Vektorgeometrie: U-Boot & Funkstation

Klasse Schulstufe Thema Themengebiet Schwierigkeit
11/ 12/ 13 Sekundarstufe II Modellieren mit Vektoren Funktionaler Zusammenhang, Größen und Messen, Raum und Form **

Aufgabenstellung

Vor der Steilküste der griechischen Insel Santorin befindet sich ein Forschungs-U-Boot uN in geradlinig gleichförmiger Unterwasserfahrt. Die Meeresoberfläche liegt in der x-y-Ebene, 1LE = 100m. Das Unterwasserfahrzeug befindet sich um 12:21Uhr in P ( 4 | 14 | -4 ) und eine Minute später in Q ( 6 | 11 | -4 ).
 
Auf der Steilküste befindet sich eine Station für Meeresforschung im Punkt F ( 18 | 6 | 7), zu der vom U-Boot live Unterwasseraufnahmen übermittelt werden sollen. Die Reichweite für diese Übermittlung beträgt 1500 m.
 
Geben Sie das Zeitfenster an, in dem eine Übertragung möglich ist.
 

Quellenangabe:

Original-Aufgabe: Zentrale schriftliche Abiturprüfung Mathematik Leistungskurs Berlin/Brandenburg 2013, Aufgabe 2.1 c)


Da sich das U-Boot uN in geradlinig gleichförmiger Unterwasserfahrt befindet, lässt sich der Kurs durch eine Geradengleichung beschreiben.
 
\(u_N: \overrightarrow x = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 14 \\ -4 \end{array}\right) + r \left(\begin{array}{c} 2 \\ -3 \\ 0 \end{array}\right) \)
 
Dabei ist zu erkennen, dass Punkte wie P ( 12:21Uhr ) und Q ( 12:22Uhr ) mit Zeitangaben verknüpft sind und somit das einmalige Addieren des Richtungsvektors \(\overrightarrow {PQ}\) einem Zeitraum von einer Minute entspricht. Da der Ortsvektor des Punktes P als Stützvektor dient und der Streckungsfaktor r als Angabe, wie oft man diesen aufaddieren soll, erhält man durch die Berechnung von r zugleich die zu berechnende Minutenanzahl. 
 
 
 
Lösungsvariante 1
 
O.b.d.A lässt sich die Reichweite der Radarstation F in der Aufsicht als Kreis mit dem Radius 1500m (=15 LE) im geeigneten Maßstab veranschaulichen. uN wird durch eine Gerade dargestellt.
 
Die Schnittpunkte S1 und S2 gehören zur Geraden uN und sind als solche Teil der allgemeinen Punktmenge
 
\(S_r ( \space4 + 2r\space | \space14 - 3r\space | -4\space )\space .\)
 
Des Weiteren haben diese beiden Punkte einen Abstand von 15 LE von F.
 
\(d ( S_1 , F) = 15 LE = d ( S_2 , F) \)
 
Wir suchen also die Punkte Sr der Punktmenge, die dieses Kriterium erfüllen. Daraus resultiert folgende Gleichung:
 
\(15 = { \sqrt{((4+2r)-18)^2 + ((14-3r)-6)^2 + ((-4)-7)^2} } \)
 
Quadriert man auf beiden Seiten und vereinfacht man die Klammerinhalte, so ergibt sich Folgendes:
 
\(225 = (2r-14)^2 + (8-3r)^2 + (-11)^2\)
 
Jetzt müssen die Klammern mittels binomischer Formeln aufgelöst werden und der rechte Teil der Gleichung zusammengefasst werden.
Anschließend muss die Gleichung durch äquivalente Umformungen für die Lösungsformel vorbereitet werden, indem durch den Koeffizienten von r2 dividiert wird und die linke Seite durch Subtraktion des absoluten Gliedes 225 auf 0 reduziert wird:
\(225 = 13r^2 -104r +381 \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space \space | -225 \space \space \space |:13\)
\(0 = r^2 -8r +12\)
 
Mithilfe der Lösungsformel ergeben sich die Ergebnisse r = 2 und r = 6. Durch das eingangs erwähnte Kriterium für die Bedeutung des Faktors r ergeben sich nun für den Punkt S1 eine Zeit von 12:23Uhr und für den Punkt S2 die Zeit des Übertragungsendes 12:27Uhr.
 
