Rechteckseiten I

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Klasse Schulstufe Thema Themengebiet Schwierigkeit
5 Primarstufe Flächeninhalt von Rechtecken Größen und Messen, Raum und Form **, ***
Heuristsche Hilfsmittel Heuristische Prinzipien Heuristische Strategien
Tabelle, Gleichungen Transformationsprinzip Kombiniertes Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten, Systematisches Probieren

Aufgabenstellung

Die längere Seite eines Rechtecks a ist dreimal so lang wie die kürzere Seite b. Der Umfang des Rechtecks beträgt 32 cm. Wie groß ist der Flächeninhalt?
Bespreche mit deinem Nachbarn eure Lösungen! Vergleicht sie! Habt ihr gleich gerechnet oder verschiedene Lösungswege gefunden?

 

Quellenangabe:

angelehnt an die Aufgabe „Rechteckseiten“ aus dem Schülerarbeitsheft „Mathe Welt – Problemlösetraining in der Geometrie“, S. 5


Lösungsvariante 1 - Tabellarische Lösung
 
 
Ermittle zunächst die Seitenlängen a und b:
 

Vorüberlegung

3b = a

a b 2a+2b Umfang
\(3\cdot 2 = 6\) \(6\) \(2\) \(12+4\) \(16\)
\(3\cdot 3 = 9\) \(9\) \(3\) \(18+6\) \(24\)
\(3\cdot 4 = 12\) \(12\) \(4\) \(24+8\) \(32\)

 

Die 4 passt dreimal in die 12. Da die Seite a dreimal so lang wie die Seite b ist, beträgt nun also die Seite a des Rechtecks 12 cm und die Seite b des Rechtecks 4cm.

 

 

Nun lässt sich der Flächeninhalt A mit der Formel \(A = a\cdot b\) berechnen:

\(A = 12\cdot 4 = 48 [cm²]\)

 

Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt 48 cm².

 

 

 

Lösungsvariante 2 - Lösung mithilfe von Gleichungen

 

Der Umfang U eines Rechtecks mit den Seitenlängen a und b wird wie folgt berechnet:

\(U=2a+2b\quad \quad \quad \quad \quad \quad (1)\)

 

Der Umfang dieses Rechtecks beträgt 32 cm, also gilt:

\(32 = 2a + 2b\)
 

Da a dreimal so groß ist wie b gilt \(a = 3b\).
 

Durch Einsetzen von \(a = 3b\) in \((1)\) folgt:

  \(6b+2b=32\)  
\(\Leftrightarrow \) \(8b=32\) \(| : 8\)
\(\Leftrightarrow \) \(b=4[cm²]\)  

 

Nun kann durch einsetzen von \(b = 4\) in \((1)\) auch a berechnet werden:

  \(2a+8=32\) \(| - 8\)
\(\Leftrightarrow \) \(2a=24\) \(| : 2\)
\(\Leftrightarrow \) \(a=12[cm²]\)  

 

Somit hat die Seite a die Länge 12 cm und die Seite b eine Länge von 4 cm.

Der Flächeninhalt A lässt sich nun mit der Flächeninhaltsformel für Rechtecke berechnen:

\(A=a\cdot b=12\cdot 4=48[cm²]\)

 

Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt also 48 cm².

 

 

 

Weitere Lösungsvarianten

 

Die Seitenlängen a und b des Rechtecks können außerdem mithilfe von Informativen Figuren (analog zur Lösungsvariante 3 der Aufgabe Rechteckseiten II) oder durch Ermittlung der Möglichkeiten für die Seitenlängen a und b bei U = 32 cm und anschließender Überprüfung dieser Möglichkeiten mit der Bedingung a = 3b (analog zur Lösungsvariante 1 der Aufgabe Rechteckseiten II) bestimmt werden.


