Volkszählung

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Klasse Schulstufe Thema Themengebiet Schwierigkeit
6 Sekundarstufe I Teilermenge einer natürlichen Zahl Zahlen und Operationen **
Heuristsche Hilfsmittel Heuristische Prinzipien Heuristische Strategien
Tabelle Zerlegungs- und Ergänzungsprinzip, Fallunterscheidungsprinzip Vorwärtsarbeiten, Systematisches Probieren

Aufgabenstellung

Während der letzten Volkszählung sagte ein Mann, dass er drei Kinder hatte. Auf die Frage ihres Alters antwortete er: „Das Produkt ihres Alters beträgt 72 Jahre. Die Summe ihres Alters ist die gleiche wie meine Hausnummer." Der Interviewer rannte zur Tür und schaute auf die Hausnummer. „Ich kann immer noch nicht sagen, wie alt ihre Kinder sind!“, beschwerte er sich. Der Mann antwortete: „Oh, das ist richtig. Ich habe Ihnen vergessen zu sagen, dass die Älteste Schokoladenpudding mag.“
Nun schrieb der Interviewer das Alter der drei Kinder auf. Wie alt sind sie? Wie lautet die Hausnummer? Begründe.
 

Quellenangabe:

http://mathforum.org/library/drmath/view/58492.html


Lösungsvariante 1
 
Gegeben: Das Produkt des Alters der drei Kinder beträgt 72.
 
Deshalb bestimmen wir die Teilermenge von 72, indem wir 72 durch alle natürlichen Zahlen, die kleiner sind als 72, teilen. Die Teilermenge enthält nur die echten Teiler.
 
T​72={1,2,3,4,6,8,9,12,18,24,36,72}
 
Mithilfe der Zahlen aus der Teilermenge bestimmen wir das Produkt dreier Zahlen, welches 72 ergeben muss. Hinter den Möglichkeiten notieren wir die Summe dieser drei Zahlen, um mögliche Hausnummern zu bestimmen.
 
  Möglichkeiten für die Multiplikation der Faktoren, die 72 ergeben: Möglichkeiten für die Hausnummer (Summenbildung)
  \(1\cdot 1\cdot 72=72\) \(74\)
  \(1\cdot 2\cdot 36=72\) \(39\)
  \(1\cdot 3\cdot 24=72\) \(28\)
  \(1\cdot 4\cdot 18=72\) \(23\)
  \(1\cdot 6\cdot 12=72\) \(19\)
  \(1\cdot 8\cdot 9=72\) \(18\)
  \(2\cdot 2\cdot 18=72\) \(22\)
  \(2\cdot 3\cdot 12=72\) \(17\)
  \(2\cdot 4\cdot 9=72\) \(15\)
1. \(2\cdot 6\cdot 6=72\) \(14\)
2. \(3\cdot 3\cdot 8=72\) \(14\)
  \(3\cdot 4\cdot 6=72\) \(13\)
 
Dies sind alle Möglichkeiten, das Produkt von 72 darzustellen. Das Produkt 72 bilden wir, indem wir die Kombinationen beginnend mit der kleinstmöglichen Zahl der Teilermenge und den entsprechenden zwei weiteren Faktoren der Teilermenge ermitteln. Die anderen Möglichkeiten müssen aufgrund der Kommutativität nicht betrachtet werden.
 
Da nach der ersten Aussage aus der Aufgabenstellung noch nicht eindeutig erkennbar ist, wie alt die Kinder sind, bedeutet dies, dass es mindestens zwei gleiche Möglichkeiten bei der Summe gibt, die die Hausnummer darstellt. In unserer Aufgabe ist dieses 14. Die letzte und entscheidende Information besagt, dass es ein ältestes Kind gibt. Daher scheidet 1. aus, da es dort nicht eine, sondern zwei größte Zahlen gibt. Daraus ergibt sich, dass 2. richtig ist und die Kinder also 3, 3 und 8 Jahre alt sind sowie die gesuchte Hausnummer 14 ist.
 
