Tonklötze

Fehlermeldung

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Klasse Schulstufe Thema Themengebiet Schwierigkeit
5/ 6 Primarstufe Volumen und Oberflächeninhalt von Quadern Größen und Messen, Raum und Form ***
Heuristsche Hilfsmittel Heuristische Prinzipien Heuristische Strategien
Informative Figur, Tabelle Invarianzprinzip Rückwärtsarbeiten, Systematisches Probieren

Aufgabenstellung

Der Künstler Heinrich Sumpf hat bei seinem Großhandel 24 Klötze Ton bestellt. Die Klötze haben eine quadratische Grundfläche aber zwei unterschiedliche Größen. Die kleineren haben eine Seitenlänge von \({ a }_{ 1 }=10cm\) und eine Höhe von \({ h }_{ 1 }=8cm\), die größeren die Seitenlängen \({ a }_{ 2 }=20cm\) und die Höhe \({ h }_{ 2 }=13cm\). Da er ziemlich große Plastiken herstellt, formt Herr Sumpf gleich aus 2 Klötzen unterschiedlicher Größe jeweils einen neuen, größeren. Diese neuen Klötze haben dann wieder eine quadratische Grundfläche und eine Höhe von \(h=15cm\).
Danach packt Herr Sumpf den Ton noch in Folie ein, um ihn vor dem Austrocknen zu schützen. Damit er aber die Folie passend zuschneiden kann, muss er wissen, wie groß die Oberfläche der neuen Klötze ist. Kannst du helfen?

Quellenangabe:

Bruder, R. (2018). Material Mathe+x. Geometrische Körper. Abgerufen von http://www.problemloesenlernen.dvlp.de/files/material/klasse5/Geometrie-geometrische_%20Koerper.pdf


gegeben:

\({ a }_{ 1 }=10cm\)

\({ h }_{ 1 }=8cm\)

\({ a }_{ 2 }=20cm\)

\({ h }_{ 2 }=13cm\)

\(h=15cm\)

Anzahl der neu entstehenden Klötze: \(12\)

 

gesucht:

Oberflächeninhalt \({ A }_{ O }\) eines neuen Tonklotzes;

gesamte benötigte Folie \({ A }_{ Folie }\)

 
 
 
 
Lösungsweg
 

Aus einem kleineren und einem größeren Klotz wird ein neuer größerer Klotz geformt:

 

 

 + =
Bei den drei Tonklötzen handelt es sich jeweils um einen Quader mit einer quadratischen Grundfläche:

 

 

 +

 

 =

 

Die Seitenlänge a der Grundfläche des neuen Klotzes ist unbekannt. Diese ist allerdings notwendig, um den Oberflächeninhalt eines neuen Klotzes zu ermitteln.

Da ein neuer Klotz aus einem der kleineren und einem der größeren ursprünglichen Klötze geformt wird, ergibt sich das Volumen eines neuen Klotzes aus der Summe der Volumina \({ V }_{ 1 }\) und \({ V }_{ 2 }\) der beiden ursprünglichen Klötze:

 

\({ V }_{ 1 }={ a }_{ 1 }\cdot { a }_{ 1 }\cdot { h }_{ 1 }=10\cdot 10\cdot 8=800 [cm³]\)
\({ V }_{ 2 }={ a }_{ 2 }\cdot { a }_{ 2 } \cdot { h }_{ 2 }=20\cdot 20\cdot 13=5200 [cm³]\)
\(V={ V }_{ 1 }+{ V }_{ 2 }=800+5200=6000 [cm³]\)

 

Jeder neue Tonklotz hat also ein Volumen von \(6000 cm³\).

Für das Volumen eines Quaders mit der Höhe \(h\), der Breite \(b\) und der Länge \(l\) gilt:

\(V=h\cdot b\cdot l\)

 

Bei der weiteren Lösung kann nun (je nach vorhandenem Vorwissen der Lernenden) unterschiedlich vorgegangen werden:

Möglichkeit 1 (ab Jahrgangsstufe 5):

Somit ergibt sich für das Volumen des neuen Klotzes \(V=a\cdot a\cdot h\). Mit dieser Gleichung lässt sich die gesuchte Seitenlänge \(a\) des neuen Quaders ermitteln:

 

  \(6000=a\cdot a\cdot 15\) |\(\div \quad 15\)
\(\Leftrightarrow \) \(400=a\cdot a\)  

 

Da \(400=a\cdot a\) noch nicht gelöst werden kann, wird abgeschätzt und ausprobiert, für welche \(a\) die Gleichheit gilt:

 

\(a\quad (in\quad cm)\) \(a\cdot a\quad (in\quad cm²)\) \(Bemerkung\)
2 4 viel zu klein
10 100 immer noch zu klein
40 1600 viel zu groß
25 625 immer noch zu groß
20 400 Das passt!