 
 
Lösungsvariante 2
 
Berechnen wir zuerst den Abstand der Geraden uN zur Funkstation F, so erhalten wir den Punkt D.
Als Erstes erzeugen wir die Hilfsebene EH in Koordinatenform, die den Richtungsvektor \(\overrightarrow {PQ}\) als Normalenvektor nutzt und den Punkt F als Stützvektor hat.
\(E_H: 2x-3y=18\)
 
Der Schnittpunkt von EH und uN ist dann aufgrund der Orthogonalität D.
 
\(E_H \cap u_N: \space \space2\cdot(4+2r) -3\cdot (14-3r) = 18\)
\(r=4 \space ⟹ D \space ( \space 12 \space | \space 2 \space |-4 \space)\)
 
Aus der Abstandsgleichung von Punkt zu Punkt ergibt sich nun der Abstand der beiden Punkte D und F.
 
\(d(D,F) = \sqrt{(18-12)^2+(6-2)^2 + (7-(-4))^2} = \sqrt{173}\)
 
Nun können wir unter Zuhilfenahme der Reichweite der Forschungsstation F und des Satzes des Pythagoras den Abstand von D zu S1 bzw. S2 errechnen.
 
\(d(S_1,D) = \sqrt{15^2-(\sqrt{173})^2} = \sqrt {52} = 2 \cdot \sqrt{13}\)
 
Das Gleiche gilt auch für den Abstand von S2 zu D aufgrund der Kongruenz der beiden rechtwinkligen Dreiecke.
Da der Richtungsvektor \(\overrightarrow {PQ}\) einmal abgetragen dem Vergehen von einer Minute entspricht, vergleichen wir seine Länge mit der des Abstandes von D zu den Punkten S1 bzw. S2 .
 
\(\overrightarrow { PQ } =\left(\begin{array}{c} 2 \\ -3 \\0 \end{array}\right)\)
 
\(|\overrightarrow{PQ}| = \sqrt {2^2+(-3)^2} = \sqrt {13}\)
 
Daraus folgt, dass bei der Fahrt des U-Boots November von S1 bis D zwei - und dementsprechend von S1 nach S2 vier - Minuten vergehen. Da beim Punkt D das Ergebnis \(r=4\) bedeutet, dass es zu diesem Zeitpunkt 12:25Uhr ist, beginnt die Übermittlung zwei Minuten vorher und endet zwei Minuten nach Passieren des Punktes D.
 
 
Antwort
Die Übermittlung der Unterwasseraufnahmen ist bei gleichbleibendem Kurs nur zwischen 12:23 Uhr und 12:27 Uhr möglich.

Analytische Geometrie
 
"Die inhaltliche Gestaltung des Themengebietes ergibt sich vor allem aus den Leitideen „Raum und Form“ und „Messen“. Dem Grundgedanken der analytischen Geometrie nähert man sich durch konkrete Darstellungs-, Lage- oder Vermessungsprobleme, bei denen eine Koordinatisierung notwendig wird. Für die analytische Beschreibung komplexerer linearer Gebilde (Geraden, Ebenen, aber auch Strecken und Vielecke) wird der Vektorbegriff nützlich. Das symbolische Operieren mit Vektoren soll mit Bezug auf die geometrisch anschaulichen Wirkungen erarbeitet werden. Ausgehend von elementargeometrischen oder realitätsbezogenen Fragestellungen werden die verschiedenen Formen einer Ebenengleichung (Parameterform, Koordinatenform, Normalenform) sinnvoll genutzt.
 
Mit diesen Werkzeugen lassen sich nun realistische Probleme modellieren und bearbeiten (wie z.B. Projektionen oder Abstand von Flugbahnen). Im Wechsel zwischen geometrischer Darstellung und analytischer Bearbeitung wird das Wissen an weiteren realistischen oder elementargeometrischen Problemen vertieft. Dabei werden Winkel-, Flächen- und Abstandsberechnungen in analytischer Schreibweise erarbeitet. Die im Unterricht zu entwickelnden Begriffe (z.B. Kollinearität, Ortsvektor, Richtungsvektor, Skalarprodukt) werden theoretisch systematisiert ohne den Begriff des Vektorraums allgemein zu thematisieren. Ebenso systematisiert werden Grundkonzepte zur Untersuchung von Lagebeziehungen und zur Bestimmung von Abständen bzw. Winkelmaßen.
 
