Spidercam im Raum

Fehlermeldung

Deprecated function: The each() function is deprecated. This message will be suppressed on further calls in FieldCollectionItemEntity->fetchHostDetails() (Zeile 313 von /www/htdocs/w0127817/beta.proffi-m.de/sites/all/modules/field_collection/field_collection.entity.inc).
Klasse Schulstufe Thema Themengebiet Schwierigkeit
11/ 12/ 13 Sekundarstufe II Modellieren mit Vektoren Größen und Messen, Raum und Form **

Aufgabenstellung


Über einem Fußballfeld mit 110 m Länge und 80 m Breite ist eine Spidercam installiert. Die Seile sind in 30 m Höhe an den Masten angebracht. Der Koordinatenursprung sei so gewählt, dass die Breite auf der X-Achse und die Länge auf der Y-Achse abgetragen wird.
Ein Vorteil der Spidercam ist die Möglichkeit Flugbahnen einzuprogrammieren, welche auf Knopfdruck ausgeführt werden. Für die Einspielung der Werbung während der Halbzeit soll die Kamera von ihrer Startposition A(40,30,30) einen Flug zur anderen Spielfeldseite vollziehen und im Punkt B(70,90,20) zum Stillstand kommen. Während des Fluges soll sie eine feste Blickrichtung haben. Dabei soll der Spielfeldmittelpunkt kurz im Zentrum der Kamera zu sehen sein. Der Kameramann programmiert für die Spidercam den Blickrichtungsvektor (-6,-6,-7) ein.
Wird das Gewünschte eintreten? Gib möglichst viele Lösungswege an!
 
 
 
 

Lösungsvariante 1

Aus den beiden Punkten A und B lässt sich eine Geradengleichung aufstellen. Der gegebene Richtungsvektor \(\vec{v}\) spannt zusammen mit dieser Gerade eine Ebene auf (vgl. Abb.). Die Ebene ist die Menge aller möglichen Geraden, welche als „Blickstrahlen“ der Spidercam interpretiert werden können. Natürlich muss hier zwischen mathematischer Darstellung und realer Situation differenziert werden, da diese Hilfsebene auch alle „Blickstrahlen“ in negativer Blickrichtung enthält, was in der realen Situation nicht der Fall ist. Das Überprüfen, ob der Mittelpunkt im Fokus der Spidercam liegt, kann nun durch Einsetzen des Punktes M in die aufgestellte Ebenengleichung erfolgen. Dies mündet in einem linearen Gleichungssystem, welches auf Lösbarkeit zu überprüfen ist.

 
Text
                                          Abb. 1: Hilfsebene (rot)

 

 
 
 

Lösungsvariante 2

Eine andere Herangehensweise nimmt den Mittelpunkt des Spielfeldes als Ausgangspunkt für die weiteren Überlegungen. Setzt man an diesen Punkt den negativen Blickrichtungsvektor, so ergibt sich wieder eine Gerade. Natürlich hat das Negieren des Vektors aus mathematischer Sicht keinen Sinn, allerdings sei der Vektor hier so gewählt, um das perspektivische Vorstellungsvermögen zu unterstützen. Mit dem Mittelpunkt und dem Vektor lässt sich nun eine Gerade konstruieren. Diese stellt die Blicklinie entgegengesetzt der vorgegeben Richtung dar und besitzt den Mittelpunkt als Startpunkt. Sofern der Mittelpunkt die gewünschte Eigenschaft aus der Aufgabenstellung erfüllt, müsste die so beschriebene Blicklinie auf die Verbindungsgerade treffen, welche zwischen dem Start- und Endpunkt der Kamerabewegung konstruiert werden kann. Die Abbildung zeigt die Situation. Mathematisch ausgedrückt folgt:

 

                                      Abb.2: Schnittproblem Gerade-Gerade
 
 

Nach dem Rahmenlehrplan für den Unterricht der gymnasialen Oberstufe des Landes Brandenburg (2012) ist die Einführung in das Gebiet der Analytischen Geometrie im 3. Quartal der Sekundarstufe II angesetzt. Für multiple, differenzierte Lösungsmöglichkeiten wird eine gewisse thematische Grundlage vorausgesetzt. Daher wird der Einsatz auf globaler Ebene eher in der Mitte des Halbjahres liegen. Allerdings ist es auch denkbar die Aufgabe am Ende des Halbjahres als Übungsproblem zu nutzen, um einen breiten Bereich der typischen analytischen Schnittprobleme im Hinblick auf die bevorstehenden Abiturprüfungen abzudecken.

