Viertelmond

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Klasse Schulstufe Thema Themengebiet Schwierigkeit
10/ 11/ 12/ 13 Sekundarstufe I, Sekundarstufe II Funktionaler Zusammenhang, Raum und Form
Heuristsche Hilfsmittel Heuristische Prinzipien Heuristische Strategien
Informative Figur Zerlegungs- und Ergänzungsprinzip, Transformationsprinzip Rückführung von Unbekanntem auf Bekanntes

Aufgabenstellung

Was bedeutet eigentlich Vollmond? Ok, das ist nicht so schwer: Die ganze Mondscheibe ist
beleuchtet, und wir sehen eine vollständige Kreisfläche. Und ein Halbmond? Das ist
(hoffentlich) auch klar: Wir sehen eine Halbkreisfläche.

Doch nun kommt’s:
1. Wie sieht eigentlich ein Viertelmond aus?
2. Und wann ist Viertelmond?
3. Und wie groß ist seine Fläche im Vergleich zum Vollmond?

Erörtern Sie diese Fragen, und berücksichtigen Sie dabei folgende Aspekte:
• die zeitlichen Veränderungen,
• die Gestalt der beleuchteten Fläche,
• die Form der Grenzlinie der beleuchteten Fläche,
• den Flächeninhalt der beleuchteten Fläche.
Formulieren Sie eine mathematische Definition für Viertelmond.
 

Quellenangabe:

Produktive Aufgaben für den Mathematikunterricht (Sekundarstufe II) Autoren / Herausgeber: Herget, Wilfried; Jahnke, Thomas; Kroll, Wolfgang Cornelsen Verlag


Lösungen aus Quelle:

/sites/default/files/material/u76/L%C3%B6sung%20Viertelmond.pdf

Die drei Fragen

• Wie sieht ein Viertelmond aus?
• Wann ist Viertelmond?
• Wie groß ist die Fläche im Vergleich zum Vollmond?

können nicht unabhängig voneinander beantwortet werden.

Um sie beantworten zu können, muss zunächst die Antwort auf eine der drei Fragen gefunden und sinnvoll festgelegt werden. Die Antworten auf die beiden anderen Fragen ergeben sich dann durch Überlegen oder durch Rechnen. Alle diese Wege sind grundsätzlich gleich gut.

Vorausgesetzt wird dabei stets ein fester Beobachtungsort auf der Erde – und das vereinfachte Modell, dass Erde und Mond sich in einer gemeinsamen Ebene mit der Sonne bewegen, und zwar jeweils auf Kreisbahnen.

Lösungsweg 1

Bei dieser Lösung wird die Antwort auf die Frage 2 vorgegeben („Zeit-Viertelmond“): Definition: Einen Viertelmond beobachtet man genau dann, wenn ein Viertel der Zeit vergangen ist, die die Mondphasen Neumond und Vollmond voneinander trennt. Geht man also davon aus, dass Viertelmond zeitlich genau in der Mitte zwischen Neumond und Halbmond liegt, dann blickt man genau nach einem Viertel Mondumlauf zum Mond. Es ergibt sich folgendes Bild (siehe linke untere Abbildung; Pfeilrichtung ist Blickrichtung). In der rechten Abbildung sieht man dann eine recht schmale Sichel.

Die rechte Randlinie ist natürlich eine Kreisbogenhälfte – die linke Randlinie der Sichel ist eine Ellipsenbogenhälfte. Eine Ellipse entsteht durch eine Projektion einer Kreislinie. Der Ellipsenbogen als linke Begrenzungslinie läuft in der Abbildung rechts durch den Punkt B, der von M genau cos 45° = \({1\over2}*\sqrt2 \) Einheiten entfernt ist. Der Flächeninhalt der Halbellipse ABCM beträgt nun \(\sqrt2\over2\) des Halbkreises, der Flächeninhalt der Sichel somit etwa \({1\over2}*3=0,15=15\%\) des Vollkreises.

Lösungsweg 2

Bei dieser Lösung wird die Antwort auf die Frage 1 vorgegeben („Breite-Viertelmond“):

Definition: Einen Viertelmond beobachtet man genau dann, wenn die beleuchtete Sichel genau ein Viertel so breit ist wie die Vollmondfläche.