Die systematischen Untersuchungsalgorithmen führen auch auf die Entwicklung von Verfahren der linearen
Algebra hin. Hierbei gibt es vielfältige Anlässe für problemlösendes Arbeiten und mathematisches Argumentieren, wobei die Schülerinnen und Schüler lernen, elementargeometrische und realitätsbezogene Problemstellungen mithilfe von Koordinaten und Vektoren zu modellieren und die verfügbaren Algorithmen zur Problemlösung zu nutzen."
 
Quelle: Vorläufiger Rahmenlehrplan Mathematik ohne CAS für den Unterricht in der gymnasialen Oberstufe im Land Brandenburg 2014

Diese Aufgabe aus dem Bereich der Oberstufe verlangt den Schülerinnen und Schülern verschiedene Kompetenzen ab.
 
 
Prozessbezogene Kompetenzen
 
Im Bereich der prozessbezogenen Kompetenzen ist zum Einen die Fähigkeit Probleme mathematisch lösen gefordert. Die Schülerinnen und Schüler müssen das zugrundeliegende mathematische Problem des Abstandes erkennen und formulieren und eine geeignete Lösungsstrategie finden und diese ausführen. Sei es nun der Abstand zur allgemeinen Punktmenge (vgl. Lösungsweg 1) oder der der Geraden zum Punkt (vgl. Lösungsweg 2). Hierbei handelt es sich um den Anforderungsbereich (in Folge kurz: AFB) II, da ein mehrschrittiges, strategie-gestütztes Vorgehen zur Lösung der Problemstellung vonnöten ist.
 
Ein weiterer zu nutzender Kompetenzbereich ist der des mathematischen Modellierens. Beim Bearbeiten der Aufgabe muss die beschriebene Realsituation in ein mathematisches Modell aus dem Bereich der analytischen Geometrie überführt und anschließend wieder in die Realität zurückgeführt werden, um diese zu lösen. Die Ergebnisse werden interpretiert und, je nach gewähltem Lösungsweg, durch selbst festgelegte Bedingungen und Variablen beschrieben, weshalb hier der AFB II oder III vorliegt.
 
Die prozessbezogene Kompetenz mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen zu können, wird hier ebenso benötigt. Zum Lösen der Aufgabe müssen Operationen mit mathematischen Objekten (Punkte und Geradengleichung im Raum, Vektoren) ausgeführt werden. In der vorliegenden Aufgabe werden hierbei formale mathematische Verfahren angewendet und mit mathematischen Objekten im Kontext umgegangen, weshalb hier der AFB II anzusetzen ist.
 
 
 
Inhaltsbezogene Kompetenzen
 
Im Bereich der inhaltsbezogenen Kompetenzen ist zuerst der Bereich Algorithmus und Zahl zu nennen. Diese Leitidee umfasst die Kenntnis über mathematische Verfahren, das Verstehen und das Anwenden mathematischer Verfahren. Die darauf bezogenen mathematischen Sachgebiete der Sekundarstufe II sind die Anfänge der Analysis und die Lineare Algebra. In der vorliegenden Aufgabe können die Schülerinnen und Schüler geeignete Verfahren zur Lösung von Gleichungen und Gleichungssystemen auswählen und anwenden und einfache Sachverhalte mit Tupeln (Vektoren) beschreiben.
 
Im Bereich Messen befassen sich die Schülerinnen und Schüler mit dem Bestimmen und Deuten von Größen und können Abstände zwischen Punkten, Geraden und Ebenen bestimmen.
 
Die dritte inhaltsbezogene Kompetenz aus dem Bereich Raum und Form befasst sich mit dem räumlichen Vorstellungsvermögen von Objekten im Raum. Es geht sowohl um Eigenschaften und Beziehungen dieser Objekte als auch um Darstellungen dieser. Das dazugehörige mathematische Sachgebiet der Sekundarstufe II ist die analytische Geometrie. Die Schülerinnen und Schüler können hierbei elementare Operationen mit geometrischen Vektoren ausführen, Geraden und Ebenen (durch Parameter-, Koordinaten- und Normalenform) analytisch beschreiben und die Lagebeziehungen von Punkten, Geraden und Ebenen untersuchen.