Die Kultusministerkonferenz formuliert die Ziele des Mathematikunterrichts, welche zusammenfassend als „Entwicklung eines gesicherten Verständnisses mathematischer Inhalte" (Kultusministerkonferenz (KMK) 2005, S. 6) ausgedrückt werden. Zur Umsetzung der Ziele sollen sowohl inhalts-, als auch prozessbezogene Kompetenzen erworben werden. Als inhaltsbezogene Kompetenzen sind hier die Kenntnisse und Fertigkeiten wie bspw. die sofortige Verfügbarkeit einfacher Operationen (Einmaleins), oder das Messen und Verstehen von Größen von Bedeutung. Die inhaltsbezogenen Kompetenzen werden differenziert nach: (L1) Umgang mit Zahlen und Operationen, (L2) Umgang mit Größen und Messen, (L3) Raum und Form (L4) Umgang mit Gleichungen und Funktionen und (L5) Daten und Zufall.    
Auf der anderen Seite stehen die prozessbezogenen Kompetenzen. Sie besitzen eine größere Bedeutung und sind essentiell für eine verständnisorientierte mathematische Grundbildung, sowie „für eine erfolgreiche Nutzung und Aneignung von Mathematik (Kultusministerkonferenz (KMK) 2005, S. 7). In den Bildungsstandards wird der Begriff eingeteilt in: (K1) Mathematisch argumentieren, (K2) Probleme mathematisch lösen, (K3) Mathematisch modellieren, (K4) Mathematische Darstellungen verwenden, (K5) Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen und (K6) Mathematisch kommunizieren.
Aus dem RLP geht hervor, dass sich die inhaltliche Gestaltung des Themengebiets der Analytischen Geometrie vor allem aus den Leitideen „Raum und Form“ und „Messen“ zusammensetzt. Demnach wird sich dem Grundgedanken der analytischen Geometrie durch konkrete Darstellungs-, Lage- oder Vermessungsprobleme genähert, bei denen eine Koordinatisierung erforderlich ist.
 
 
In Anlehnung daran und im Rahmen der vorgestellten Aufgabe werden folgende inhaltsbezogene Kompetenzen formuliert:
  1. „Schülerinnen und Schüler klassifizieren geometrische Objekte im analytischen Raum unter der Verwendung mathematisch korrekter Fachsprache und nutzen deren Eigenschaften.“ (L3)
  2. „Schülerinnen und Schüler verwenden zur Darstellung ihrer Lösungswege natürliche, ganze und/oder gebrochen rationale Zahlen“ (L1)
  3. „Schülerinnen und Schüler finden sich im 3-dimensionalen Raum zurecht und besitzen räumliches Vorstellungsvermögen, welches auch mathematische Operationen im Raum erfasst.“ (L3)
Die erste Kompetenz beinhaltet die Grundvorstellung, dass Schülerinnen und Schüler die unterschiedlichen Objekte des Raumes kennen und differenzieren können. Damit verbunden sind auch die Kenntnisse über die mathematischen Eigenschaften des Objekts, sowie deren fachliche Darstellung. Punkte können als Ortsvektoren aufgefasst und dargestellt werden und müssen hinsichtlich ihrer Bedeutung  für das Aufstellen einer Geradengleichung differenziert werden.
Die zweite Kompetenz zielt auf das Operieren mit den Größen ab. Die Schülerinnen und Schüler sollen hier die Kompetenz erwerben, bzw. trainieren Lösungswege möglichst verlustfrei und „mathematisch elegant“ darzustellen. So ist die ästhetischere Darstellung von Brüchen der Darstellung von Dezimalzahlen vorzuziehen, da beim Runden Informationen verloren gehen können. Des Weiteren können Vektoren vervielfacht werden, um sie als 3-Tupel ganzer Zahlen darstellen zu können.     
Die letzte inhaltliche Kompetenz wird stark von der unterrichtlichen Gestaltung der Aufgabe beeinflusst. Je nach technischer Unterstützung ergeben sich hier unterschiedliche Potentiale. Die Fähigkeit sich geometrische Objekte im Raum vorstellen zu können, und diese dann zu transformieren, ist eine eher anspruchsvolle Kompetenz. Dazu gehören bspw. Rotationen von Vektoren, Verschiebungen oder Projektionen von Objekten oder auch das Hineinversetzen in den Raum und der Perspektivwechsel in der Vorstellung. Diese Fähigkeiten erleichtern den Zugang zu Lösungen.
 
 
Als prozessbezogene Kompetenzen werden folgende Ziele formuliert:
  1. „Schülerinnen und Schüler argumentieren und begründen qualitativ die unterschiedlichen Lösungswege im Hinblick auf Operationen, verwendete Objekte und Darstellung." (K1)
  2. „Schülerinnen und Schüler agieren sicher mit geeigneten, mathematischen Darstellungsformen und erkennen Gemeinsamkeiten und Unterschiede darin." (K4)
  3. „Schülerinnen und Schüler modellieren die Realsituation in angemessener, fachlich korrekter Form und bewerten diese.“ (K2)
Lösungswege können sich stark voneinander unterscheiden, sowohl in mathematischer Form, als auch in ihrer Modellierung. Die erste Kompetenz zielt darauf ab, die verschiedenen Wege im Hinblick auf diverse praktisch orientierte Merkmale zu vergleichen. Dazu gehören  unter anderem der kognitive Aufwand zum Lösen, die Länge des Lösungswegs, bzw. der Schreibaufwand, oder die Anfälligkeit für Fehler. So ist bspw. eine kurze, äußerst komplexe Rechnung im Kontrast zu einer langen Rechnung mit simplen, elementaren Operationen zu vergleichen.
Dazu kommt der Umgang mit mathematischen Darstellungsformen von geometrischen Objekten. So ist das Gleichsetzen zweier Geradengleichungen mathematisch äquivalent zum Gleichsetzen eines Punktes mit einer Ebenengleichung. Beide Verfahren münden im Lösen eines Gleichungssystems. Die Fähigkeit solche innermathematischen Gleichheiten zu erkennen, ist hier die primäre Intention.      
Zu der letzten Kompetenz ist zu sagen, dass der Wechsel von mathematischer Realsituation und Modell zu bewerten ist. Zum Modellieren werden vorgegebene Strukturen der Realsituation systematisiert und vereinfacht. Das Interpretieren der mathematischen Ergebnisse soll in Bezug auf die Realsituation erfolgen, im Hinblick auf Stimmigkeit und Sinnhaftigkeit der Ergebnisse.