 

Die Seitenlänge \(a\) der quadratischen Grundfläche beträgt damit \(20 cm\).

 

Möglichkeit 2 (ab Jahrgangsstufe 9):

Somit ergibt sich für das Volumen des neuen Klotzes \(V=a\cdot a\cdot h\). Mit dieser Gleichung lässt sich die gesuchte Seitenlänge \(a\) des neuen Quaders ermitteln:

 

  \(6000=a\cdot a\cdot 15\) |\(\div \quad 15\)
\(\Leftrightarrow \) \(400=a\cdot a\) | \(\sqrt { } \)
\(\Rightarrow \) \(20 [cm]\quad =\quad a\)  

 

Die Seitenlänge \(a\) der quadratischen Grundfläche beträgt damit \(20 cm\).

 

Sowohl bei Möglichkeit 1 als auch bei Möglichkeit 2 kann im weiteren wie folgt vorgegangen werden:

  \({ A }_{ O }=2\cdot { A }_{ Grundfläche }+4{ \cdot A }_{ Seitenfläche }\)
\(\Rightarrow \) \({ A }_{ O }=2\cdot a\cdot a+4\cdot a\cdot h\)
\(\Rightarrow \) \({ A }_{ O }=2\cdot 20\cdot 20+4\cdot 20\cdot 15\)
\(\Leftrightarrow \) \({ A }_{ O }=2000 [cm²]\)

 

Der Oberflächeninhalt eines neuen Tonklotzes beträgt somit \(2000 cm²\).

Da aus \(24\) Tonklötzen \(12\) neue entstehen, wird Folie von der \(12\)-fachen Größe des Oberflächeninhalts eines neuen Tonklotzes benötigt.

 

  \({ A }_{ Folie }=12\cdot { A }_{ O }\)
\(\Rightarrow \) \({ A }_{ Folie }=12\cdot 2000\)
\(\Leftrightarrow \) \({ A }_{ Folie }=24000 [cm²]\)
\(\Leftrightarrow \) \({ A }_{ Folie }=24 [m²]\)

 

Insgesamt benötigt Herr Sumpf damit Folie der Fläche \(24 m²\).


Die Aufgabe lässt sich vom Ende der 5. Klasse bis zum Ende der 6. Klasse einsetzen, da sich alle formulierten inhaltsbezogenen Kompetenzen in die Niveaustufe D einbetten lassen. Außerdem sollte vorher eine intensive Beschäftigung mit Heurismen stattgefunden haben, da das Rückwärts Arbeiten gut beherrscht werden muss, um die Aufgabe bewältigen zu können. Ebenfalls müssen die Lernenden, wenn die Aufgabe und die Herangehensweise reflektiert werden sollen, über ihr eigenes Vorgehen nachdenken und sich angemessen (mathematisch) ausdrücken können. Dies kann ebenfalls eher von den Schülerinnen und Schülern höherer Grundschulklassen erwartet werden.


Mit der Aufgabe Tonklötze werden insbesondere die inhaltsbezogenen Kompetenzbereiche [L2] Größen und Messen und [L3] Raum und Form sowie die prozessbezogenen Kompetenzbereiche [K1] Mathematisch argumentieren und [K2] Probleme mathematisch lösen aus dem brandenburgischen Rahmenlehrplan (Teil C) Mathematik für die Jahrgangsstufen 1-10 (LISUM (2015)), der ab dem Schuljahr 2017/18 gültig ist, gefördert.

 

Inhaltsbezogene Kompetenzformulierungen

Größen und Messen [L2]

Kompetenz 1: Die Schülerinnen und Schüler wenden die Volumenformel für Quader an, um die gesuchte Seitenlänge des neuen Tonklotzes zu bestimmen.

"Die Schülerinnen und Schüler können Größen messen (auch Volumina [...])" (LISUM, 2015, Größenangaben Bestimmen, Niveaustufe D, S.24)

Erläuterung: Um die Aufgabe lösen zu können, wird vorausgesetzt, dass die Schülerinnen und Schüler die Volumenformel für Quader bereits kennen und diese anwenden können, um das Volumen eines solchen Körpers berechnen zu können.

 

Kompetenz 2: Die Schülerinnen und Schüler rechnen mit den Größen und Einheiten der Länge, der Fläche und des Volumens.