Heuristische Hilfsmittel: 
 
  • Es werden bei der Lösung der U-Boot-Aufgabe Gleichungen benutzt. Die Schülerinnen und Schüler müssen zunächst die Geradengleichung für die geradlinig gleichförmige Bewegung des U-Boots aufstellen. Bei Lösungsvariante 2 ist es sogar notwendig eine Ebenengleichung aufzustellen. Außerdem müssen die Lernenden bei beiden Lösungswegen den Abstand zwischen zwei Punkten mit der entsprechenden Gleichung berechnen. Bei Lösungsweg 1 müssen dabei noch Umformungen gemacht werden.
 
  • Außerdem kann bei der Lösung dieser Aufgabe eine Skizze hilfreich sein. Mithilfe einer entsprechenden Aufsicht (vgl. Lösungsweg1 & Lösungsweg 2) kann eine Lösungsidee gewonnen werden. Die Skizze erfüllt hier demnach den Zweck einer Informativen Figur.
 
 
Heuristische Strategien: 
  • Bei der Lösung der Aufgabe ist es zunächst sinnvoll sich an ähnlich-gestellte Aufgaben zu erinnern, um eventuell analoge Strategien auszumachen. Die Schülerinnen und Schüler müssen sich daran erinnern, wie eine Geradengleichung aufgestellt wird und wie ein Abstand zweier Vektoren berechnet wird. Darüber hinaus müssen die Lernenden Kenntnisse über das Umformen von Gleichungen haben. Analogieschlüsse sind demnach von Bedeutung. 
 
  • Eine weitere für diese Aufgabe wichtige Heuristische Strategie ist das kombinerte Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten. Es sind Informationen gegeben und es ist das Zeitfenster gesucht, in welchem eine Übertragung möglich ist. Durch Betrachtung des Gesuchten wird zunächst überlegt, wie bei der Lösung vorgegangen werden muss. Dabei wird das Gegebene berücksichtigt. Es wird also erst rückwärts gearbeitet und in den jeweiligen Schritten der Lösungswege vorwärtsgearbeitet. 
 
Heuristische Prinzipien: 
  • Die Schülerinnen und Schüler müssen sich die Situation zunächst veranschaulichen und die Situation mathematisch modellieren, sie müssen eine Geradengleichung für die Bewegung des U-Boots aufstellen und mit Vektoren rechnen. Somit spielt das Transformationsprinzip eine Rolle.
 
  • Es wird ein Zeitfenster gesucht, in welchem Übertragungen möglich sind. Dazu werden die Punkte S1 und S2 betrachtet (vgl. Lösungsweg 1 und 2). Diese beiden Punkte sind die extremen Elemente, für die die Übertragung gerade noch möglich ist. Somit ist für alle Aufenthaltspunkte des U-Boots zwischen S1 und S2 die Übertragung möglich. Es wird demnach bei der Lösung der Aufgabe das Extremalprinzip angewandt.
 
  • Bei Lösungsweg 2 spielt außerdem das Zerlegungsprinzip eine Rolle. Der Punkt D zerlegt die Strecke \(\bar { { S }_{ 1 }{ S }_{ 2 } } \) in zwei gleich lange Strecken. Es wird der Abstand von S1 zu D mit dem Satz des Pythagoras ermittelt. Aufgrund der Kongruenz der beiden rechtwinkligen Dreiecke (vgl. Skizze 2 bei Lösungsweg 2) kann nun geschlossen werden, dass der Abstand von D zu S2 genauso groß ist. An dieser Stelle wird also auch das Symmetrieprinzip verwendet.