Heuristische Hilfsmittel: 
  • Die Schülerinnen und Schüler erstellen zunächst eine Situationsskizze oder veranschaulichen sich den Sachverhalt gegebenenfalls mit der dynamischen Geometriesoftware, um eine Lösungsidee zu erlangen. Es handelt sich bei der Skizze also um eine informative Figur.
  • Um zu ermitteln, ob der Spielfeldmittelpunkt M in der Ebene liegt, bzw. ob sich die Blickrichtungsgerade durch den Punkt M mit der Gerade des Seils schneidet, wird eine Ebenengleichung, bzw. werden Geradengleichungen aufgestellt und gleichgesetzt. Es werden also Gleichungen benutzt.
 
 
Heuristische Strategien: 
  • Sowohl bei Lösungsweg 1 als auch bei Lösungsweg 2 handelt es sich um kombinertes Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten.
  1. Zunächst wird vorwärts gearbeitet: Das Gegebene wird betrachtet und eine Skizze wird erstellt. Es wird deutlich, dass man Punkte, Geraden und Ebenen und deren Verhältnisse zueinander betrachten kann.
  2. Dann überlegt man sich, dass der Spielfeldmittelpunkt in der Ebene liegen muss, bzw. dass sich die Gerade, die das Seil beschreibt, und die Gerade ausgehend vom Mittelpunkt in negative Blickrichtung der Kamera schneiden müssen, damit die Kamera das gwünschte Bild erfasst. Dabei handelt es sich um ein Rückwärtsarbeiten, da das Gesuchte betrachtet wird. 
  3. Es wird nun der Mittelpunkt ermittelt und die Ebenengleichung aufgestellt, bzw. werden bei Lösungsweg 2 die beiden Geradengleichungen aufgestellt. Im Anschluss daran wird M=E, bzw. g=h gesetzt und es werden die Gleichungssysteme gelöst. Dies ist wieder ein Vorwärtsarbeiten.
  • Die Schülerinnen und Schüler wissen bereits vor dem Lösen der Aufgabe wie sie Punkte, Geraden und Ebenen in der Analytischen Geometrie formalisieren. Außerdem wissen sie, wie sie überprüfen können, ob ein Punkt in einer Ebene liegt, und ob sich zwei Geraden schneiden.  Durch das Skizzieren des Sachverhalts und schließlich das Aufstellen der Gleichungen für die jeweiligen Objekte erzeugen sie eine Situation, in der sie dieses Wissen anwenden können. Analogieschlüsse werden ermöglicht. Eine weitere Heuristische Strategie, die bei dieser Aufgabe von Bedeutung ist, ist also die Rückführung von Unbekanntem auf Bekanntes.
 
 
Heuristische Prinzipien: 
  • Bei der mathematischen Formalisierung der realen Situation, also dem Aufstellen der Ebenengleichung, bzw. der Geradengleichungen spielt das Transformationsprinzip eine Rolle. Mithilfe dieser Gleichungen kann auf die Bekannte Vorgehensweise, Objekte auf einen gemeinsamen Schnittpunkt zu überprüfen, vorgegangen werden. Das Ergebnis kann dann wieder in Bezug auf die reale Situation interpretiert werden.
 
  • Im vorherigen Unterricht haben die Schülerinnen und Schüler folgende Situationen unterschieden:
  1. Die Objekte schneiden sich. \(\rightarrow \) Es kann mit dem Gaußalgorithmus und Einsetzungsverfahren ein Schnittpunkt ermittelt werden.
  2. Die Objekte schneiden sich nicht. \(\rightarrow \) Der Gaußalgorithmus und das Einsetzungsverfahren führen zum Widerspruch.
Es gibt also zwei Fälle die in dieser Aufgabe auftreten können. Somit ist bei der Überlegung der Bedingung für einen Schnittpunkt zweier Objekte das Heuristische Prinzip der Fallunterscheidung von Bedeutung.

Es ergibt sich mit 4 erreichten Punkten ein Schwierigkeitsgrad von **.
 
