Wie groß ist eigentlich π?

Klasse Schulstufe Thema Themengebiet Schwierigkeit
9 Sekundarstufe I Funktionaler Zusammenhang, Zahlen und Operationen ***

Aufgabenstellung

Wie groß ist π?

 


Im Folgenden sei ein möglicher Lösungsweg aufgezeigt.

Einen Lösungsweg für die Frage nach der Größe von π findet sich in einem Geogebra-Projekt unter dem folgendem Link:

/sites/default/files/material/u84/pi%20bestimmen.ggb

Um diese Datei nicht alleinig stehen zu lassen findet sich anschließend derselbe Lösungsweg in tabellarischer Übersicht.

Gegeben sei ein Kreis mit dem Radius r.

Mit Hilfe dieses Kreises und verschiedenen regelmäßigen Vielecken soll π bestimmt werden.

 

Erläuterung zum Schritt Abbildung

Wir wissen, dass man den Flächeninhalt eines Kreises mit A = πr2 bestimmen kann.

So hat beispielsweise ein Kreis bei einem festen Radius von r = 10LE einen Flächeninhalt

von A = 314,16FE.

Nun kann man den Kreis (die 360° des Winkels am Kreismittelpunkt) in drei gleich große
Teile teilen (drei mal 120°), welche die Schenkelwinkel dreier gleichschenkliger Dreiecke
darstellen. Diese gleichschenkligen Dreiecke ergeben zusammen ein regelmäßiges,
gleichseitiges n-Eck (genauer ein gleichseitiges Dreieck), welches einen kleineren
Flächeninhalt hat, als der Kreis.

Bleiben wir beim Beispileradius von r = 10LE, so ergibt sich laut Geogebra für die gesamte
rote Fläche ein Flächeninhalt von Arot = 129,9FE.

Verlängert man die Schenkel der gleichschenkligen Dreiecke soweit, dass ein ähnliches,
regelmäßiges Dreieck entsteht, bei welchem die Kanten tangential am Kreis anliegen, so
ergibt sich ein regelmäßiges n-Eck (genauer ein gleichseitiges Dreieck), welches einen
größeren Flächeninhalt hat, als der Kreis.

Bleiben wir auch hier beim Beispielradius von r = 10LE, so ergibt sich laut Geogebra für die
gesamte blaue Fläche ein Flächeninhalt von Ablau = 519,62FE.
Vergleicht man nun alle Flächeninhalte miteinander, so wird leicht deutlich, dass
Ablau > A > Arot ist.

Angenommen die Flächeninhalte der n-Ecke stimmten mit dem Flächeninhalt des Kreises überein, so könnte folgendes gelten:

\(n\cdot A_\Delta ≟ \pi\space\cdot r^2\)

wobei \(A_\Delta\)der Flächeninhalt eines einzelnen gleichschenkligen Dreiecks ist.

Folglich würde sich die folgende Formel ergeben:

\(⇔ \pi ≟ {n\cdot A_\Delta \over r^2}\)

Hieraus wiederum könnte man errechnen, wie groß π nun sein könnte.

Nach den obig beschriebenen Überlegungen müsste für π fortan gelten:

\({n\cdot A_{\Delta, blau} \over r^2} > \pi > {n\cdot A_{\Delta, rot} \over r^2} \)

Für unser konkretes Beispiel würde sich laut Geogebra folgendes ergeben:

\({3\cdot 173,21 \over 10^2} = 5,2> \pi > 1,3={3\cdot 43,3 \over 10^2} \)

 

 

Würde man nun die 360° des Vollkreises nicht in drei, sondern in vier gleichgroße Teilstücke
unterteilen, so käme man laut Geogebra auf die folgenden Werte für π:

\({4\cdot 100 \over 10^2} = 4> \pi > 2={4\cdot 50 \over 10^2} \)

 

 

Für n = 5 wäre folgendes zu begutachten:

\({5\cdot 72,65 \over 10^2} = 3,6325> \pi > 2,3775={5\cdot 47,55 \over 10^2} \)

Ein letztes Beispiel soll das Vorgehen verdeutlichen: Sei n = 15, so würde für π folgendes
gelten:

\({15\cdot 21,26 \over 10^2} = 3,19> \pi > 3,05={15\cdot 20,34 \over 10^2} \)

 

 

 

Um die Entwicklung deutlicher zu machen veranschaulicht die folgende Tabelle die Werte übersichtlich:

n blau rot

3

 5,2 1,3
4 4 2
5 3,63 2,38
6 3,46 2,6
7 3,37 2,74
8 3,31 2,83
9 3,28 2,89
10 3,25 2,94
11 3,23 2,97
12 3,22 3
13 3,2 3,02
14 3,2 3,04
15 3,19 3,05

 

Lässt man n gegen oo gehen, so treffen sich beide Folgen in der Unendlichkeit bei π.