(Im Vergleich zu Weg 1 ist damit klar, dass bei dieser Definition der Viertelmond nicht zeitlich genau in der Mitte zwischen Neumond und Halbmond liegt, also nicht genau nach einem Viertel Mondumlauf.)

Analog zur oberen rechten Abbildung ist die linke Randlinie der Sichel ein Ellipsenbogen, als Projektion eines Kreisbogens. Der Punkt B ist in diesem Fall der Mittelpunkt von MD. Analog zur linken Abbildung ergibt sich in diesem Fall ein Winkel von 60°, da cos 60° = 0,5.

Der Flächeninhalt der Halbellipse ABCM ist in diesem Fall genau halb so groß wie der des Halbkreises; und der Flächeninhalt der Sichel somit genau ein Viertel des Vollkreises. Bei dieser Definition beobachtet man den Viertelmond genau dann, wenn ein Drittel der Zeit vergangen ist, die die Mondphasen Neumond und Vollmond voneinander trennt. (Im Sinne von Weg 1 wäre dies also so etwas wie ein Drittelmond.)

Lösungsweg 3

Bei dieser Lösung wird die Antwort auf Frage 3 vorgegeben („Flächen-Viertelmond“):

Definition: Einen Viertelmond beobachtet man genau dann, wenn die Fläche der beleuchteten Sichel genau ein Viertel der Vollmondfläche beträgt.

(Im Vergleich zu Weg 1 ist wieder klar, dass auch bei dieser Definition der Viertelmond nicht zeitlich genau in der Mitte zwischen Neumond und Halbmond liegt, also nicht genau nach einem Viertel Mondumlauf.)

Der Vergleich mit Weg 2 zeigt schnell, dass sich hier genau dieselbe Situation ergibt. Es gibt also zwei sinnvolle, aber durchaus verschiedene Möglichkeiten, den Viertelmond zu definieren.

Lösung mithilfe von GeoGebra:

/sites/default/files/material/u76/Viertelmond.ggb


Dies ist eine äußert komplexe, offene, anspruchsvolle Problemlöseaufgabe für Schülerinnen und Schüler (SuS) ab der 10. Klasse. Die Einordnung in den Rahmenlehrplan erweist sich als problematisch. Wir befinden uns im Bereich "Raum und Form", "Messen" und "Funktionaler Zusammenhang". Die SuS sollen mithilfe ihres Fachwissens und ihrer Kompetenzen die Entwicklung eines Viertelmondes beschreiben und entdecken. Am Ende der Aufgabe steht die Formulierung einer geeigneten Definition für den Viertelmond. Der Weg dorthin kann über ein DGS, Zwei-Tafel-Projektionen, affine Bilder von Kreisen (Ellipsen), trigonometrischen Funktionen, Flächenberechnungen (sogar Integrale) und bestimmt noch einigen unentdeckten Lösungswegen erfolgen.


Prozessbezogene Kompetenzen

Argumentieren 

SuS müssen in dieser Aufgabe das vorgegebene Problem erst erkunden. Dazu gehört das Entwickeln der Vorstellung, wie sich ein Viertelmod darstellt, das Bilden eines begründeten Zusammenhangs zwischen Position der Erde zum Mond und dem Zeitpunkt, wann sich ein Viertelmond bildet. Dieser Zusammenhang ist auch von der Auswahl der jeweiligen Vorstellung, was ein Viertelmond ist, abhängig.

Probleme lösen

Auf den ersten Blick kann in dieser Aufgabe kein Lösungsweg erkannt werden. Dieser muss durch einzelne, nicht zwingend lineare Denkschritte erarbeitet werden. Vorallem werden Strategien, wie das Einzeichnen von Hilfslinien, Skizzierungen, das Verwenden unterschiedlicher Darstellungen (z.B. Zwei-Tafel-Projektion, Geogebra oder 3D Modelle) gefördert.

Modellieren

Das reale Problem des Viertelmondes muss von SuS in einen geeigneten Modellbereich des Mathematik (Trigonometrie, Flächen, Kugel, Ellipse,...) eingeornet werden.

Messen

SuS benötigen die Idee des Drehwinkels und müssen Flächeninhalte bestimmen, die von Kreis und Ellipse begrenzt sind.