 
Sprachlogische Komplexität: 
Die Spidercam-Aufgabe liegt in der Einschätzung bei Stufe 1. Der Text mag auf den ersten Blick etwas umpfangreich erscheinen, jedoch dient ein nicht unwesentlicher Teil der Einbettung in einen realen Kontext. Diese Einbettung kann auch durch Vorarbeit der Lehrkraft erfolgen. Der Aufbau weist mehrere Haupt- und Nebensatzkombinationen auf, was die Einstufung in Stufe 0 ausschließt. Die Reihenfolge der gegebenen Informationen kann aufgegriffen werden, was aber nicht zwingend ist. Fast alle zu identifizierenden Informationen sind bereits durch eine mathematische Darstellung gekennzeichnet, sodass das selektive Filtern relevanter Daten erleichtert wird. Auch dies bekräftigt die Einordnung auf Stufe 1.
 
 
Kognitive Komplexität: 
Da in der Aufgabenstellung nach möglichst vielen Lösungen gefragt ist, ist das Einstufen hier sehr schwer. Die unterschiedlichen Ansätze mögen alle in einen gewissen Rahmen der kognitiven Komplexität fallen, variieren aber untereinander. Verallgemeinert ist hier aber von Stufe 1 auszugehen. Das heißt, Denkvorgänge müssen der Bearbeitung voraus gehen. Es muss erst ein Kontextverständnis der Situation erfolgen, aus dem sich das Vorgehen ableiten lässt. Bspw. ist das Aufstellen der beiden Geradengleichungen nur dann sinnvoll, wenn diesem Schritt die Vorüberlegung voraus ging, die Geraden auf Schnittverhalten zu prüfen. Nebenbedingungen, welche in die Betrachtung einfließen müssen, sind nicht vorhanden. Das Ermitteln der Parameter aus dem Gleichungssystem liegt eher eine Ebene höher. Das algorithmische Lösen von Gleichungssystemen sollte im Allgemeinen wenig komplexe Denkvorgänge benötigen. Um aber das Gleichungssystem aufzustellen, sind eben die kognitiv anspruchsvollen Vorüberlegungen nötig, was die Einstufung erklärt.
 
 
Formalisierung von Wissen: 
Damit gemeint sind die Werkzeuge zur Präzisierung, Formalisierung und Generalisierung. Die Ausprägung liegt wieder auf Stufe 1, da zur Lösung einfache formale Darstellungen wie Geraden- und Ebenengleichungen benötigt werden. Des Weiteren ist das Aufstellen und Lösen des Gleichungssystems stark abhängig von einer geeigneten Formalisierung und Darstellung. Die Matrixschreibweise des Gleichungssystems, zusammen mit dem Gaußalgorithmus bspw. bestechen durch ihre schlichte und elegante Gestalt, ohne dass wichtige Informationen verloren gehen. Die Formalisierung und die daraus bestimmbaren Parameter des Gleichungssystems müssen noch in geeigneter Weise interpretiert werden. Eine übersichtliche und nachvollziehbare Form der Denkschritte reduziert den gedanklichen Arbeitsaufwand und erleichtert das Finden einer Lösung.  
 
 
Formelhandhabung: 
Die letzte der vier Dimensionen ist die Formelhandhabung. Diese beschreibt die metakognitive Fähigkeit, mit formalen mathematischen Ausdrücken umzugehen. Da dies vor allem das Lösen von Gleichungen und das Handhaben von Termen beinhaltet und diese in der Aufgabenlösung nötig sind, erfolgt hier die Einstufung in Stufe 1. Anlass dazu gibt vor allem wieder das zu lösende Gleichungssystems.
Unterschiedliche Lösungswege können sich in der Anzahl der Einzelschritte und der Komplexität unterscheiden. Das hängt vor allem davon ab, inwiefern „günstige“ Schritte erkannt und gehandhabt werden. Da es sich aber um einen routinierten Algorithmus handelt und das nötige algebraische Repertoire eher begrenzt ist, ist die Einstufung in Stufe 2 eher unverhältnismäßig.
 
 
Stufenzuordnung: 
Formalisierung von Wissen
Stufe 1
Formelhandhabung
Stufe 1
Kognitive Komplexität
Stufe 1
Sprachlogische Komplexität
Stufe 1

Hilfestellungen: 
Die wohl größte Schwierigkeit ist das Finden eines Lösungsansatzes. Da es eine Vielzahl an Herangehensweisen gibt, ist es schwierig allgemein formulierte Hinweise zu geben, ohne dass die Lösenden gleich auf einen festen Weg dirigiert werden. Grundlegend für das Lösen ist die Möglichkeit sich die Situation räumlich vorstellen zu können. Hier kann mit entsprechender Anschauung gearbeitet werden. Vor allem Geometriesoftware kann effektiv zum Einsatz kommen. Entweder man lässt die Schüler und Schülerinnen selbstständig arbeiten, was natürlich aufgrund der Gegebenheit, wie fehlende Computer im Raum, problematisch sein kann, oder die Lehrkraft übernimmt die Konstruktion selber. Letzteres würde aber einen Großteil der geförderten Kompetenzen übergehen, sodass diese Option nur in Ausnahmefällen zum Tragen kommen sollte. Alternativ lässt sich die Situation auch mit Schnüren, Klammern, Haken und Stativstangen (alles Materialien aus dem Physikvorbereitungsraum) aufbauen.
 
