Die Aufgabe "Schachtelproblem" lässt sich bereits in der fünften Klasse im Rahmen der Unterrichtsthematik Volumenberechnung einsetzen. Allerding kann es sein, dass die Schülerinnen und Schüler zu diesem Zeitpunkt noch nicht die Volumenformel für Quader kennen, welche laut LISUM (2015) für die Niveaustufe D (vgl. S.24), also die Jahrgangsstufe 5/6, angesetzt ist. Aber auch ohne Volumenformel kann die Aufgabe gelöst werden (vgl. Lösungsweg 2), die Aufgabe könnte somit auch als Einstieg in die Volumenberechnung von Quadern dienen, indem im Anschluss daran gemeinsam überlegt wird, wie die Aufgabe gelöst werden könnte, ohne zu basteln und abzumessen (vgl. "Lösungsvariante 2"). Ein solcher Einsatz erfordert jedoch eine stärkere Lenkung der Schülerinnen und Schüler (vgl. Abschnitt "Einsatzmöglichkeiten").

Mit der Aufgabe "Schachtelproblem" werden die inhaltsbezogene Kompetenzbereiche [L2] Größen und Messen und [L3] Raum und Form sowie die prozessbezogenen Kompetenzbereiche [K2] Probleme mathematisch lösen und [K6] Mathematisch kommunizieren aus dem brandenburgischen Rahmenlehrplan (Teil C) Mathematik für die Jahrgangsstufen 1-10 (LISUM (2015)), der ab dem Schuljahr 2017/18 gültig ist, gefördert.

Inhaltsbezogene Kompetenzformulierungen

Raum und Form [L3]

Kompetenz 1: Die Schülerinnen und Schüler stellen sich mithilfe einer gegebenen Konstruktionsskizze vor, wie sie eine ensprechende Schachtel basteln können.

"Die Schülerinnen und Schüler können Modelle ausgewählter Körper herstellen [...]" (LISUM (2015), Geometrische Objekte darstellen, Niveaustufe C, S.26)

Erläuterung: Die Aufgabe gibt den Schülerinnen und Schülern eine Abbildung vor, die die gegebenen Informationen darstellt. Diese müssen sie korrekt erfassen können, um die Aufgabe zu verstehen. Dadurch wird deutlich, welche Seitenstücke von dem großen Quadrat hochgeklappt werden (entspricht der Höhe \(h\)) und welche die Seitenlänge \(s\) der Grundfläche ist. Im Weiteren müssen die Lernenden erkennen, welche der Längen sie zur Berechnung des Volumens der Schachtel brauchen. All diese Gegebenheiten müssen sie der Darstellung entnehmen, um zu rechnen und dann das größtmögliche Volumen mit der zugehörigen Seitenlänge anzugeben.

Größen und Messen [L2]

Kompetenz 2: Die Schülerinnen und Schüler nutzen die Größen "Länge" und "Volumen" und die zugehörigen Einheiten "cm" und "cm³" sowie ggf. "dm³" und "Liter".

"Die Schülerinnen und Schüler können die verschiedenen Größen und ihre Einheiten nutzen (auch Flächeninhalt, Volumen [...])" (LISUM (2015), Vorstellungen zu Größen und ihren Einheiten nutzen, Niveaustufe D, S.24)

Erläuterung: Die Aufgabe gibt Längen in cm vor. Die Begriffe Seitenlänge, Grundfläche und Volumen müssen den Schülerinnen und Schülern bekannt sein, damit sie die Aufgabe lösen können. Außerdem ist zu beachten, dass die geforderte Seitenlänge der Grundfläche in cm und das größtmögliche Volumen in cm³ angegeben werden soll, was voraussetzt, dass die Lernenden die verschiedenen Einheiten der Größen kennen und damit sicher umgehen.

Kompetenz 2: Die Schülerinnen und Schüler berechnen Volumina von Quadern.