Die folgende Abbildung verdeutlicht dies:


Zur besseren Übersicht ist π mit 3,14159 als gestrichelte Linie gekennzeichnet.

 


Themengebiete, in welchen man diese Problemlöseaufgabe einbetten kann wären laut RLP des Landes Brandenburg von 2008:

Klassenstufe: 7/8

- Verhältnisse mit Proportionalität erfassen, Prozentrechnung
- Mit Variablen, Termen und Gleichungen Probleme lösen 
- Reale Situationen mit linearen Modellen beschreiben 
- Ebene Figuren konstruieren und berechnen 

Klassenstufe: 9/10

- Neue Zahlen entdecken 
- Winkel, Längen und Flächen bestimmen und berechnen 

Nach den hier dargebotenen Überlegungen und dem aufgezeigten Lösungsweg lässt sich diese Aufgabe wiederum am ehesten in der neunten Jahrgangsstufe unter dem Bereich 'Neue Zahlen entdecken' lokalisieren.

Alle anderen angeschnittenen Themenfelder sind mehr Beiwerk oder Mittel zum Zweck.

 


Je nach Darbietung ist diese Aufgabenstellung geeignet für unterschiedliche Kompetenzbereiche.

Nach den von der KMK festgelegten Kompetenzen des Fachs Mathematik der Sekundarstufe 1 können (je nach Schwerpunktlegung) mit dieser Aufgabe aus dem Bereich der prozessbezogenen mathematischen Kompetenzen natürlich das 'Probleme lösen', aber auch das 'Modellieren' und das 'Verwenden von Darstellungen' gefördert werden.

Bei den inhaltsbezogenen Kompetenzbereichen steht 'Zahl' im hier ausgeführten Lösungsweg im Mittelpunkt.

Was die Kompetenzstufen angeht, so lässt sich sagen, dass diese Aufgabenstellung selbst dem Regelstandard nur bei ausreichender Hilfestellung entspricht, da nicht nur geometrisch abstrahiert werden muss, sondern auch die Ideen von Folgen und deren verhalten an den Grenzen essentiell sind.

In Folge dieser Erklärungen erscheint doch der Maximalstandard als angebracht, um keinen Schüler mit einer anderen Empfehlung vor eine überfordernde Aufgabe zu stellen.

Lediglich für den Minimalstandard ist sie vermutlich nicht zu empfehlen, da sie ein hohes Maß an Abstraktionsvermögen voraussetzt.


Heuristische Hilfsmittel: 

Heuristische Hilfen könnten in dieser Lösung der Aufgabe vor allem informative Figuren sein, die den jeweiligen Lösungsansatz verdeutlichen. In dieser Lösung ist die Skizze sogar dynamisch und verdeutlicht so gleich doppelt den Werdegang im Lösungsprozess.

In Folge einzelner aufgabenbezogener Überlegungen kann in dem hier dargebotenen Lösungsweg eine Tabelle mit den entstandenen Lösungswerten hilfreich sein, um von Schritt zu Schritt zu erkennen, was sich wie geändert hat um Hypothesen, oder viel eher Vermutungen aufzustellen, was sich innerhalb der nächsten Schritte wie verändern wird.

In diesem konkreten Lösungsweg ist es außerdem hilfreich das Getane in Form eines Lösungsgraphen (mehr als Funktionsgraph zu sehen) zu veranschaulichen, um eine Grenzwertbetrachtung durchführen zu können. Dieser trägt freilich nicht viel zum eigentlichen Lösungsprozess bei, ist jedoch in diesem Lösungsansatz für das Erreichen der Lösung unvermeidbar.

Heuristische Strategien: 

Das Vorwärtsarbeiten und das systematische Probieren nehmen in dieser Art von Lösungsweg eine zentrale Rolle ein. Wäre der Lösungsweg ein Beweis, so käme er einer Induktion gleich, in welcher ein Schritt nach dem andern Schritt bearbeitet werden würde. Zu einem Rückblick kommt es nur bei dem Entdecken eines Fehlers.

Systematisches Probieren findet man in der Lösungsidee besonders darin, dass von einem zu großen und einem zu kleinen n-Eck ausgegangen wird. Es stellt eine Art systematisierten Versuch dar, den Flächeninhalt des Kreises genau zu treffen.

Heuristische Prinzipien: 

In dem hier vorliegenden Lösungsweg erscheint Zerlegen und Rekonstruieren als sinnhaft, da eine Annäherung an π mit einer weiteren Zerlegung des Kreises erwartet wird. Nachträglich kann rekonstruiert werden, wie es zur Annährung kam.