Bei Auftreten des Problems, eine Lösungsidee zufinden, können außerdem folgende Hillfen gegeben werden:
 
Allgemein-strategische Hilfen Inhaltsorientierte strategische Hilfen Inhaltliche Hilfen
Wie sieht die Situation aus? Was lässt sich aus zwei Punkten konstruieren? Konstruiere dir eine Hilfsebene!
Mach dir eine Skizze!/Baue ein Modell!/Nutze die Software zum Modellieren! Was entspräche dieser Konstruktion in der Realsituation? Was muss erfüllt sein für den Mittelpunkt und die Hilfsebene?
Welche Informationen aus dem Text sind wichtig, bzw. könnten im Modell dargestellt werden? Was lässt sich aus einem Punkt und einem Vektor konstruieren? Wie lässt sich prüfen, ob die Bedingungen für den Mittelpunkt und die Hilfsebene erfüllt sind?
Bemerkung:
Bei den allgemein-strategischen und den inhaltsorientierten strategischen Hilfen wird auf die zugänglichsten Lösungsideen abgezielt. Dabei soll selbstständig erkannt werden, was für Objekte sich aus den gegebenen Objekten konstruieren lassen und welche hilfreich sein könnten. Im Zweifelsfall lassen sich alle möglichen Folgekonstruktionen aufstellen und bei Darstellung in der dynamischen Geometriesoftware einzeichnen. Je mehr Konstruktionen, wie Geraden oder Ebenen eingezeichnet sind, desto offensichtlicher werden mögliche Relationen, die zu prüfen sind.
Erst wenn diese Hilfestellung scheitern, sind die inhaltlichen Hilfestellungen von Nöten. Bei diesen werden explizite Vorgaben gemacht. Allein der Hinweis, dass eine Ebene aufgestellt wird, schränkt die möglichen Lösungsideen ein. Das Aufstellen jener Ebene wird durch die vorigen Hinweise ergänzt, bei denen danach gefragt wurde, welche Objekte zum Aufstellen einer Ebene gebraucht werden.
Es ergeben sich also verschiedene Stufen von Hilfen, die aufeinander aufbauen und aneinander anknüpfen. Dabei sollen allerdings nur Denkanstöße gegeben werden, die zu einer möglichen Lösung führen. Der Erkenntnisprozess soll bei Schülerinnen und Schülern selbstständig erfolgen und ihnen nicht abgenommen werden.
 
 
 
Beim expliziten Bearbeiten der Aufgabe kann dann die Schwierigkeit auftreten, wie vorgegangen werden muss, um bei Lösungsvariante 1 zu prüfen, ob M in der von \(\vec{v}\) und dem Seil aufgespannten Ebene liegt, bzw. um bei Lösungsvariante 2 zu überprüfen ob die Gerade h die Gerade des Seils g schneidet.
 
Bei dieser Problematik können folgende Hinweise hilfreich sein:
 
Allgemein-strategische Hilfen Inhaltsorientierte strategische Hilfen Inhaltliche Hilfen
Veranschauliche dir, welche Möglichkeiten es für die Lage des Seils und des Blickrichtungsvektors \(\vec{v}\) in Bezug auf den Mittelpunkt M gibt. Welche Parameter sind beim Aufstellen von linearen Gleichungen in der Analysis von Bedeutung? (Welche Entsprechungen haben diese in der Analytische Geometrie?) Wie konstruiert man mithilfe der Punkte A und B eine Geradengleichung? Bzw. wie konstruiert man mithilfe des Vektors \(\vec{v}\) und der Punkte A und B eine Ebene?
Welche Informationen zur Lösung des Problems kannst du nicht direkt aus dem Text entnehmen? Was musst du zunächst ermitteln? Auf welche Weise können lineare Gleichungssystem gelöst werden? Denke an die Lineare Algebra! Wie werden Geraden und Ebenen in der analytischen Geometrie formalisiert?
Kennst du ähnliche Aufgaben? Wie bist du dort vorgegangen?
 Denke daran, wie man in der Analysis den Schnittpunkt zweier Funktionsgraphen ermittelt. Wie ermittelt man den Schnittpunkt zweier Objekte in der analytischen Geometrie? Wann schneiden sich zwei Geraden? Bzw. wie kann geprüft werden, ob ein Punkt in einer Ebene liegt?
 
 
 
 
Sozialformen: 
Einzelarbeit
Partner- oder Gruppenarbeit
 
 
Differenzierungsmöglichkeiten: 
Die Komplexität der Aufgabe wird vor allem durch ihren Arbeitsauftrag möglichst viele Lösungen zu finden getragen. Leistungsschwächere Schülerinnen und Schüler finden eventuell nur mit Hilfe einen einzigen zugänglichen Lösungsweg, während leistungsstärkere ein breites Spektrum an teils abstrakten Lösungen in derselben Zeit finden. Hierin liegt bereits eine Art Differenzierung in der Aufgabenstellung selbst vor.
 