Die Aufgabe könnte in der 5. Jahrgangsstufe umgesetzt werden. Bereits in der 4. Klasse werden die Berechnung von Umfang und Fläche verschiedener geometrischer Figuren geübt. Die entsprechenden Formeln sind den Kindern also von nun an bekannt. Bei dieser Aufgabe kommt jedoch erschwerend hinzu, dass zunächst unbekannte Variablen gefunden werden müssen. Hierzu sind verschiedene Lösungswege möglich. Grundlage von allen Lösungswegen ist, dass die Kinder mit der entsprechenden Formel für den Umfang eines Rechtecks arbeiten können und diese auch verstanden haben.

Das Bearbeiten durch Ausprobieren eignet sich für Kinder, die mit Gleichungen, Variablen und dem Einsetzungsverfahren noch Schwierigkeiten haben. Kinder, die sich hierin schon sicherer fühlen, können ihr Wissen darüber anwenden und so die Aufgabe lösen. Abschließend muss die Formel für den Flächeninhalt bekannt sein und angewendet werden. Aufgrund der unbekannten Variablen sollte diese Aufgabe nicht schon in der 4. Klasse bearbeitet werden, sondern erst ab der 5. Klasse, wenn sichergegangen werden kann, dass die benötigten Formeln bei den Kindern hinreichend bekannt und gefestigt sind. Die Einschätzung stimmt auch mit dem Rahmenlehrplan für Brandenburg der Jahrgangsstufen 1-10 überein, der die Niveaustufe D in Grundschulen in die 4. - 6. Klasse einordnet (vgl. LISUM 2015, S. 12).


Mit der Aufgabe "Rechteckseiten I" werden die inhaltsbezogenen Kompetenzbereiche [L2] und [L3] sowie die prozessbezogenen Kompetenzbereiche [K1], [K2], [K5] und [K6] aus dem brandenburgischen Rahmenlehrplan Mathematik für die Jahrgangsstufen 1-10 (vgl. LISUM, 2015), der ab dem Schuljahr 2017/18 gültig ist, gefördert.

 

 

Inhaltsbezogene Kompetenzformulierungen

Größen und Messen [L2]
Kompetenz 1: Die Schülerinnen und Schüler können mithilfe der Umfangsformel für Rechtecke die Seitenlängen eines Rechtecks bestimmen.

"Die Schülerinnen und Schüler können Größen messen" (LISUM 2015, Größenangaben bestimmen, Niveaustufe D, S. 24)

Begründung: Beim ersten Lösungsweg nutzen die Schülerinnen und Schüler die Umfangsformel für Rechtecke und ermitteln durch systematischen Einsetzen von Zahlen die Seitenlängen des Rechtecks. Beim zweiten Lösungsweg nutzen sie Umfangsformel und Einsetzungsverfahren, um die Seitenlängen des Rechtecks zu berechnen.
 

Raum und Form [L3]
Kompetenz 2: Die Schülerinnen und Schüler können die geometrischen Eigenschaften eines Rechtecks (besteht aus 2 Paar parallelen Seiten /2 Paar gleichlangen gegenüberliegenden Seiten) benennen und beschreiben.

"Die Schülerinnen und Schüler können ausgewählte geometrische Objekte qualitativ beschreiben" (LISUM 2015, Geometrische Objekte und ihre Eigenschaften beschreiben, Niveaustufe C, S. 26)

Begründung: Die Schülerinnen und Schüler müssen das Rechteck und seine Eigenschaften als geometrische Figur kennen, um die Aufgabe lösen zu können. Im Rahmen dieser Aufgabe sind vor allem folgende Eigenschaften relevant: Jedes Rechteck hat zwei Paar parallele Seiten und jedes Rechteck hat zwei Paar gleichlange gegenüberliegende Seiten.
 

 

Prozessbezogene mathematische Kompetenzen

Mathematisch argumentieren [K1]

Kompetenz 3: Die Schülerinnen und Schüler können ihren Lösungsweg nachvollziehbar mathematisch begründen.

"Die Schülerinnen und Schüler können Begründungen nachvollziehen und zunehmend selbstständig entwickeln" (LISUM 2015, S. 19)

Begründung: Nachdem die Kinder die Aufgabe gelöst haben, sollen sie ihre Lösung mit ihrem Nachbarn vergleichen und besprechen. Da es verschiedene Lösungsmöglichkeiten gibt, werden die Kinder dazu aufgefordert ihre eigene Lösung zu beschreiben und zu begründen.