Die vorliegende Aufgabe verknüpft eine Situation der Realität mit der analytischen Geometrie. Es fehlt zwar höchstwahrscheinlich der Lebensweltbezug der Schülerinnen und Schüler, aber sich diesen Sachverhalt mathematisch erschließen zu können, übt einen gewissen Reiz aus. Das Erkennen eines vereinfachten mathematischen Modells von Kreis und Gerade stellt den ersten, großen Schritt im Lösungsfindungsprozess dar. Hat man eine nötige Skizze, beziehungsweise eine gute Vorstellung der mathematischen Entsprechung davon, so kann man nach bekannten Lösungsstrategien suchen.
Wichtig ist es, zu erkennen, dass es einen Eintritts- und einen Austrittspunkt für die Übertragung gibt und die Suche nach diesen Punkten zur Lösung gehört. Die verschiedenen Lösungswege orientieren sich nicht nur am aktuellen Stoff, sondern auch, was manchmal sogar noch schwieriger ist, an Inhalten aus vergangen Schuljahren (Lösungsweg 1 benötigt die Lösungsformel und die Fähigkeit der Termumformung per binomischer Formel, Lösungsweg 2 nutzt den Satz des Pythagoras).
Die größte Schwierigkeit stellt meines Erachtens nach der Transfer vom Parameter r auf die Zeiteinheit Minuten dar. Entweder ist das ein Aspekt, der sofort klar ist, oder der erst erarbeitet werden müsste, indem man den zurückgelegten Weg mit der Zeit vergleicht.
 
Mit den insgesamt 5 erreichten Punkten in den folgenden Bereichen, ergibt sich für die Aufgabe nach Cohors-Fresenborg ein Schwierigkeitsgrad von **.
 
 
Sprachlogische Komplexität: 
Die Aufgabenstellung enthält kleine Nebeninformationen über die Begebenheiten der Umgebung und enthält mit dem Hinweis, dass die Meeresoberfläche die x-y-Ebene sei, auch Informationen, die nicht zur Lösung, aber zur besseren Vorstellung beitragen können. Eine lösungslogische Reihenfolge, mit den Informationen zur Geraden am Anfang und der Reichweite der Station am Ende der Aufgabenstellung, ist nur minimal erkennbar. Somit befindet sich die Aufgabe bezüglich der Sprachlogischen Komplexität auf Stufe 1.
 
Kognitive Komplexität: 
Zum Lösen dieser Aufgabe können die Nebenbedingungen der geradlinig gleichmäßigen Bewegung, die Verknüpfung der Uhrzeit mit dem Streckungsfaktor r und das Verhältnis von Metern zu LE während des Lösungsprozesses parallel einbezogen oder im Nachhinein angewendet werden. Denkvorgänge müssen damit parallel ablaufen und Nebenbedingungen sind für die Lösung von Bedeutung. Es muss aber beispielsweise keine Fallunterscheidung vorgenommen werden. Damit entspricht die Aufgabe auch in diesem Bereich Anforderungen auf Stufe 1.
 
Formalisierung von Wissen: 
In der Aufgabenstellung sind lediglich eine Beschreibung des Sachverhalts und drei Punkte mit ihren Koordinaten gegeben. Alle zur Lösung erforderlichen Rechnungen und ihre symbolischen Repräsentationen müssen aus eigenem Wissen erbracht werden, um voran zu kommen. Ist dies getan, reduziert sich der Lösungsaufwand enorm und bekannte Lösungsalgorithmen wie Abstandsberechnung von Punkt zu Punkt oder die Lösungsformel können angewendet werden. Die Aufgabe hat somit bezüglich der Formalisierung von Wissen Anforderungen auf Stufe 2.
 
Formelhandhabung: 
Hat man einen eigenen Lösungsweg festgelegt, so kann man aus dem Unterricht bekannte mathematische Algorithmen anwenden, die durch den Parameter r an Komplexität gewinnen, wenn man die Punktmenge zur Lösung benutzt. Das Benutzen einer Hilfsebene im alternativen Lösungsweg erweitert auch dort das nötige Wissen, sodass Lösungsroutinen in einem überschaubaren Maß bei beiden vorhanden sind.
Zur Lösung sind Lösungsroutinen in überschaubarem Maße erforderlich und somit kann die Aufgabe bezüglich der Formelhandhabung der Stufe 2 zugeordnet werden.
 
 
Stufenzuordnung: 
Formalisierung von Wissen
Stufe 2
Formelhandhabung
Stufe 1
Kognitive Komplexität
Stufe 1
Sprachlogische Komplexität
Stufe 1

Hilfestellungen: 
In dieser Aufgabe existieren verschiedene Stellen, an denen die Schülerinnen und Schüler Schwierigkeiten haben könnten.
 