Für leistungsschwächere Schülerinnen und Schüler kann die Aufgabe wiefolgt abgewandelt werden:
 
Vereinfachung durch Angabe von Zwischenergebnissen:
Über einem Fußballfeld mit 110 m Länge und 80 m Breite ist eine Spidercam installiert. Die Seile sind in 30 m Höhe an den Masten angebracht. Der Koordinatenursprung sei so gewählt, dass die Breite auf der X-Achse und die Länge auf der Y-Achse abgetragen wird. Ein Vorteil der Spidercam ist die Möglichkeit Flugbahnen einzuprogrammieren, welche auf Knopfdruck ausgeführt werden. Für die Einspielung der Werbung während der Halbzeit soll die Kamera von ihrer Startposition A(40,30,30) einen Flug zur anderen Spielfeldseite vollziehen und im Punkt B(70,90,20) zum Stillstand kommen. Während des Fluges soll sie eine feste Blickrichtung haben. Dabei soll der Spielfeldmittelpunkt kurz im Zentrum der Kamera zu sehen sein. Der Kameramann programmiert für die Spidercam den Blickrichtungsvektor (-6,-6,-7) ein.
Wird das Gewünschte eintreten? Gib möglichst viele Lösungswege an!
(Hinweis zur Überprüfung Ihrer Zwischenergebnisse: Spielfeldmittelpunkt M= (40, 55, 0)T ; Gerade, die die Flugbahn der Kamera beschreibt: \(g:\overrightarrow { x } ={ \left( 40,30,30 \right) }^{ T }+r\cdot { \left( 30,60,-10 \right) }^{ T }\) )
 
Durch den zusätzlich gegebenen Hinweis wird den Schülerinnen und Schülern aufgezeigt, was zunächst berechnet werden muss. Mithilfe dieser Informationen können sie sich überlegen, wie sie weiterarbeiten müssen. Darüber hinaus können sie ihre Zwischenergebnisse prüfen, was ihnen, insbesondere bei der Vorgehensweise eine Geradengleichung aufzustellen, Sicherheit gibt. Gleichzeitig wird Ihnen diese Vorgehensweise aber nicht vorgegeben, sodass die leistungsschwächeren Schülerinnen und Schüler trotzdem zum Nachdenken gefordert sind.
 
Veränderung durch Anschließen einer Frage:
Über einem Fußballfeld mit 110 m Länge und 80 m Breite ist eine Spidercam installiert. Die Seile sind in 30 m Höhe an den Masten angebracht. Der Koordinatenursprung sei so gewählt, dass die Breite auf der X-Achse und die Länge auf der Y-Achse abgetragen wird. Ein Vorteil der Spidercam ist die Möglichkeit Flugbahnen einzuprogrammieren, welche auf Knopfdruck ausgeführt werden. Für die Einspielung der Werbung während der Halbzeit soll die Kamera von ihrer Startposition A(40,30,30) einen Flug zur anderen Spielfeldseite vollziehen und im Punkt B(70,90,20) zum Stillstand kommen. Während des Fluges soll sie eine feste Blickrichtung haben. Dabei soll der Spielfeldmittelpunkt kurz im Zentrum der Kamera zu sehen sein. Der Kameramann programmiert für die Spidercam den Blickrichtungsvektor (-6,-6,-7) ein.
Wird das Gewünschte eintreten? Zeigt der Blickrichtungsvektor bei Stillstand der Kamera im Punkt B(70,90,20) auf den Spielfeldmittelpunkt? Gib möglichst viele Lösungswege an!
 
Durch die zusätzliche konkreter gestellte Frage könnte den Schülerinnen und Schüler deutlicher werden, was zu überprüfen ist.
 
Veränderung durch Visualisierung:
Über einem Fußballfeld mit 110 m Länge und 80 m Breite ist eine Spidercam installiert. Die Seile sind in 30 m Höhe an den Masten angebracht. Der Koordinatenursprung sei so gewählt, dass die Breite auf der X-Achse und die Länge auf der Y-Achse abgetragen wird. Ein Vorteil der Spidercam ist die Möglichkeit Flugbahnen einzuprogrammieren, welche auf Knopfdruck ausgeführt werden. Für die Einspielung der Werbung, während der Halbzeit soll die Kamera von ihrer Startposition A(40,30,30) einen Flug zur anderen Spielfeldseite vollziehen und im Punkt B(70,90,20) zum Stillstand kommen. Während des Fluges soll sie eine feste Blickrichtung haben. Dabei soll der Spielfeldmittelpunkt kurz im Zentrum der Kamera zu sehen sein. Der Kameramann programmiert für die Spidercam den Blickrichtungsvektor (-6,-6,-7) ein.
Wird das Gewünschte eintreten? Gib möglichst viele Lösungswege an!
 

 

Hier wird den Schülerinnen und Schülern die Situation verdeutlicht. Damit fällt der Anspruch sich die wichtigen Informationen aus der Aufgabenstellung herauszuarbeiten weg und die Schülerinnen und Schüler können sich direkt auf den Lösungsweg konzentrieren.
 