 
 
 
Lösungsvariante 2
 
Wir bilden „Teilerpaare“ von 72: (1,72); (2,36); (3,24); (4,18); (6,12); (8,9)
 
Teilerpaar Möglichkeiten für die Zerlegung eines Teilers Möglichkeiten für die Hausnummer (Summenbildung)
\((8,9): \) \( 2,4,9\) \(15\)
  \( 8,3,3\) \(14\)
  \(8,1,9\) \(18\)
\((6,12):\) \( 2,3,12\) \(17\)
  \(1,6,12\) \(19\)
  \(6,6,2\) \(14\)
  \(6,3,4 \) \(11\)
\((4,18):\) \(2,2,18\) \(22\)
  \(4,1,18 \) \(23\)
  \(4,2,9\) \(15\)
  \(4,3,6\) \(13\)
\( (3,24):\) \(3,1,24 \) \(28\)
  \(3,2,12 \) \(17\)
  \(3,4,6\) \(13\)
  \(3,3,8\) \(14\)
\((2,26):\) \(1,2,36 \) \(39\)
  \(2,6,6\) \(14\)
  \(2,4,9\) \(15\)
  \(2,2,18 \) \(22\)
  \(2,3,12 \) \(17\)
\((1,72):\) \(1,1,72\) \(74\)
  \(1,8,9 \) \(18\)
  \(1,6,12\) \(19\)
  \(1,4,18\) \(23\)
  \(1,3,24 \) \(28\)
  \(1,2,36\) \(39\)

Um von zwei Teilern auf drei Teiler zu kommen, zerlegen wir einen der Teiler in zwei weitere. Wir haben jede mögliche Zerlegung aufgeschrieben. Die Zahlenkombinationen, die aufgrund von Kommutativität doppelt vorkommen, haben blau markiert.
Betrachtet man nun die übrigen Ergebnisse, fällt auf, dass nur noch die 14 doppelt vorkommt. Da es nur ein ältestes Kind gibt, können wir eine Lösung ausschließen. Somit sind die Kinder 3,3 und 8 Jahre alt und die Hausnummer ist 14.
 

Die Aufgabe Volkszählung kann im Rahmen der Unterrichtseinheit Teilermenge einer natürlichen Zahl durchgeführt werden. Es ist notwendig, dass die Schülerinnen und Schüler Grundkenntnisse über die natürlichen und ganzen Zahlen beherrschen sowie mit diesen operieren und korrekt umgehen können.
Das Thema „Teilermenge einer natürlichen Zahl“ baut auf den Grundkenntnissen, die in der Grundschule gelernt werden auf. Ohne diese Kenntnisse könnten die Schülerinnen und Schüler nicht die Teiler einer natürlichen Zahl bestimmen. Aufgrund dessen lässt sich das Thema gut am Anfang der Sek 1 in der Realschule behandeln.
 
Außerdem bietet das Thema eine Hinführung für das Kürzen von Brüchen, da beim Kürzen jeweils die Teilermenge des Zählers sowie des Nenners gebildet wird. Die Zahlen des Schnitts beider Teilmengen sind die Zahlen, mit denen der Bruch gekürzt werden kann.
Des Weiteren dient das Thema als Hinführung zum Bilden des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) bzw. des größten gemeinsamen Teilers (ggT), da für die gegebenen Zahlen ebenfalls die Teilermengen bestimmt werden müssen, um das kgV bzw. den ggT ablesen zu können.
 
Aufgrund der im Folgenden aufgeführten Kompetenzen kann die Aufgabe „Volkszählung“ der Jahrgangsstufe 6 zugeordnet werden.
Wir sehen die Aufgabe als eine anspruchsvolle Problemlöseaufgabe, da die Schülerinnen und Schüler versteckte Informationen der Aufgabenstellung entnehmen müssen („… die Älteste Schokoladenpudding mag“). Da die Schülerinnen und Schüler aber eine konkrete Fragestellung erhalten, ist ihnen bekannt, was sie herausfinden bzw. errechnen sollen.
 

Inhaltsbezogene Kompetenzformulierungen
 
Zahlen und Operationen
 
  • Die Schülerinnen und Schüler müssen zur Lösung der Aufgabe die Bedeutung der Begriffe Produkt und Summe kennen und mit diesen umgehen können. Da bei unserer Aufgabe nur die natürlichen Zahlen relevant sind, müssen die Schülerinnen und Schüler die Grundrechenarten bzgl. der natürlichen Zahlen beherrschen. 
Zahlen und Operationen, Ende Schuljahrgang 6 "Die Schülerinnen und Schüler kennen Bedeutung und Zusammenhänge der Grundrechenarten der natürlichen und positiven rationalen Zahlen und nutzen sie." (KC Niedersachsen Realschule 2014, S.24)
 
  • Um den ersten Teil der Aufgabe der drei Kinder zu bestimmen, müssen die Schülerinnen und Schüler überlegen, welche natürlichen Zahlen die 72 teilen, um anschließend die Teilermenge bestimmen zu können. Um das Produkt dreier natürlicher Zahlen zu bilden, müssen die sie die multiplikative Struktur nutzen.
Zahlen und Operationen, Ende Schuljahrgang 6 "Die Schülerinnen und Schüler nutzen die multiplikative Struktur natürlicher Zahlen (Teilbarkeit, Primzahlen, Quadratzahlen)." (ebd.)
 