Darstellungen verwenden

In dieser Aufgabe werden vorallem grafische Darstellungen verwendet, um das Problem zu veranschaulichen. Funktionale Zusammenhänge ergeben sich zwischen dem Drehwinkel zwischen Mond und Erde und der beleuchteten Flüche des Modes. Diese können z.B. durch Geogebra oder auch mithilfe von kleinen Bildfolgen darrgestellt werden.

Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen 

Der eventuelle Einsatz von Geogebra begünstigt die Förderung  dieser Kompetenz.

Kommunizieren 

Je nach Einsatz der Aufgabe (z.B. als Gruppen- oder Partnerarbeit, Vortrag, Facharbeit mit Verteidigung) wird auch die Kommunikationskompetenz gefördert. 

Inhaltsbezogene Kompetenzen

Raum und Form

Die Lagebeziehung zwischen Mond und Erde; das affine Bild der Schattenseite des Mondes, das wir auf der Erde sehen, müssen analysiert und durch Skizzen dargestellt werden. Wir benötigen die Eigenschaften von affinen Bildern von Kreisen, trigonometrische Zusammenhänge, die Vorstellung der Rotation des Modes um die Erde, mithilfe eines Drehwinkels etc.

Funktionaler Zusammenhang

Ein funktionaler Zusammenhang kann z.B. mithilfe von kleinen Zeichnungen erfolgen, in welchen die Abhängigkeit vom Drehwinkel zur beleuchteten Mondseite dargestellt wird.


Heuristische Hilfsmittel: 

Zum Verdeutlichen des Sachverhalten müssen sich die SuS einer Skizze oder informativen Figur behelfen. Diese kann den SuS schnell klar werden lassen wie das Problem angegangen werden muss.

Heuristische Prinzipien: 

Beim Bearbeiten der Aufgabe müssen die SuS, aufgrund des hohen Komplexitätsgrades, das Zerlegungsprinzip nutzen. 

  • Woher kommt der Schatten auf dem Mond?
  • Bewegt sich der Schatten, oder steht immer eine Seite des Modes im Schatten?
  • Was hat die Rotation des Mondes mit dem Sichelbild, was wir auf der Erde sehen zu tun?
  • Wie entsteht dieses Sichelbild? Aus welchen Teilflächen setzt sie sich zusammen?
  • Welche Darstellungsform eigenet sich zur Veranschaulich des Sachverhalts am besten?
  • Gibt es mehrere Möglichkeiten dafür, was ein "Viertelmond" ist?
  • ...

Weiterhin müssen SuS unter Nutzung des Transformationsprizips ein geeignetes Modell für die Darstellung des Sachverhalts finden.


Bei dem Schwierigkeitsgrad ist beachten, dass diese Einschätzungen für den ersten Lösungsweg gelten, nachdem ein Viertelmond in Verbindung mit dem zeitlichen Verlauf gebracht wird, bzw. auch mit der Umsetzung des Abbildes in GeoGebra. Die Schwierigkeit für die Lösungsvarianten in denen ein Viertelmond eine viertel Fläche des Vollmondes entspricht, ist die Schwierigkeit wesentlich geringer.

  • Anschaulichkeitsgrad: Der Sachverhalt ist ein sehr bekanntes, beinahe alltägliches Phänomen. Nichtsdestotrotz ist die Rotation des Mondes um die Erde und die Perspektive von der Erde auf den Mond (unter Beachtung der konstanten Schattenseite des Mondes) nicht trivial. 
  • Abstraktionsgrad: Die Aufgabe enthält keine Angaben darüber, was ein Viertelmond eigentlich ist (liegt es an der Position (Winkel) von Erde zu Mond, oder doch nur am Flächeninhalt?). Dadurch ist der Abstraktionsgrad hoch. 
  • Formalisierungsgrad: Dadurch, dass diese Aufgabe sehr offen formuliert wird, keine Lösungsansätze gegeben, keine auf eine mathematische Operationen hinweisende Termini oder eine Themeneinordnung vorhanden sind, ist die Aufgabe bezüglich dieses Punktes sehr schwer.
  • Bekanntheitsgrad: Der Sachverhalt ist komplett unvertraut, es sei denn es wurde themenübergreifend in Physik oder Astronomie behandelt.
  • Komplexitätsgrad: Es sind je nach Lösungsweg viele verschiedene Denkschritte und Operationen zu Lösung der Aufgabe nötig. Der Ablauf ist nicht linear, beinhaltet vorallem Denkschritte bzgl der Kompetenz "Darstellungen verwenden" und ist deswegen hoch.