 
Der Einstieg und somit die Mathematisierung des Problems stellt einen der Stolpersteine dar.
An dieser Stelle können folgende Hilfestellungen gegeben werden.
 
Allgemein-strategische Hilfen inhaltsorientierte strategische Hilfen inhaltliche Hilfen
Hast du bereits eine ähnliche Aufgabe gelöst? Wie bist du dabei vorgegangen? Wie könnte eine Skizze zum Sachverhalt aussehen? Welchen Kurs beschreibt das U-Boot?
Versuche dir das Problem zu veranschaulichen! Mit welchem mathematischen Objekt lässt sich das U-Boot vergleichen? Wie lässt sich die Reichweite der Funkstation veranschaulichen?
Gibt es notwendige Zwischenschritte, um zu einer Lösung zu gelangen? Mit welchem mathematischen Objekt lässt sich die Meeresforschungsstation mit ihrer Übertragungsweite vergleichen? Wie sähe der Sachverhalt aus der Vogelperspektive aus?
 
  • Als weitere inhaltliche Hilfe kann die folgende Skizze hinzugeben werden:
Nach einem gewissen Zeitraum würde ich die Skizze unabhängig vom Fortschritt an die Tafel bringen, um Alle auf den gleichen Mindestkenntnisstand zu bringen.
Danach haben die Schülerinnen und Schüler mehrere Möglichkeiten fortzufahren. Je nach Lösungsweg entstehen verschiedene weiterführende Skizzen, die den Radius 15LE oder den Abstand von F zu uN einbeziehen.
 
 
 
Ein anderer Knackpunkt ist die Verknüpfung der Geradengleichung mit der Uhrzeit.
Wenn sich dann im Verlauf der Aufgabe der Fokus auf den Zeitaspekt richtet, sei es am Ende, wenn es darum geht die Ergebnisse zu einem Abschluss zu bringen, oder aber auch zu Beginn, wenn man verstehen möchte, womit die Uhrzeit verknüpft ist, so kann man auf verschiedene Punkte hinweisen.
 
Allgemein-strategische Hilfen inhaltsorientierte strategische Hilfen inhaltliche Hilfen
Welche Informationen über die Zeit sind gegeben? Was erfahren wir in der Aufgabenstellung über die Zeit? Wie kann man die Bewegung des U-Bootes möglichst genau beim Erstellen der Geradengleichung darstellen?
Mit welchen Informationen steht die Zeit in der Aufgabenstellung im Zusammenhang? In welchen Abschnitten vergeht die Zeit? An welchem Punkt vergehen eine, zwei, drei, usw. Minuten?
Hilft dir eine Skizze? Mit welcher Größe wird die Zeit normalerweise in Verbindung gebracht?
Wie viele Meter werden pro Minute zurückgelegt?
(Diese Hilfestellung bezieht sich auf die Möglichkeit, die Entfernung von P zu Q als Minute zu erfassen und daraus resultierend die Entfernung der Kreisschnittpunkte S1 und S2 zu P bzw. Q für die Zeitberechnung heranzuziehen.)
 
 
 