"Die Schülerinnen und Schüler können mit Größenangaben rechnen (auch mit Flächeninhalten, Volumina und Winkelgrößen)" (LISUM, 2015, Größen in Sachzusammenhängen berechnen, Niveaustufe D, S.25)

Erläuterung: Die Lernenden müssen wissen, dass das Ergebnis bei der Multiplikation zweier Seitenlängen ein Flächeninhalt ist und bei der Division eines Volumens durch eine Länge nur ein Flächeninhalt übrig bleibt.
 

Raum und Form [L3]
Kompetenz 3: Die Schülerinnen und Schüler erkennen, dass ein Quader mit quadratischer Grundfläche 2 kongruente Grundflächen und 4 kongruente Mantelflächen besitzt.

"Erkennen, Benennen und Beschreiben geometrischer Körper ([...], Quader) in der Umwelt und am Modell unter Verwendung wesentlicher Merkmale" (LISUM, 2015, Geometrische Objekte und ihre Eigenschaften beschreiben, Niveaustufe C, S.46)  

Erläuterung: Um den letzten Schritt der Aufgabe lösen zu können, muss den Schülerinnen und Schüler die Oberflächenformel für einen Quader bekannt sein, oder sie müssen sich diese aus den Eigenschaften der  gegebenen Quader selbst aufstellen können.
 

 

Prozessbezogene Kompetenzformulierungen

Probleme mathematisch lösen [K2]
Kompetenz 4: Die Schülerinnen und Schüler erstellen eine informative Figur und nutzen sie, um die gesuchte Größe herauszufinden.

"Die Schülerinnen und Schüler können heuristische Hilfsmittel zum Problemlösen anwenden." (LISUM, 2015, S.19)

Erläuterung: Je nachdem, wie die Schülerinnen und Schüler an die Aufgabe herangehen, kann das Skizzieren der Tonklötze nützlich sein, um zu erkennen, welche Größen zur Lösung des Problems genutzt werden können und notwendig sind.
 

Kompetenz 5: Die Schülerinnen und Schüler wenden die heuristische Strategie des Systematischen Probieren an, um die Seitenlänge a des neuen Klotzes zu ermitteln.

"Die Schülerinnen und Schüler können Lösungsstrategien (z. B. vom Probieren zum systematischen Probieren) entwickeln und nutzen" (LISUM, 2015, S.19)

Erläuterung: Diese Kompetenz wird insbesondere dann gefördert, wenn die Aufgabe in der Grundschule eingesetzt wird. Das Lösen von Quadratwurzeln wird erst in der Mittelstufe thematisiert, deswegen stehen die Schülerinnen und Schüler an der Stelle „\(400cm²=a\cdot a\)“ vor einem Problem, das durch diese Strategie bewältigt werden kann.
 

Mathematisch argumentieren [K1]

Kompetenz 6: Die Schülerinnen und Schüler erklären die Notwendigkeit der bei der Lösung des Problems durchgeführten Schritte.

"Die Schülerinnen und Schüler können mehrschrittige Argumentationen zur Begründung und zum Beweisen mathematischer Aussagen entwickeln" (LISUM, 2015, S.19)

Erläuterung: Das mathematische Argumentieren im Lösungsprozess ist für die Nachvollziehbarkeit des Lösungsweges, aber auch für die Darstellung der Notwendigkeit bestimmter Schritte unabdingbar. Außerdem begeben sich die Schülerinnen und Schüler so auf eine metakognitive Ebene, auf der sie überlegen, weshalb sie auf diese Art und Weise handeln.


Heuristische Hilfsmittel: 
  • Bei der Darstellung des Sachverhalts werden Informative Figuren genutzt, die dabei helfen, zu erkennen, dass die Seitenlänge a des neuen Tonklotzes sowie die Volumina der beiden ursprünglichen Tonklötze für die Lösung des Problems benötigt werden.

 

  • Bei der Ermittlung der Seitenlänge a der Grundfläche des neuen Klotzes wird darüber hinaus für das Systematische Probieren eine Tabelle genutzt.

 

 

Heuristische Strategien: 
  • Es wird die Strategie des Rückwärts Arbeitens genutzt: Zunächst wird betrachtet, welche Größen gegeben und welche gesucht sind und dann aufeinander aufbauend herausgefunden, dass für den Oberflächeninhalt die Seitenlänge a der quadratischen Grundfläche eines neuen Klotzes gebraucht und dafür das Volumen benötigt wird.