Abschließend lässt sich sagen, dass der Schwierigkeitsgrad der Aufgabe sehr hoch ist. 

Sprachlogische Komplexität: 

Der Text der Aufgabe gibt keine Information zur mathematischen Bearbeitung. Die SuS müssen mathematische Sachverhalten komplett alleine aus den Informationen entwickeln. Somit entspricht die Sprachlogische Komplexität der Stufe 2.

Kognitive Komplexität: 

Die Denkvorgänge zum bearbeiten der Aufgabe müssen der Bearbeitung parallel erfolgen und auch während der Bearbeitung ständig weiterentwickelt werden. Erforderliche bekannte Modelle können erst nach reifer Überlegung herangezogen werden. Konkrete Fallunterscheidungen sind nicht notwendig, sieht man von den zeitlichen Entwicklung der Mondentwicklung ab. Dadurch ist die Kogenitive Komplexität der Aufgabe der Stufe 1 zuzuordnen.

Formalisierung von Wissen: 

Beim Lösen der Aufgabe müssen komplexe Darstellungen eigenständig entwickelt werden. Außerdem sind ständige Kontrollüberlegungen notwendig um nicht einer Fehlvorstellung zu erliegen. Somit entspricht die Formalisierung von Wissen der Stufe 2.

Formelhandhabung: 

Um zu Lösung des Flächeninhalts zu gelangen ist eine höhere Anzahl an algebraischen Schritten erforderlich. Auch bei der Umsetzung der Anschaulichkeit mit einem DGS sind mehrere algebraische Überlegungen erforderlich. Somit entspricht auch die Formelhandhabung der Aufgabe der Stufe 2.

Stufenzuordnung: 
Formalisierung von Wissen
Stufe 2
Formelhandhabung
Stufe 2
Kognitive Komplexität
Stufe 1
Sprachlogische Komplexität
Stufe 2

Hilfestellungen: 

Bei der Bearbeitung in kleinen Gruppen empfiehlt sich der Einsatz von gestuften Lernhilfen, die die Bearbeitung des Problems erleichtern können. Dadurch wird es möglich, die SuS, vorallem beim Erstellen von Darstellungen und bei der Erfassung des Problems zu unterstützen. Außerdem ermöglichen gestufte Lernhilfen eine differenzierte Lernförderung in der gesamten Klasse. Die Lernhilfen könnten (grob!) folgende Schritte beinhalten:

  1. Erläuterung des Problems: die SuS werden angehalten, sich gegenseitig das Problem bei Unklarheiten zu erklären und sich erste Vorstellungen zu formen.
  2. Darstellung des Sachverhalts mithilfe einer Zwei-Tafel-Projektion. 
  3. Zusammenhänge zwischen Drehwinkel und Mondsichel herstellen
  4. Berechnung des Flächeinhalts
  5. Finden einer geeigneten Definition
Sozialformen: 

Die Aufgabe lässt sich auch gut  mit einem DGS bearbeiten. Zum Beispiel mit  Geogebra. Dabei arbeiten die Schüler einzeln oder in Kleingruppen am PC. 

Differenzierungsmöglichkeiten: 

Eine Differenzierung kann über folgende Vorgaben und Lösungshilfen erfolgen:

  • bei Projekt und/oder Gruppenarbeit empfiehlt sich der Einsatz von gestuften Lernhilfen. Je nach dem können SuS lediglich Verständnisfragen untereinander klären, einige Skizzen bekommen, oder sogar einen vollständigen Plan zur Bearbeitung der Aufgabe erhalten.
  • Einsatz eines DGS: je nach Leistungsstand Einsatz einer Anleitung zur Bearbeitung oder auch nur kleiner Einführungskurs in den Umgang mit dem DGS


Diese Aufgabe eignet sich unter anderem für folgende Punkte:

  • Facharbeit für einen Seminarkurs o.Ä.
  • Fächerübergreifender Unterricht - Physik und Astronomie
  • Projekt(woche)
  • langfristige Hausaufgabe
  • Forschen
  • Technologieeinsatz


Bearbeitet von: Steffen Köhn und Anne-Sophie Neuber
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