"Die Schülerinnen und Schüler können Größen messen (auch Volumina [...])", (LISUM (2015), Größenangaben bestimmen, Niveaustufe D, S.24)

Erläuterung: Die Lösung der Aufgabe beinhaltet die Angabe des größtmöglichen Volumens der Schachtel. Dazu müssen die Schülerinnen und Schüler die Formel zur Berechnung des Volumens beherrschen sowie mit der Einheit cm³ arbeiten können. Um die gelernte Formel anzuwenden, müssen sie die benötigte Länge, Breite und Höhe der Schachtel herausfinden. Sind diese Werte gefunden, können die Lernenden sie in die Formel einsetzen und das Volumen errechnen.

Prozessbezogene Kompetenzformulierungen

Probleme mathematisch lösen [K2]

Kompetenz 4: Die Schülerinnen und Schüler nutzen zur Lösung von mathematischen Problemen die Lösungsstrategie des systematischen Ausprobierens.

"Die Schülerinnen und Schüler können Lösungsstrategien (z. B. vom Probieren zum systematischen Probieren) entwickeln und nutzen" (LISUM (2015), S.19)

Erläuterung: Zur Lösung kann nicht durch reines Nachdenken gelangt werden, sondern durch Finden verschiedener Werte, die in die Volumenformel eingesetzt werden oder mithilfe derer verschiedene Modelle hergestellt werden und das Volumen abgemessen wird. Die so erhaltenen Volumina werden anschließend verglichen, damit der größten Wert gefunden wird. Hierzu werden systematisch verschiedene Werte probiert und mit ihnen das Volumen errechnet, bzw. es werden verschiedene Modelle hergestellt und mit diesen wird das Volumen abgemessen. Aus dem Probieren wird dabei ein systematisches Probieren, weil mit einem Wert gestartet wird, der schrittweise vergrößert/verkleinert wird und dabei die Entwicklung des Volumens beobachtet wird. So kann erkannt werden, dass das Volumen bei einer bestimmten Seitenlänge am größten ist. Wird zur Überprüfung mit der nächsten Zahl weiter gerechnet, nimmt es wieder ab. Somit führt das systematische Probieren zur Lösung der Aufgabe.

Kompetenz 5: Die Schülerinnen und Schüler wenden zum Problemlösen die heuristischen Hilfsmittel der Tabelle und der informativen Figur (, ggf. auch der Gleichungen) an.

"Die Schülerinnen und Schüler können heuristische Hilfsmittel zum Problemlösen anwenden" (LISUM (2015), S.19)

Erläuterung: Beim Schachtelproblem bietet es sich an, die Lösungen in einer Tabelle festzuhalten und/oder eine informative Figur zum besseren Verständnis und zur Anschaulichkeit zu nutzen. Bei einer Tabelle können die verschiedenen Versuche mit verschiedenen Zahlen in übersichtlicher Form notiert werden. Es lässt sich damit gut erkennen, welche Werte schon in die Formel eingesetzt wurden und wie sich das Volumen entwickelt hat. Mithilfe einer informativen Figur, die die Aufgabe auch schon vorgibt, können sich die gegebenen Werte besser vorgestellt werden und anhand dieser kann verstanden werden, was gefordert ist. Werden die veränderten Seitenlängen in die informative Figur eingetragen, ist es einfacher zu erkennen, welchen Wert die Höhe annimmt. So wird das Finden der Werte zum Einsetzen in die Volumenformel erleichtert.

Mathematisch kommunizieren [K6]

Kompetenz 6: Die Schülerinnen und Schüler dokumentieren die eigenen Problembearbeitungen nachvollziebar.

"Die Schülerinnen und Schüler eigene Problembearbeitungen und Einsichten dokumentieren und darstellen" (LISUM (2015), S.21)

Erläuterung: Die Aufgabe ist kaum im Kopf zu lösen, da zunächst die möglichen Seitenlängen einer Schachtel ermittelt werden müssen, mithilfe derer dann das jeweilige Volumen berechnet werden kann. Es ist somit unumgänglich die Herangehensweise festzuhalten, um die verschiedenen Schritte zu verstehen. Dies ist sowohl während der Bearbeitung wichtig, da dann erkannt werden kann, mit welchen Werten schon gerechnet wurde, als auch danach, um Fehler erkennen und berichtigen zu können.