Bei diesen geringfügigen Veränderungen ist jedoch zu Beachten, dass bestimmte Kompetenzen, die in der Sekundarstufe II erreicht werden sollen, wie beispielsweise das mathematische Modellieren [K3], nicht mehr im vorherigen Maße gefördert werden, was  jedoch insbesondere für die Vorbereitung auf die Abiturprüfungen von Bedeutung ist.
 
 
 
Für leistungsstärkere Schülerinnen und Schüler kann die Aufgabe folgender Maßen variiert werden:
 
Veränderung durch Anschließen von Fragen:
Über einem Fußballfeld mit 110 m Länge und 80 m Breite ist eine Spidercam installiert. Die Seile sind in 30 m Höhe an den Masten angebracht. Der Koordinatenursprung sei so gewählt, dass die Breite auf der X-Achse und die Länge auf der Y-Achse abgetragen wird.
Ein Vorteil der Spidercam ist die Möglichkeit Flugbahnen einzuprogrammieren, welche auf Knopfdruck ausgeführt werden. Für die Einspielung der Werbung während der Halbzeit soll die Kamera von ihrer Startposition A(40,30,30) einen Flug zur anderen Spielfeldseite vollziehen und im Punkt B(70,90,20) zum Stillstand kommen. Während des Fluges soll sie eine feste Blickrichtung haben. Dabei soll der Spielfeldmittelpunkt kurz im Zentrum der Kamera zu sehen sein. Der Kameramann programmiert für die Spidercam den Blickrichtungsvektor (-6,-6,-7) ein.
Wird das Gewünschte eintreten? Gib möglichst viele Lösungswege an! Falls nein, welcher Punkt wird von der Kamera erfasst? Um wieviel Meter verfehlt der Kamerafokus den Mittelpunkt? Wie müsste der Blickwinkel der Kamera eingestellt sein, damit sie im Punkt B den Spielfeldmittelpunkt erfasst? Unter welchem Winkel trifft der Blick der Kamera dann das Spielfeld?
 
Durch das Anschließen der zusätzlichen Fragen betrachten die Schülerinnen und Schüler das Problem aus verschiedenen Perspektiven und müssen in weiteren Schritten eigenständig ermitteln, welcher Blickwinkel dann eingestellt werden muss, damit das Zentrum von der Kamera erfasst wird. Die Aufgabe wird vielfältiger. 
 
Veränderung durch Extremalisierung/durch Anschließen eines weiteren Anwendungsbezugs :
Über einem Fußballfeld mit 110 m Länge und 80 m Breite ist eine Spidercam installiert. Die Seile sind in 30 m Höhe an den Masten angebracht. Der Koordinatenursprung sei so gewählt, dass die Breite auf der X-Achse und die Länge auf der Y-Achse abgetragen wird.
Ein Vorteil der Spidercam ist die Möglichkeit Flugbahnen einzuprogrammieren, welche auf Knopfdruck ausgeführt werden. Für die Einspielung der Werbung während der Halbzeit soll die Kamera von ihrer Startposition A(40,30,30) einen Flug zur anderen Spielfeldseite vollziehen und im Punkt B(70,90,20) zum Stillstand kommen. Während des Fluges soll sie eine feste Blickrichtung haben. Dabei soll der Spielfeldmittelpunkt kurz im Zentrum der Kamera zu sehen sein. Der Kameramann programmiert für die Spidercam den Blickrichtungsvektor (-6,-6,-7) ein.
Wird das Gewünschte eintreten? Gib möglichst viele Lösungswege an! Für die Fokussierung der Kamera spielt die Entfernung der aufzunehmenden Fußballspieler eine Rolle. Wie lang ist der Blickstrahl der Kamera im Punkt A? Was ist seine minimale/maximale Länge?
 
Hier sollen die Schülerinnen und Schüler zusätzlich die minimale und maximale Länge des Blickstrahls ermitteln. Es müssen weitere Überlegungen und Berechnungen erfolgen.
 
Bei den beiden obigen Veränderungen wird die Aufgabenstellung durch Anschließen weiterer Fragen schwieriger gemacht. Weitere Fragen könnten auch von den Schülerinnen und Schülern generiert werden, sodass ein schülerzentrierterer Unterricht entsteht.
 
Erhöhung des Schwierigkeitsgrades durch Angabe unrelevanter Informationen (Verdichtung der Aufgabenstellung):
Über einem Fußballfeld mit 110 m Länge und 80 m Breite ist eine Spidercam installiert. Die Seile sind in 30 m Höhe an den Masten angebracht. Der Koordinatenursprung sei so gewählt, dass die Breite auf der X-Achse und die Länge auf der Y-Achse abgetragen wird. Bei der Kamera handelt es sich um das Modell "PX-F7K" , sie hat ein Gewicht von ca. 4,5kg, Abmessungen von 156 x 239 x 247 mm und kann bei einer Temperatur von ca. 0°C bis 40°C in Betrieb genommen werden. Ein Vorteil der Spidercam ist die Möglichkeit Flugbahnen einzuprogrammieren, welche auf Knopfdruck ausgeführt werden. Für die Einspielung der Werbung während der Halbzeit soll die Kamera von ihrer Startposition A(40,30,30) einen Flug zur anderen Spielfeldseite vollziehen und im Punkt B(70,90,20) zum Stillstand kommen. Während des Fluges soll sie eine feste Blickrichtung haben. Dabei soll der Spielfeldmittelpunkt kurz im Zentrum der Kamera zu sehen sein. Der Kameramann programmiert für die Spidercam den Blickrichtungsvektor (-6,-6,-7) ein.
Wird das Gewünschte eintreten? Gib möglichst viele Lösungswege an!
 
