Der Weg zum Schatz

Gehe von der Eiche zur Kiefer und zähle die Schritte. Gehe nun die Hälfte der Schritte Richtung Eiche zurück, drehe dich um 90° nach links und gehe noch einmal die gleiche Anzahl Schritte. Nun hast du den Schatz gefunden.

Beweis (Vektorrechnung)

Wir werden uns der einfachen Vektorrechnung bedienen. Die Idee ist es, den Punkt des Schatzes aus der gegebenen Beschreibung zu konstruieren und dann zu zeigen, dass dieser unabhängig von dem Standort des Galgens ist.

 Sei \(E= \begin{pmatrix} e_1\\ e_2 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2\) der Standpunkt der Eiche, \(K = \begin{pmatrix} k_1\\ k_2 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2\) der Kiefer, \(G = \begin{pmatrix} g_1\\ g_2 \end{pmatrix} \in \mathbb{R}^2\) des Galgens. Konstruiere nun den Punkt \(K'\), der die Position des ersten Spießes markiert:

\(K'= K + \begin{pmatrix} k_2 - g_2 \\ - ( k_1 - g_1) \end{pmatrix} = K + \begin{pmatrix} k_2 - g_2\\ g_1 - k_1 \end{pmatrix}\).

Wir addieren also zu dem Startpunkt \(K\) den um \(90^\circ\) nach rechts gedrehten Vektor \(\vec{GK}\) hinzu. Wir konstruieren nun die Position des anderen Spießes \(E'\) analog mit einer Drehung nach links:

\(E'= E + \begin{pmatrix} - (e_2 - g_2) \\ e_1 - g_1 \end{pmatrix} = E + \begin{pmatrix} g_2 - e_2\\ e_1 - g_1 \end{pmatrix}\).
​Um nun die Position des Schatzes zu bestimmen, müssen wir den Mittelpunkt zwischen \(K'\) und \(E'\) ​bestimmen:
\(2S= (E' + K')= E + \begin{pmatrix} g_2 - e_2\\ e_1 - g_1 \end{pmatrix} + K + \begin{pmatrix} k_2 - g_2\\ g_1 - k_1 \end{pmatrix} = E + K + \begin{pmatrix} g_2 - e_2 + k_2 - g_2\\ e_1 - g_1 + g_1 - k_1 \end{pmatrix} \)

\(= E+K+ \begin{pmatrix} k_2 - e_2\\ e_1 - k_1 \end{pmatrix} \leftrightarrow S = \frac{1}{2}\left( E+K+ \begin{pmatrix} k_2 - e_2\\ e_1 - k_1 \end{pmatrix}\right ) \).

Damit ist gezeigt, dass dieser Mittelpunkt (\(S\)) unabhängig von der Position des Galgens \(G\) ist und somit kann der Galgen an jeder beliebigen Position stehen. Aber stimmt deshalb die angegebene Lösung?

Konstruieren wir deshalb den Punkt \(S'\) nach der Lösungsvorschrift:

\(S' = K + \frac{1}{2}(E-K) + \frac{1}{2}\begin{pmatrix} -(e_2 - k_2)\\ e_1 - k_1 \end{pmatrix} = \frac{1}{2}\left( E+K+ \begin{pmatrix} k_2 - e_2\\ e_1 - k_1 \end{pmatrix}\right ) \)

\(\rightarrow S=S'\).

\(\square\)

Beweis (Geometrisch)

Wie im Bild dargestellt, wird durch das Lot durch den Galgen (G) das gegebene Dreieck in zwei rechtwinklige Dreiecke zerlegt. Die genannten \(90^\circ\)-Drehungen sind Drehungen in den jeweiligen Punkten und somit euklidische Bewegungern, die längen- sowie winkelteu sind. Dementsprechend gelten die Kongruenz der Dreiecke (G, H(G), E) und (E, G', H(G')) sowie der Dreiecke (G, K H()) und (K, G", H(G")).
Verändert man die Position des Galgens, so werden auch die Positionen der Punkte H(G') und H(G") verändert. Deren Mittelpunkt bleibt allerdings gleich. Das ist der Höhenfußpunkt des Schatzes (S) und stellt gleichzeitig den Mittelpunkt der Stecke E nach K dar und ist somit unabhängig von der Wahl von G. Da der Höhefußpunkt H(S) = (E+K)/2 ist, fallen die Höhe duch S und die Mittelsenkrechte der Strecke (EK) zusammen, also ist das Dreieck (E, K S) gleichschenklig. Dementsprechend ergibt sich für die Stecken: H(S)S = H(S)K = H(S)E.

Und hier ist noch eine dynamische Darstellung mittels Geogebra:

/sites/default/files/material/u88/schatzsuche_Joerg_Kapelle.ggb