  • Die Schülerinnen und Schüler rechnen mit natürlichen Zahlen im Kopf, wenn sie die echten Teiler der 72 bestimmen. Des Weiteren führen sie die schriftliche Rechnung durch, indem sie das Produkt dreier Zahlen bzw. die Summe bilden.
Zahlen und Operationen, Ende Schuljahrgang 6 "Die Schülerinnen und Schüler rechnen mit natürlichen Zahlen im Kopf, halbschriftlich und schriftlich, wählen das Verfahren sinnvoll aus und führen Division mit einfachen mehrstelligen Divisoren aus." (KC Niedersachsen Realschule 2014, S.25)
 
 
 
Prozessbezogene Kompetenzformulierungen
 
Mathematische Probleme lösen
Da die Schülerinnen und Schüler zu Beginn der Lösung die Teilermenge der Zahl 72 bilden müssen, zerlegen sie diese in ihre echten natürlichen Teiler. 
Mathematische Probleme lösen, Ende Schuljahrgang 6 "Die Schülerinnen und Schüler wenden die Strategie des Zerlegens und Zusammensetzens an." (KC Niedersachsen Realschule 2014, S. 19) 
 
Mathematisch modellieren
Die Schülerinnen und Schüler müssen mit den Rechenoperationen der Addition und Multiplikation vertraut sein, da sie das Produkt dreier Zahlen bilden sollen, welches 72 ergeben muss, sowie eine Summe bilden müssen, um die Hausnummer zu ermitteln.
Mathematisch modellieren, Ende Schuljahrgang 6 "Die Schülerinnen und Schüler lösen Aufgaben unter Anwendung von Rechenoperationen, Diagrammen, Tabellen oder Häufigkeiten (KC Niedersachsen Realschule 2014, S. 20)
 
Mathematisch argumentieren
Aufgrund des umfangreichen Lösungsweges müssen die Schülerinnen und Schüler die endgültige Lösung (Ermittlung des Alters der drei Kinder und der Hausnummer) begründen. Dazu müssen sie auch Bezug zur Aufgabenstellung nehmen, da die letzte Aussage („[…] die Älteste Schokoladenpudding mag“) entscheidend für die Eindeutigkeit der Lösung ist.
Mathematisch arumentieren, Ende Schuljahrgang 6 "Die Schülerinnen und Schüler begründen ihre Lösungsansätze und Lösungswege." (KC Niedersachsen Realschule 2014, S. 18)
 

Heuristische Hilfsmittel: 
  • Tabelle: Um den Lösungsweg gut zu strukturieren, ist es hilfreich eine Tabelle anzulegen. Diese enthält zum einen die Möglichkeiten ein Produkt dreier Zahlen, welches 72 ergeben muss, zu bilden und zum anderen die Summe dieser drei Zahlen, um die Hausnummer zu ermitteln.
 
 
Heuristische Strategien: 
  • Vorwärtsarbeiten: Ausgehend von den gegebenen Informationen wird versucht, das gesuchte Ergebnis zu erreichen. Das Vorgehen erfolgt vom Gegebenen zum Gesuchten.
 
  • Systematisches Probieren: Zunächst werden alle Möglichkeiten der Alterskombinationen, die multipliziert miteinander 72 ergeben, notiert, was einem systematischen Vorgehen entspricht, da nur Kombinationen mit drei Faktoren relevant sind. Diese erfüllen somit bereits die eine Bedingung. Allerdings gibt es zwei weitere Bedingungen („Die Summe ihres Alters ist die gleiche wie meine Hausnummer.“ und „[...] die Älteste Schokoladenpudding mag.“), die erfüllt sein müssen. Dementsprechend kommt nur eine richtige Lösung in Frage.
 