 

  • Außerdem wird die Seitenlänge a in der Grundschule durch Systematisches Probieren ermittelt, da das Wurzelziehen noch nicht beherrscht wird.

 

 

Heuristische Prinzipien: 
  • Beim Systematischen Probieren zur Ermittlung der gesuchten Grundseitenlänge a des neuen Tonklotzes wird das Invarianzprinzip genutzt: Die Größe der Grundfläche bleibt mit 400 cm² konstant und durch Variieren des Wertes von a wird ausprobiert, für welche Seitenlänge a dies zutrifft. 

Die Tonklötze-Aufgabe hat nach Cohors-Fresenborg et al. mit insgesamt 6 erreichten Punkten bezüglich der ersten Lösungsmöglichkeit und 7 erreichten Punkten bezüglich der zweiten Lösungsmöglichkeit einen Schwierigkeitsgrad von ***.

 

 

Sprachlogische Komplexität: 

Bei der Aufgabenstellung handelt es sich um einen Text, der aus mehreren Haupt- und Nebensätzen besteht. Diese geben keine Hinweise auf die Schritte und deren Reihenfolge bei der mathematischen Bearbeitung. Es treten sprachliche Rückbezüge auf, allerdings werden keine für die Lösung unnötigen Zusatzinformationen gegeben, weshalb sich die Sprachlogische Komplexität der Tonklötze-Aufgabe noch auf Stufe 1 ansiedeln lässt.

 

 

Kognitive Komplexität: 

Die Kognitive Komplexität der Tonklötze-Aufgabe entspricht der Stufe 2, da sich die Schülerinnen und Schüler vor der Lösung der Aufgabe überlegen müssen, wie sie am Besten vorgehen. Sie müssen eigenständig auf den Gedanken kommen, dass das Volumen des entstandenen Klotzes der Summe der Volumina der beiden ursprünglichen Klötze entspricht und dass es hilfreich ist, diese Bedingung bei der Ermittlung der Seitenlänge der quadratischen Grundfläche zu berücksichtigen.

 

 

Formalisierung von Wissen: 

In Anbetracht des möglichen Einsatzes der Aufgabe in einer fünften Jahrgangsstufe lässt sich die Formalisierung von Wissen auf Stufe 2 ansiedeln, da die Lernenden eine Gleichung für das Volumen des entstandenen Klotzes in Abhängigkeit von den Volumina der beiden ursprünglichen Klötze aufstellen müssen und eine Gleichung für den Oberflächeninhalt des neuen Klotzes. Dabei greifen sie auf eine eigenständig erbrachte symbolische Repräsentation zurück, da sie Größen, die für die Lösung von Bedeutung sind, mit bestimmten Variablen bezeichnet haben.

 

 

Formelhandhabung: 

Bezüglich der Möglichkeit 1 der Lösung, bei der die Seitenlänge a der Grundfläche des neuen Klotzes durch Systematisches Ausprobieren ermittelt wird, lässt sich die Formelhandhabung der Aufgabe auf Stufe 1 anordnen, da bei diesem Lösungsweg lediglich die Rechenoperation der Division für die Gleichungsumformung genutzt wird. Bezüglich der Möglichkeit 2 der Lösung lässt sich die Formelhandhabung in Anbetracht des Einsatzes ab der fünften Jahrgangsstufe auf Stufe 2 ansiedeln.

 

 

Stufenzuordnung: 
Formalisierung von Wissen
Stufe 2
Formelhandhabung
Stufe 1
Stufe 2
Kognitive Komplexität
Stufe 2
Sprachlogische Komplexität
Stufe 1

Hilfestellungen: 

Bei der Lösung der Tonklötze-Aufgabe lassen sich einige kritische Stellen identifizieren, an denen die Schülerinnen und Schüler Probleme haben könnten.

 

Eine Schwierigkeit könnte darin bestehen, dass sich die Schülerinnen und Schüler die Quader zu den gegebenen Größen nicht vorstellen können. Tritt dieses Problem auf, so können folgende Hilfestellungen gegeben werden:

 

Allgemein-strategische Hilfen Inhaltsorientierte strategische Hilfen Inhaltliche Hilfen
Zeichne dir eine Skizze, die das Problem darstellt. Wie lassen sich die gegebenen Größen graphisch darstellen? Durch welches geometrische Objekt lässt sich ein Klotz darstellen?
Was benötigst du, um das gesuchte zu bekommen? Kannst du die gegebenen Größen in einer Skizze visualisieren? Durch welche Größen wird ein Quader definiert?
Was ist gegeben und was ist gesucht? Welche verschiedenen Klötze spielen in der Aufgabenstellung eine Rolle und worin unterscheiden Sie sich? -

 

 

Eine weitere Schwierigkeit könnte darin bestehen, dass die Lernenden nicht auf die Idee kommen, die für den Oberflächeninhalt des neuen Klotzes benötigte Seitenlänge der Grundfläche mithilfe der Volumenformel für den neuen Klotz und den Volumina der beiden ursprünglichen Klötze zu ermitteln.
 