 

Mathematisch kommunizieren [K6]
Kompetenz 4: Die Schülerinnen und Schüler können ihren Lösungsweg nachvollziehbar erklären.

"Die Schülerinnen und Schüler können eigene Vorgehensweisen beschreiben, Lösungswege anderer nachvollziehen und gemeinsam Lösungswege reflektieren", "können mathematische Zusammenhänge adressatengerecht beschreiben", "können eigene Problembearbeitungen und Einsichten dokumentieren und darstellen" (LISUM 2015, S. 21)

Begründung: Nachdem die Kinder die Aufgabe gelöst haben, sollen sie ihre Lösung mit ihrem Nachbarn vergleichen und besprechen. Da es verschiedene Lösungsmöglichkeiten gibt, werden die Kinder dazu aufgefordert sich ihre Lösungen untereinander zu erklären.

 

Probleme mathematisch lösen [K2]

Kompetenz 5: Die Schülerinnen und Schüler können heuristische Hilfsmittel (Gleichungen, Tabelle) und Strategien (systematisches Probieren, kombiniertes Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten) nutzen, um die Seitenlängen eines Rechtecks zu bestimmen.

"Die Schülerinnen und Schüler können Lösungsstrategien (z. B. vom Probieren zum systematischen Probieren) entwickeln", "nutzen heuristische Hilfsmittel zum Problemlösen anwenden" (LISUM 2015, S. 19)

Begründung: Die Kinder haben bei dieser Aufgabe verschiedene Möglichkeiten eine Lösung zu finden. Entweder wählen sie aus mehreren bekannten Lösungswegen einen aus oder sie entwickeln selbst einen neuen, zunächst noch
unbekannten Lösungsweg.

Beim ersten Lösungsweg wird als heuristisches Hilfsmittel die Tabelle und die Gleichung genutzt. Als heuristische Strategie wird das systematische Probieren angewendet. Denn durch gezieltes und strukturiertes Einsetzen von Zahlen für die Seitenlängen a und b in die Formel für den Umfang eines Rechtecks, können durch Probieren die geforderten Seitenlängen gefunden werden. Die Tabelle ist hierbei ein besonders geeignetes Hilfsmittel, um das systematische Probieren zu unterstützen und zu visualisieren.
Bei der zweiten Lösungsvariante wird als heuristisches Hilfsmittel die Gleichung genutzt. Als heuristische Strategie wird das kombinierte Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten verwendet, da ausgehend vom Gesuchten (A) das Gegebene (U=32 cm) betrachtet wird und sich Schritt für Schritt dem Ziel A genähert wird.
 

 

Mit symbolischen, formalen, technischen Elementen der Mathematik umgehen [K5]

Kompetenz 6: Die Schülerinnen und Schüler können Gleichungen und das Einsetzungsverfahren in einer mathematischen Situation anwenden.

"Die Schülerinnen und Schüler können Tabellen, Terme, Gleichungen [...] zur Beschreibung von Sachverhalten nutzen", "können Variablen und Funktionen zur Bearbeitung von Aufgaben nutzen", "können mathematische Verfahren routiniert ausführen" (LISUM 2015, S. 20)

Begründung: Beim zweiten Lösungsweg werden formale Elemente der Mathematik genutzt. Es wird die Formel zur Berechnung des Umfangs eines Rechtecks angewandt und mit Hilfe des Einsetzungsverfahrens werden unbekannte Variablen bestimmt.


Heuristische Hilfsmittel: 
  • Beim ersten Lösungsweg werden Gleichungen zur Umfangsberechnung von Rechtecken und zur Flächenberechnung genutzt. Außerdem dient eine Tabelle dem Systematischen Ausprobieren bezüglich der Ermittlung der Seitenlängen des Rechtecks.

 

  • Beim zweiten Lösungsweg wird nur das heuristische Hilfsmittel der Gleichungen genutzt.