In gewisser Weise kann man auch von den Prinzipien der Fallunterscheidung und der Extrembetrachtung sprechen, da (analog zu den heuristischen Strategien) zwischen beiden n-Ecken ein Zusammenhang dahingehend besteht, dass gesagt werden kann: der Oberflächeninhalt des Kreises ist maximal so groß, wie der des größeren n-Ecks und minimal so groß, wie der des kleineren n-Ecks.


Der Schwierigkeitsgrad ist mit zwei ** bis sogar drei *** zu versehen, da, wie schon mehrfach erörtert, ein hoher kognitiver Aufwand getätigt werden muss, um einer Lösung des Problems näher zu kommen. Ins Besondere, weil durch die knapp gehaltene Aufgabenstellung kein Lösungsweg eindeutig vorgeschlagen wird und das Problem zwar verständlich, aber weder aus dem Alltag bekannt, noch affektiv geometrisch oder analytisch greifbar ist.

Sprachlogische Komplexität: 

Die sprachlogische Komplexität der Aufgabe ist nicht zu unterschätzen, auch wenn die für sich stehende Aufgabenstellung keine hohe Komplexität darstellt. Im Zuge einer Lösung, die der nah kommt, wie sie hier ausgeführt ist, kann es doch zu größeren Hürden kommen, da ohne Verwendung der entsprechenden Fachbegriffe (regelmäßige n-Ecke, gleichschenklige Dreiecke, etc.) oder Bezeichnungen eine eindeutige Zuweisung in den eigenen Aussagen nicht immer gut möglich ist.

Kognitive Komplexität: 

Zur kognitiven Komplexität lässt sich sagen, dass die bereits unter 'Kompetenzstufen' angesprochenen Inhalte ein hohes Maß an kognitiver Komplexität bürgen. Näheres findet sich auch unter 'Heurismen'.

Formalisierung von Wissen: 

Die Formalisierung von Wissen fällt in dem hier dargebotenen Lösungsweg eher nüchtern aus. Es wird schier ad hoc gearbeitet ohne großartig Wissen zu Formalisieren. In anderen Lösungen kann dies sicherlich anders ausfallen.

Formelhandhabung: 

Die wenigen Formeln, die zur Lösung des Problems auf diese Weise relevant sind, werden entsprechend der geltenden Umformungsregeln behandelt. In Folge der getätigten Annahmen kann eine Hürde für Schülerinnen und Schüler entstehen, wenn sie mit den Formeln agieren wollen.

Stufenzuordnung: 
Formalisierung von Wissen
Stufe 0
Formelhandhabung
Stufe 1
Kognitive Komplexität
Stufe 2
Sprachlogische Komplexität
Stufe 0

Hilfestellungen: 

Als Hilfestellung kann es möglich und hilfreich sein eine Art 'Tippzettel' bereit zu halten, welcher die Schülerinnen und Schüler auf einen möglichen Lösungsweg aufmerksam macht. Wie schon unter 'Schwierigkeitsgrad' beschrieben wurde, kann es sein, dass einige Schülerinnen und Schüler in Folge der knapp formulierten Aufgabenstellung keinen Ansatz finden.

Sozialformen: 

Freie Gruppeneinteilungen sind hier möglich.

Alleine, zu zweit oder in Gruppen bis maximal fünf Schülerinnen und Schüler kann gearbeitet werden, da es hier nicht wichtig ist, dass alle Gruppen dieselben Voraussetzungen haben, sondern dass die Gruppe möglichst motiviert an einen Lösungsversuch geht.

Besonders in einem pubertären Freundeskreis kann es fruchtbar sein, wenn einzelne Schülerinnen und Schüler mit ihren Ideen bei den Mitstreiterinnen und Mitstreitern punkten wollen. Des weiteren kann es sein, dass motivierte Schülerinnen und Schüler potentiell den persönlichen Anspruch haben eine 'bessere' Lösung präsentieren zu können, als die Nachbargruppe.

Differenzierungsmöglichkeiten: 

In Folge der Freien Aufgabenformulierung differiert sich die Klasse nahezu von allein.

Die unter 'Hilfestellungen' formulierten Möglichkeiten sind auch möglicher Ausgangspunkt von Differenzierung.


Im Rahmen des Entdeckens neuer Zahlen kann man die Wege zur Antwort auf die Frage, wie groß π sei, als eine Art Forschungsprozess beschrieben werden. Es sollte also nicht eine Richtigkeit des EINEN Lösungsweges erwartet werden, sondern vielmehr auf ein regelgeleitetes, logisches und systematisches Vorgehen geachtet werden.



Bearbeitet von: Lukas Mientus
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