität der Aufgabe der Stufe 0.

 

 

Kognitive Komplexität: 

Bei der Aufgabenlösung müssen Teile der Figur abgetrennt werden, die an anderer Stelle wieder so angesetzt werden können, dass eine Figur (ein Rechteck) entsteht, dessen Flächeninhalt abgezählt/berechnet werden kann. Denkvorgänge laufen demnach parallel unter Berücksichtigung der Bedingung, dass am Ende ein Rechteck entsteht, ab. Die Kognitive Komplexität lässt sich daher auf Stufe 1 ansiedeln.

 

 

Formalisierung von Wissen: 

Die Formalisierung von Wissen lässt sich auf Stufe 0 einordnen, da lediglich graphische Darstellungen der Figuren zu erstellen sind und die Kästchenzahl dann rechnerisch oder durch Abzählen der Kästchen zu ermitteln ist.

 

 

Formelhandhabung: 

Auch die Formelhandhabung lässt sich auf Stufe 0 ansiedeln, da algebraische Operationen der Multiplikation lediglich bei der Ermittlung der Gesamtkästchenzahlen erforderlich sind, aber keine Termumformungen erforderlich sind.

 

 

Stufenzuordnung: 
Formalisierung von Wissen
Stufe 0
Formelhandhabung
Stufe 0
Kognitive Komplexität
Stufe 1
Sprachlogische Komplexität
Stufe 0

Hilfestellungen: 

Bei der Bearbeitung der Aufgabe "Quadrate zählen" können bei den Schülerinnen und Schülern an einigen Stellen Probleme auftreten. Hier werden zwei solcher kritischer Stellen aufgeführt und es wird dargestellt mit welchen Hilfestellungen als Lehrperson darauf eingegangen werden kann.

 

Die Schülerinnen und Schüler könnten Schwierigkeiten dabei haben, Figuren genau so abzutrennen, dass sie an anderer Stelle so angesetzt werden können, dass die einzelnen Kästchen besser abgezählt werden können. In diesem Fall können folgende Hilfestellungen gegeben werden.

Allgemeine strategische Hilfen Inhaltsorientierte strategische Hilfen Inhaltliche Hilfen
Betrachte das Gegebene genau! Worauf musst du bei der Zerlegung der Figuren achten? Wann sind Figuren kongruent?
Nutze eine Skizze! Gibt es bereits Teile in der Figur, die du abzählen kannst? Wann hat eine Figur den gleichen Flächeninhalt wie die Ausgangsfigur?
Zeichne dir Hilfslinien in die Skizze! Wo kannst du eine abgetrennte Figur wieder an die Ausgangsfigur fügen, sodass die neue Figur aus ganzen Kästchen besteht? Nutze Kongruenzabbildungen!

 

 

Beim Abzählen der Kästchen könnten einige Lernende nicht auf die Idee kommen, die bereits bekannte Flächeninhaltsformel für Rechtecke anzuwenden. Kommen die Schülerinnen und Schüler nicht auf diese Vereinfachung, können folgende Hinweise weiterhelfen.

Allgemeine strategische Hilfen Inhaltsorientierte strategische Hilfen Inhaltliche Hilfen
Kannst du eine bekannte Formel nutzen, um die Kästchenanzahl zu bestimmen? Welche Flächeninhalte kannst du bereits berechnen? Wie lässt sich der Flächeninhalt von Rechtecken berechnen?
Kannst du den Zählaufwand gering halten? - -

 

 

Sozialformen: 
  • Einzelarbeit

 

 

Differenzierungsmöglichkeiten: 

Die Aufgabe enthält bereits eine Differenzierung. So hat der Aufgabenteil c) einen höheren Schwierigkeitsgrad als die Aufgabenteile a) und b). Die Aufgabe lässt sich aber auch noch weiter für leistungsstärkere und leistungsschwächere Schülerinnen und Schüler abwandeln.

 

Für leistungsschwächere Schülerinnen und Schüler könnten folgende Differenzierungsmaßnahmen ergriffen werden:

  • Den Schülerinnen und Schülern könnten die Figuren als Papierformen gegeben werden, die sie auseinanderschneiden und dann haptisch neu zusammensetzen können.

 

Für leistungsstärkere Schülerinnen und Schüler kann die Aufgabe wiefolgt abgewandelt werden:

  • Es kann die zusätzliche Aufgabe gestellt werden, verschiedene Lösungsvarianten für die einzelnen Aufgabenteile zu finden.

 

  • Außerdem kann die Zusatzaufgabe gestellt werden, dass die Lernenden eigene Figuren aufzeichen sollen, die sie so zerlegen und neu anordnen, dass sie den Flächeninhalt bestimmen können.

Die Aufgabe eignet sich als Einstieg in die Thematisierung des Flächeninhaltes. In der fünften Klasse wird das Thema Flächeninhalt erneut aufgegriffen. Die Aufgabe ist somit ein guter Einstieg zur Wiederholung, um schließlich den Flächeninhalt komplexerer ebener Figuren erschließen zu können.



Bearbeitet von: Juliane Agotz, Bianca Nadine Oberüber (ergänzt von Marisa Pfläging)
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