Allgemein-strategische Hilfen Inhaltsorientierte strategische Hilfen Inhaltliche Hilfen
Eine Skizze für das Problem könnte dir weiterhelfen! Kannst du eine bekannte Formel anwenden? Wie lässt sich das Volumen eines Quaders berechnen?
Schreibe dir die gegebenen Größen auf! Was lässt sich daraus berechnen? Hilft es dir weiter, wenn du das Volumen der beiden ursprünglichen Klötze berechnest? Was kannst du über das Volumen des neuen Klotzes sagen?
Was ist gesucht? Wie kannst du mit den gegebenen Größen das Gesuchte erreichen? Kannst du eine Volumenformel für den neuen Klotz aufstellen? Wie lässt sich das Volumen des neuen Klotzes ermitteln?

 

 

Sozialformen: 
  • Einzelarbeit
  • Partnerarbeit

 

 

Differenzierungsmöglichkeiten: 

Damit die Tonklotzaufgabe für möglichst viele Lernende eine angemessene Herausforderung darstellt, können sowohl für leistungsschwächere Schülerinnen und Schüler als auch für leistungsstärkere Schülerinnen und Schüler Differenzierungsmaßnahmen ergriffen werden.

 

Für leistungsschwächere Schülerinnen und Schüler kann die Aufgabe wie folgt abgewandelt werden:

  • Eine enaktive Darstellung eines Problems kann häufig hilfreich sein, um die Aufgabe zugänglich zu machen. Hierzu könnten den Lernenden Steckwürfel gegeben werden, die die Tonklötze darstellen sollen. Die Schülerinnen und Schüler können sich dann damit überlegen, wie die beiden Volumina zusammengefasst werden können und sie können erkennen, welche Größe ihnen zur Ermittlung des Oberflächeninhalts fehlt. Mit den Steckwürfeln besteht darüber hinaus auch eine Möglichkeit zur Selbstkontrolle, da der Klotz aus den Steckwürfeln der beiden kleinen Steckwürfelklötze die gegebene Höhe für den neuen Klotz haben muss und somit überprüft werden kann, ob die Seitenlänge der Grundfläche dieses neuen Klotzes der berechneten Seitenlänge entspricht.

 

  • Damit die Schülerinnen und Schüler ihre Lösung selbstständig kontrollieren können, kann eine Lösungsstation eingerichtet werden. Damit die Lösung nicht sofort preisgegeben wird, könnten vorher kurze Kontrollfragen zur Verfügung gestellt werden, wie: „Ist deine Lösung vierstellig?“ oder „Ist deine Lösung durch 100 teilbar?“. Somit werden die Schülerinnen und Schüler ggf. erst einmal dazu bewegt, eigenständig nach Fehlern beim Lösungsweg zu suchen, diese zu korrigieren und erneut ein Ergebnis zu ermitteln.

 

Für leistungsstärkere Schülerinnen und Schüler könnte die Schwierigkeit auf folgende Weise erhöht werden:

  • Nach der Lösung könnten die Zusatzfragen gestellt werden, inwieweit diese Folienabdeckung dicht wäre, wie ein Netz der Folie aussehen könnte und wie viel mehr Folie benötigt würde, wenn an jeder Kante des Netzes ein Zentimeter mehr Folie sein soll, damit „Klebekanten“ entstehen und keine Luft entweichen kann.

Die Tonklotz-Aufgabe lässt sich insbesondere zum Produktiven Üben einsetzen. Die Strategie des Rückwärts Arbeitens muss wohl beherrscht sein und die Schülerinnen und Schüler müssen sich überlegen können, auf welche Art und Weise sie welche Informationen bekommen. So können sie zum Beispiel Formeln im Tafelwerk und noch nicht automatisierte Herangehensweisen (Hilfsmittel, Strategien, ...) in ihren Aufzeichnungen oder im Schulbuch nachsehen.



Bearbeitet von: Julia Franz, Friederike Glorius, Nina Hofmann, Jenny Holtz (ergänzt von Marisa Pfläging)
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