 

 

Heuristische Strategien: 
  • Beim ersten Lösungsweg ist das Systematische Probieren bei der Ermittlung der Rechteckseiten von Bedeutung.

 

  • Außerdem wird bei den Lösungen kombiniert vorwärts und rückwärts gearbeitet. So wird bei der ersten Überlegung sowohl das Gesuchte (der Flächeninhalt und in diesem Zusammenhang die Flächeninhaltsformel) als auch das Gegebene (der Umfang und die Umfangsformel für Rechtecke) visiert. Durch die Betrachtung des Gesuchten wird geschlossen, dass zunächst die Seitenlängen das Rechtecks ermittelt werden müssen. Dies entspricht einem Rückwärtsarbeiten. Die Seitenlängen werden dann mithilfe der Umfangsformel für Rechtecke unter der Berücksichtigung der Bedingung, dass a dreimal so lang ist wie b, ermittelt, was einem Vorwärtsarbeiten entspricht. Durch die anschließende Verwendung der Flächeninhaltsformel wird ebenfalls vorwärts gearbeitet.

 

 

Heuristische Prinzipien: 
  • Dadurch dass die im Text formulierte Bedingung in die mathematische Gleichung a = 3b umgewandelt wird, wird das Transformationsprinzip angewendet.

Die Aufgabe "Rechteckseiten I" hat unter Berücksichtigung des Einsatzes in einer fünften Klasse nach Cohors-Fresenborg et al. einen Schwierigkeitsgrad von ** bezüglich des ersten Lösungsweges und die Schwierigkeit *** bezüglich der zweiten Lösungsvariante.

 

 

Sprachlogische Komplexität: 

Bei der Problemlöseaufgabe ist die Aufgabenstellung zwar mit einfachen Hauptsätzen formuliert, die Reihenfolge der Satzteile entspricht aber nicht unmittelbar der Reihenfolge der Bearbeitungsschritte. Somit lässt sich die Sprachlogische Komplexität der Stufe 1 zuordnen.

 

 

Kognitive Komplexität: 

Bezüglich der Kognitiven Komplexität hat die Problemlöseaufgabe eine Schwierigkeit der Stufe 1, da Denkvorgänge parallel erfolgen müssen und Nebenbedingungen berücksichtigt werden müssen. So muss gleichzeitig das Gesuchte, nämlich der Flächeninhalt des Rechtecks, visiert werden, und überlegt werden, wie mithilfe der Umfangsformel für Rechtecke und der gegebenen Nebenbedingung über die Seitenlängen des Rechtecks dorthin gelangt werden kann. Durch eine Veränderung der Aufgabe kann die Kognitive Komplexität auch auf Stufe 2 angehoben werden (vgl. Aufgabenanalyse Rechteckseiten II).

 

 

Formalisierung von Wissen: 

Der ersten Lösungsweg lässt sich bezüglich der Formalisierung von Wissen der Stufe 1 zuordnen. Zur Lösung sind sehr einfache Darstellungskontexte (die Umfangs- und die Flächeninhaltsformel für Rechtecke) zu erfinden. Bei der Umfangsformel erfolgt die Präzisierung dabei lediglich in tabellarischer Form. Beim zweiten Lösungsweg wird diese hingegen aufgestellt und die Bedingung über die Seitenlängen wird ebenfalls in einer mathematischen Gleichung eigenständig formalisiert, somit entspricht die Formalisierung von Wissen bei letzterem Lösungsweg der Stufe 2.

 

   

Formelhandhabung: 

Beim ersten Lösungsweg müssen lediglich die Seitenlängen a und b in die Umfangs- sowie die Flächeninhaltsformel eingesetzt werden. Lösungsroutinen sind daher in einem sehr überschaubaren Maße erforderlich und die Formelhandhabung lässt sich bezüglich dieses Lösungsweges in Anbetracht der Lerngruppe einer fünften Klasse auf Stufe 1 ansiedeln. Beim zweiten Lösungsweg muss die Umfangsformel unter Berücksichtigung der Nebenbenbedingung nach den Seitenlängen a und b umgeformt werden. Dabei ist eine höhere Anzahl mathematischer Schritte erforderlich und somit lässt sich die Formelhandhabung hier in Hinblick auf den Einsatz in einer fünften Klasse auf Stufe 2 einordnen.