In Anbetracht des Einsatzes der Aufgabe in einer fünften Klasse hat das Schachtelproblem nach Cohors-Fresenborg et al. bezüglich des ersten Lösungsweges einen Schwierigkeitsgrad von *** und bezüglich der zweiten Lösungsvariante von **.

Da in dieser Aufgabe ein Volumen berechnet werden muss und dies erst ab der fünften Klasse behandelt wird, eignet sich diese Aufgabe nur bedingt zum Einstieg in das Thema. In einem solchen Fall ist eine stärkere Lenkung durch die Lehrperson erforderlich, damit die Schülerinnen und Schüler zunächst auf den zweiten Lösungsweg gelangen. Es könnte mit den Lernenden gemeinsam erarbeitet werden, welche Möglichkeiten es für die Seitenlängen einer solchen Box gibt. Außerdem könnten im Plenum vor dem Abmessen in Form von Klassenabstimmungen Vermutungen generiert werden, in welche Box wohl am meisten Reis hineinpasst. Somit würden alle Schülerinnen und Schüler angesprochen und für den folgenden Unterricht aktiviert werden. Die Gleichung für die Dichte ist den Lernenden zu Beginn der fünften Klasse noch nicht bekannt, deshalb müsste auf diese verzichtet werden und es kann erst einmal nur mit der Masse argumentiert werden. Den Schülerinnen und Schülern könnte dann Papier zur Verfügung gestellt werden, sodass sie (arbeitsteilig) die verschiedenen Boxen basteln und mit diesen messen, wieviel Reis damit jeweils abgefüllt werden kann. Im Anschluss daran könnten die verschiedenen Messwerte festgehalten werden und jeder kann für sich herausfinden, ob er mit seiner Vermutung richtig lag. Die Aufgabe kann somit gemeinsam beantwortet werden. Im weiteren Unterricht könnte dann thematisiert werden, wie der Inhalt der Schachtel genau ermittelt werden kann und es kann zur Größe des Volumens und deren Einheit hingeleitet werden. Bei diesem Einsatz der Aufgabe wird allerdings das eigenständige Problemlösen der Schülerinnen und Schüler weniger gefördert, da die Vorgehensweise für die Bearbeitung der Aufgabe bereits durch das lehrergelenkte LehrerInnen-SchülerInnen-Gespräch vorgegeben wird. Müssten die Schülerinnen und Schüler die Aufgabe ohne das Wissen über die Volumenberechnung eigenständig lösen, so würden sie die Motivation verlieren, da sie die Aufgabe nicht lösen können. Es bestünde allerdings die Möglichkeit die Aufgabe wie oben beschrieben am Anfang der Unterrichtseinheit vorzustellen, die Aufgabe gemeinsam nachzuvollziehen und die Lernenden Lösungsideen entwickeln zu lassen. Es würde klar werden, dass man zur Lösung ein Volumen berechnen muss, worauf man in der folgenden Stunde näher eingeht. Am Ende der Unterrichtseinheit könnte man auf die Aufgabe zurückkommen und sie könnte mit dem nötigen Wissen gelöst werden.

Darüber hinaus eignet sich die Aufgabe aber insbesondere auch zur vertiefenden Übung mit einem forschenden Charakter. Erst wenn schon Wissen über die Volumenberechnung vorhanden ist, sollte diese Aufgabe als Übung vorgestellt werden. Die Schülerinnen und Schüler können sich dann auf das Verstehen der Aufgabe konzentrieren und überlegen, wie sie diese lösen könnten. Dabei wählen sie selbst den Lösungsweg, der ihnen am vorteilhaftesten erscheint. Sie erforschen, wie sich das Volumen durch die Veränderung der Werte vergrößert oder verkleinert und wann das Maximum erreicht ist.