Durch die vielen gegebenen Informationen sind die Schülerinnen und Schüler zusätzlich gefordert, die für die Bearbeitung relevanten Informationen herauszufiltern. Außerdem ist die Modellbildung schwieriger, da die Lernenden durch die zusätzlichen Informationen zum Beispiel auf den Gedanken kommen könnten, dass das Seil beispielsweise durch das Gewicht der Kamera heruntergezogen wird. Im mathematischen Modell wird das Problem aber auf die wesentlichen Punkte reduziert und das Seil wird als Gerade mathematisch formalisiert.

Die Aufgabe ist so konzipiert, dass sie nichts Neues, sondern nur bereits vorhandenes Wissen abverlangt. Das bedeutet, dass die Grundbegriffe der analytischen Geometrie, wie z.B. Punkt, Vektor, Gerade, Ebene und die Lösungen derer Schnittprobleme bereits zusammengestellt wurden und somit den Schülerinnen und Schülern zur Verfügung stehen. Gegebenenfalls muss dieses Wissen erst reaktiviert werden, wenn eine längere Zeit zwischen Erarbeitung und Aufgabeneinsatz liegt. Daher ist die Aufgabe als problemorientierte Übungsaufgabe sinnvoll, nach Erarbeitung aller Schnittprobleme. Hinzu kommt, dass die Aufgabe und vor allem ihre Diskussion eine Gegenüberstellung der Verfahren nach sich zieht. Der direkte Vergleich, im Bezug auf Unterschiede und Gemeinsamkeiten der einzelnen Herangehensweisen hat dabei eine sinnstiftende, vernetzende Funktion. Schülerinnen und Schüler sind in der Lage Strukturen und mathematische Zusammenhänge selbst zu erkennen. Dabei soll ein verständnisfördernder Zusammenhang erkannt werden, welche eine übergeordnete Betrachtungsweise erleichtern soll. Diese Eigenschaften korrelieren mit den Merkmalen des produktiven Übens. So ist bspw. auch die Selbstdifferenzierung ein Indikator dafür. Im Unterricht wäre es sinnvoll die Aufgabe so zu stellen, dass erst in Einzelarbeit darüber nachgedacht werden soll. Die Lernenden sind aufgefordert die gegebenen Informationen zu verarbeiten und zu verstehen. In dieser Phase soll selbstständig Wissen reaktiviert werden und konstruktivistisch vorhandene Wissensstrukturen nach Möglichkeiten zur Bearbeitung durchsucht werden. Um sicher zu stellen, dass sie sich auch auf das Problem einlassen und sich der Problemstellung zuwenden, ist hier die Einzelarbeit legitimiert. Methodisch sollten die Schülerinnen und Schüler angehalten werden erste Lösungskonzepte skizzenhaft festzuhalten, was gegebenenfalls auch die räumliche Vorstellung der Problemsituation fördern kann. In dieser Phase kann die Lehrperson noch aktiv und individuell auf Verständnisprobleme eingehen.          
Um zu verhindern, dass Schülerinnen und Schüler sich zurückziehen und ihre Ansätze und Ideen weiterbearbeiten, kann im Anschluss eine Partner- oder Gruppenarbeit genutzt werden. Hier im Austausch mit Anderen werden gezielt weitere Kompetenzen gefördert. Die Lernenden müssen interagieren und argumentieren und ihre Ansätze perspektivisch an andere Schülerinnen und Schüler vermitteln. Hier sollten dementsprechend diverse Hilfsmittel zur Visualisierung und Präsentation gestellt werden. Stäbe, Schrauben, Schnüre, Klammern und eventuell ein Laserpointer wären eine analoge Möglichkeit diesbezüglich. Eine elegantere Alternative bietet die dynamische Geometriesoftware. Letztere bietet den Vorteil, dass das Problem dynamisch betrachtet und verändert werden kann, was einigen heuristischen Strategien zugutekommt. Als problematisch könnte sich die notwendige Vertrautheit mit dem Programm erweisen. Sollte das Konstruieren mittels Software, aufgrund von Programmierschwierigkeiten zu zeitintensiv sein, so sollte hier helfend eingegriffen werden. Hier ist es auch sinnvoll, wenn die Lehrkraft eine entsprechende Konstruktion bereit hat, welche beim Zusammentragen und präsentieren einzelner Ansätze zum Einsatz kommen könnte.
 
 


Bearbeitet von: Willi Borde (überarbeitet von Marisa Pfläging)
nach oben
550 Nutzer/-innen haben abgestimmt.

Feedback

Wir freuen uns auf Ihre Anregungen und konstruktive Rückmeldung zum Material.