Sozialformen: 
Es wäre einfach die Aufgabe frontal im Schüler-Lehrer-Gespräch zu lösen, aber dadurch können leistungsschwächere Schülerinnen und Schüler sich aus der Verantwortung stehlen, selbst nachzudenken. Deshalb würde ich eine Form der Gruppenarbeit bevorzugen, auch wenn das Thema neu eingeführt werden soll. In der sogenannten Platzdeckchen-Methode (Placemat-Methode) hat in einer Gruppe von vier Leuten jeder die Möglichkeit seine Ideen zu erfassen und in seinem Segment eines viergeteilten Blattes (mit einem fünften Feld in der Mitte für das Endergebnis) niederzuschreiben. Nach circa fünf Minuten soll die Gruppen das Blatt um 90° drehen und jeder versucht den Gedankengang des anderen nachzuvollziehen und weiter zu bearbeiten. Dies wird noch zwei weitere Male durchgeführt, bis jeder jeden Gedankengang in Stillarbeit verfolgen konnte. Dadurch bleibt jedes Gruppenmitglied weiterhin aktiv, was in einer alternativen sofortigen Diskussionsrunde meist nicht realisiert wird. Außerdem bekommt jeder Gruppenteilnehmer die Möglichkeit, sich mit den Ideen seiner Gruppenmitglieder auseinanderzusetzen, ohne die Meinung anderer Gruppenmitglieder zu hören. Gleichzeitig  wird  dabei  die  Kritikfähigkeit  der  Schülerinnen und Schüler geschult. Nach einer letzten Rotation erhält jedes Gruppenmitglied seinen eigenen Ideenentwurf zurück und kann diesen überarbeiten. Dadurch lernen die  Schülerinnen und Schüler mit Verbesserungsvorschlägen und Kommentaren anderer umzugehen. Anschließend entscheidet sich die Gruppe für einen gemeinsamen Lösungsweg, der in der Mitte des Blattes (fünftes Feld) festgehalten werden soll. Die verschiedenen Lösungswege der Gruppen werden anschließend dem Plenum erklärt und eventuell aufkommende alternative Wege zum Ergebnis, welche noch nicht vorgestellt wurden, werden aufgezeigt.
 
 
Differenzierungsmöglichkeiten: 
 
Für leistungsschwächere Schülerinnen und Schüler kann die Aufgabe wiefolgt formuliert werden.
 
Veränderung durch Konkretisierung der Aufgabenstellung:
Vor der Steilküste der griechischen Insel Santorin befindet sich ein Forschungs-U-Boot uN in geradlinig gleichförmiger Unterwasserfahrt. Die Meeresoberfläche liegt in der x-y-Ebene, 1LE = 100m. Das Unterwasserfahrzeug befindet sich um 12:21Uhr in P ( 4 | 14 | -4 ) und eine Minute später in Q ( 6 | 11 | -4 ).
Auf der Steilküste befindet sich eine Station für Meeresforschung im Punkt F ( 18 | 6 | 7), zu der vom U-Boot live Unterwasseraufnahmen übermittelt werden sollen. Die Reichweite für diese Übermittlung beträgt 1500 m.
Geben sie allgemein für einen Punkt X ( x | y | z ) der Geraden uN den Abstand zu F ( 18 | 6 | 7 ) an und bestimmen Sie die beiden Punkte auf dem Kurs uN, für die eine Übertragung gerade noch möglich ist.  
Geben Sie das Zeitfenster an, in dem eine Übertragung möglich ist.
 
Dies ist die Originalversion der Teilaufgabe aus der Abiturprüfung für Leistungskurse Mathematik in Berlin/Brandenburg 2013. (vgl. https://bildungsserver.berlin-brandenburg.de/fileadmin/bbb/unterricht/pr...)
Durch den zusätzlichen Satz wird ein Hinweis auf den Lösungsweg durch das Erzeugen einer Punktmenge gegeben. Durch diesen Hinweis wird den Schülerinnen und Schülern ein Lösungsansatz nahegelegt und es ist naheliegend, dass sie die Aufgabe gemäß Lösungsweg 2 bearbeiten.
 
Veränderung durch Anschließen einer Frage:
Vor der Steilküste der griechischen Insel Santorin befindet sich ein Forschungs-U-Boot uN in geradlinig gleichförmiger Unterwasserfahrt. Die Meeresoberfläche liegt in der x-y-Ebene, 1LE = 100m. Das Unterwasserfahrzeug befindet sich um 12:21Uhr in P ( 4 | 14 | -4 ) und eine Minute später in Q ( 6 | 11 | -4 ).
Auf der Steilküste befindet sich eine Station für Meeresforschung im Punkt F ( 18 | 6 | 7), zu der vom U-Boot live Unterwasseraufnahmen übermittelt werden sollen. Die Reichweite für diese Übermittlung beträgt 1500 m.
Ab welchem Punkt S1 auf der Fahrt des U-Boots ist eine Übertragung möglich und bei welchem Punkt S2 verlässt das U-Boot die Reichweite der Meeresforschungsstation?
Geben Sie das Zeitfenster an, in dem eine Übertragung möglich ist.
 