 

 

Stufenzuordnung: 
Formalisierung von Wissen
Stufe 1
Stufe 2
Formelhandhabung
Stufe 1
Stufe 2
Kognitive Komplexität
Stufe 1
Sprachlogische Komplexität
Stufe 1

Hilfestellungen: 

Bei der Bearbeitung der "Rechteckseiten I"-Aufgabe können Schwierigkeiten bei den Lernenden auftreten. Im Folgenden werden zwei mögliche Probleme aufgeführt und dargelegt, wie als Lehrkraft interveniert werden kann, um den Schülerinnen und Schülern nichtsdestotrotz eine selbständige Lösung des Problems zu ermöglichen.

 

Die Schülerinnen und Schüler könnten zunächst Schwierigkeiten haben, auf den gedanklichen Zwischenschritt zu kommen, die Seitenlängen des Rechtecks zu ermitteln. In diesem Fall können nachfolgende allgemein-strategische, inhaltsorientierte oder inhaltliche Hilfestellungen gegeben werden.

 

Allgemein-strategische Hilfen Inhaltsorientierte strategische Hilfen Inhaltliche Hilfen
Notiere dir wichtige Informationen, die in der Aufgabenstellung gegeben sind. Ist es möglich, mehr über die Seitenlängen des Rechtecks zu erfahren? Wovon ist der Umfang abhängig?
Was ist Gesucht? Ist die Information, dass der Umfang des Rechtecks 32 cm beträgt, für dich nützlich? Schreibe dir erst einmal die Flächeninhaltsformel für Rechtecke auf!
Welche Informationen sind nicht gegeben? Was benötigst du, um den Flächeninhalt eines Rechtecks zu ermitteln? Wie lässt sich der Flächeninhalt von Rechtecken ermitteln?

 

 

Ein weiteres Problem könnte darin bestehen, die Umfangsformel unter Berücksichtigung der Bedingung, dass die Seitenlänge a dreimal so lang wie die Seitenlänge b ist, zu verwenden, um die Seitenlängen zu ermitteln. Diesem kann wie folgt entgegengewirkt werden.

 

Allgemein-strategische Hilfen Inhaltsorientierte strategische Hilfen Inhaltliche Hilfen
Welche Informationen sind gegeben? Wie kannst du die Seitenlängen mit den gegebenen Informationen ermitteln? Wovon ist der Umfang eines Rechtecks abhängig?
Was weißt du über das gegebene Rechteck? Kannst du die gegebene Bedingung über das Seitenverhältnis mathematisch formalisieren? Wie lässt sich der Umfang eines Rechtecks ermitteln?
Welche Informationen über das Rechteck fehlen? Kannst du eine Gleichung in Abhängigkeit von einer Seitenlänge aufstellen? Schreibe dir die Umfangsformel für Rechtecke auf!

 

 

Sozialformen: 
  • erster Aufgabenteil: Einzelarbeit
  • Vergleich der Lösungswege untereinander: Partnerarbeit

 

 

Differenzierungsmöglichkeiten: 

Für leistungsschwächere Schülerinnen und Schüler kann die Aufgabe auf folgende Weise vereinfacht werden:

  • Es kann ein zusätzlicher Hinweis gegeben werden ("Hinweis: Ermittle zunächst die Seitenlängen a und b, um den Flächeninhalt berechnen zu können."). Durch einen solchen Hinweis wird ihnen ein Denkschritt beim kombinierten Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten abgenommen. Sollten nichtsdestotrotz Probleme vorherrschen, so können weitere Maßnahmen ergriffen werden, wie z.B. die Vorgabe der Umfangs- und Flächeninhaltsformel für Rechtecke.

 

  • Eine weitere Möglichkeit, um solchen Lernenden die Lösung der Aufgabe zu erleichtern, jedoch nicht abzunehmen, wäre es, ihnen eine Schnur der Länge 32 cm zu geben, sodass die Lösung durch eigene motorische Handlung erfolgen kann.