Auch durch diese Frage wird den Schülerinnen und Schülern ein Hinweis zur Lösung gegeben, aber sie werden nicht explizit auf den zweiten Lösungsweg geleitet.
 
Vereinfachung durch Visualisierung:
Vor der Steilküste der griechischen Insel Santorin befindet sich ein Forschungs-U-Boot uN in geradlinig gleichförmiger Unterwasserfahrt. Die Meeresoberfläche liegt in der x-y-Ebene, 1LE = 100m. Das Unterwasserfahrzeug befindet sich um 12:21Uhr in P ( 4 | 14 | -4 ) und eine Minute später in Q ( 6 | 11 | -4 ).
Auf der Steilküste befindet sich eine Station für Meeresforschung im Punkt F ( 18 | 6 | 7), zu der vom U-Boot live Unterwasseraufnahmen übermittelt werden sollen. Die Reichweite für diese Übermittlung beträgt 1500 m.
Geben Sie das Zeitfenster an, in dem eine Übertragung möglich ist.
 

Bei dieser Vereinfachung wird den Schülerinnen und Schülern durch die Skizze ein Hinweis darauf gegeben, zunächst die Punkte S1 und S2 zu berechnen, für welche die Bedingung gilt, dass der Abstand zur Forschungsstation 1500m beträgt. Durch die Skizze werden die Schülerinnen und Schüler aber vermutlich eher auf Lösungsweg 1 geleitet.

 
 
 
Für leistungsstärkere Schülerinnen und Schüler lassen sich folgende Veränderungen der Aufgabenstellung vornehmen:
 
Veränderung durch Ändern von Daten:
Vor der Steilküste der griechischen Insel Santorin befindet sich ein Forschungs-U-Boot uN in geradlinig gleichförmiger Unterwasserfahrt. Die Meeresoberfläche liegt in der x-y-Ebene, 1LE = 100m. Das Unterwasserfahrzeug befindet sich um 12:21:34Uhr in P ( 4 | 14 | -4 ) und um 12:22:10Uhr in Q ( 6 | 11 | -4 ).
Auf der Steilküste befindet sich eine Station für Meeresforschung im Punkt F ( 18 | 6 | 7), zu der vom U-Boot live Unterwasseraufnahmen übermittelt werden sollen. Die Reichweite für diese Übermittlung beträgt 1500 m.
Geben Sie das Zeitfenster an, in dem eine Übertragung möglich ist.
 
Hier wurden die Zeitangaben verändert. Das einmalige Addieren des Richtungsvektors \(\overrightarrow { PQ } \) entspricht somit nicht mehr einer Minute, sondern 31 Sekunden. Dies muss bei der weiteren Lösung berücksichtigt werden und es ergibt sich ein größerer Rechenaufwand.

Die Aufgabe kann auf verschiedene Art und Weise eingesetzt werden.
Wenn man nach dem Erarbeiten von Lagebeziehungen von Punkten, Geraden und Ebenen zu den Abstandsproblemen kommen möchte, so kann man in diese Problematik einführen, indem man versteckt in der Frage nach dem Zeitfenster ein Abstandsproblem ins Plenum gibt. Die Gleichung des Abstandes von Punkt zu Punkt wird im regulären Ablauf der analytischen Geometrie in der Schule gleich zu Beginn des Themas behandelt, sodass diese Formel bereits zum Repertoire der Schüler gehört. Diese Aufgabe enthält somit sowohl eine Wiederholung, als auch die Sensibilisierung für ein neues Themengebiet. Der alternative Lösungsweg 2 könnte hierbei eine eigene Erarbeitung der drei Schritte zur Problemlösung "Abstand Punkt-Gerade" bringen.
Alternativ ist diese Aufgabe durch seinen Realitätsbezug und seine Herkunft (Abituraufgabe 2013) hervorragend für das letzte Kurshalbjahr zur wiederholenden und vertiefenden Vorbereitung auf die abschließende Abiturprüfung geeignet, da die Schülerinnen und Schüler so ein Gespür dafür bekommen, wie umfangreich die Aufgaben sein können und welche Anforderungen an die Kompetenzen der Schülerinnen und Schüler gestellt werden.
 


Bearbeitet von: Christian Reinke (überarbeitet von Marisa Pfläging)
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