 

Für leistungsstärkere Schülerinnen und Schüler kann die Aufgabe wie folgt schwieriger gestaltet werden:

  • Das Verhältnis von a zu b kann beispielsweise in Brüchen angegeben werden. Die verschiedenen Möglichkeiten das Verhältnis von den Seitenlängen a und b zu beschreiben, können den Schwierigkeitsgrad der Aufgabe wesentlich beeinflussen. Hieran muss selbstverständlich der angegebene Umfang angepasst werden, sodass eine für eine fünfte Klasse angemessene Rechnung entsteht.

 

  • Die Aufgabenstellung kann um die Skizze reduziert werden, sodass die Schülerinnen und Schüler selbst auf die Idee kommen müssen, sich zur besseren Vorstellung eine Skizze zu zeichnen.

 

  • Die Aufgabenstellung kann so verändert werden, dass die Variablen a und b nicht mehr gegeben sind, sondern von den Schülerinnen und Schülern selbst eingeführt werden müssen. Die Aufgabenstellung könnte dann folgender Maßen formuliert werden:

"Die längere Seite eines Rechtecks ist dreimal so lang wie die kürzere Seite. Der Umfang des Rechtecks beträgt 32 cm. Wie groß ist der Flächeninhalt? Bespreche mit deinem Nachbarn eure Lösungen! Vergleicht sie! Habt ihr gleich gerechnet oder verschiedene Lösungswege gefunden?"

 

  • Außerdem kann die Aufgabe für leistungsstärkere Schülerinnen und Schüler spezialisiert werden, indem die Bedingung "Die längere Seite ist dreimal so lang wie die kürzere Seite" durch die Bedingung "Die längere Seite eines Rechtecks ist mehr als dreimal so lang wie die kürzere Seite" ersetzt wird. Der Umfang von 32 cm könnte dann durch einen Umfang von 26 cm ersetzt werden. In diesem Fall kann die Aufgabe neben der tabellarischen Lösung und der Bearbeitung mithilfe von Gleichungen auch mit einer informativen Figur gelöst werden. In dieser leicht abgewandelten Aufgabe muss nun eine komplexere Bedingung für das Verhältnis zwischen den Seitenlängen des Rechtecks berücksichtigt werden. Zunächst müssen ausgehend von der vorhandenen Angabe des Umfangs (26 cm) die Seiten berechnen. Dafür notwendig ist das Erarbeiten der Gleichung \(b = 3a + x\). Erst nachdem mithilfe dieser die Seitenlängen ermittelt worden sind, kann mit der Gleichung für den Flächeninhalt eines Rechtecks die ursprünglich gestellte Aufgabe gelöst werden (Kuntzsch & Petsch, 2017). Eine Analyse zu der hier beschriebenen abgewandelten Aufgabe ist unter Rechteckseiten II zu finden.

Die Aufgabe "Rechteckseiten I" ist besonders für das problemstrukturierte Üben geeignet. Sie regt die Schülerinnen und Schüler zum (systematisches) Probieren, Forschen und Problemlösen an und trainiert gleichzeitig Rechenfertigkeiten (vgl. Wittmann & Müller, 1992). Sie fordert die Lernenden dazu auf, den Flächeninhalt eines Rechtsecks zu berechnen. Hierzu fehlen diesen jedoch die Angaben über die Seitenlängen a und b. Somit stehen die sie vor einem Problem und können selbst entscheiden auf welchem Weg sie dieses lösen. Die dazu erforderlichen Maßnahmen oder Schritte können sie nicht einfach aus dem Gedächtnis abrufen, sondern müssen sie selbst konstruieren (Strohschneider, 1996). Im Rahmen ihres Lösungsweges können sie dann bereits bekannte Rechenstrategien anwenden, üben und festigen sowie neue Strategien ausprobieren und erforschen.



Bearbeitet von: Elisa Böhme, Maaike Küper (überarbeitet von Marisa Pfläging)
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