 
Heuristische Prinzipien: 
  • Zerlegungsprinzip: Die Schülerinnen und Schüler müssen die Zahl 72 in ihre echten natürlichen Teiler zerlegen. So erhalten sie durch Zergliedern dieser Zahl nötige Informationen, um das Produkt dreier Zahlen und die Summe zu erhalten und somit die Aufgabe zu lösen.
 
  • Fallunterscheidungsprinzip: Die Schülerinnen und Schüler müssen alle möglichen Ausgangssituationen betrachten und deren Ergebnisse ermitteln. Dieses Vorgehen strukturiert und vereinfacht das Problem, da so bestimmte Ausgangssituationen ausgeschlossen werden können. 

Die möglichen Schwierigkeiten für die Schülerinnen und Schüler könnten bei dieser Aufgabe zum einen die unklare Formulierung der Ausgangssituation und zum anderen, dass der Lösungsansatz nicht direkt erkennbar ist, dass die Aussagen erst miteinander verknüpft werden müssen und dass die Schülerinnen und Schüler nicht einfach ein bekanntes Schema anwenden können, sein. Diese Schwierigkeiten finden sich nach Cohors-Fresenborg in deren sprachlogischen Komplexität, kognitiven Komplexität, der Formalisierung von Wissen und Formelhandhabung wieder.
 
Für die Aufgabe ergibt sich mit insgesamt 5 Punkten ein Schwierigkeitsgrad von **.
 
 
Sprachlogische Komplexität: 
Da die Reihenfolge der Sätze die mathematische Bearbeitung erschweren, einige Informationen nicht unmittelbar zur Bearbeitung übernommen werden können, die Schülerinnen und Schüler Gleichungen, insbesondere alle möglichen Gleichungen, zur Bearbeitung aufstellen müssen, ist ein systematisches Vorgehen erforderlich. Daher wird die Aufgabe der Stufe 2 bezüglich der sprachlogischen Komplexität zugeordnet.
 
 
Kognitive Komplexität: 
Die kognitive Komplexität wird in Form der Stufe 2 erfasst, da die Schülerinnen und Schüler mehrere Denkschritte parallel verarbeiten, indem sie mit denselben drei Zahlen parallel das Produkt sowie die Summe bilden müssen. Des Weiteren müssen die Schülerinnen und Schüler vor der Bearbeitung der Aufgabe ihre Denkvorgänge auswählen.
 
 
Formalisierung von Wissen: 
Da die Schülerinnen und Schüler sich eine Tabelle, in der sie einfache Terme notieren, erstellen, wird mit der Aufgabe die Stufe 1 der Formalisierung von Wissen angesprochen. 
 
 
Formelhandhabung: 
Zur Bearbeitung der Aufgabe sind einfache algebraische Operationen nötig, allerdings keine komplexen. Daher ordnen wir sie der Stufe 0 bezüglich der Formelhandhabung zu.
 
 
Stufenzuordnung: 
Formalisierung von Wissen
Stufe 1
Formelhandhabung
Stufe 0
Kognitive Komplexität
Stufe 2
Sprachlogische Komplexität
Stufe 2

Hilfestellungen: 
Die erste kritische Stelle bei dieser Aufgabe „Volkszählung“ liegt möglicherweise direkt beim Beginn der Lösung der Aufgabe, da die Schülerinnen und Schüler nicht wissen, wie sie die Aufgabe strukturiert bearbeiten sollen.
 
Allgemein-strategische Hilfen Inhaltsorientierte-strategische Hilfen Inhaltliche Hilfen
Mache dir eine kleine Liste der gegebenen Informationen.
Wie könntest du strukturiert verschiedene Alterskombinationen herausfinden?“
 Überlege dir, welche Zahlenkombinationen das Produkt 72 ergeben.
Mache dir eine informative Skizze. Wie kannst du Teiler einer natürlichen Zahl bestimmen? Überlege dir, aus wie vielen Faktoren die Produktbildung bestehen muss.
Kennst du eine ähnliche Aufgabe, bei der du eine Teilermenge bilden musstest? Woran erkennst du, welche Zahlen zur Teilermenge der Zahl 72 gehören? In welchem Zusammenhang steht die Teilermenge mit der Bearbeitung der Aufgabe?
 
 
Eine weitere kritische Stelle bei dieser Aufgabenstellung könnte sein, dass die Schülerinnen und Schüler nicht erkennen, welche der gegebenen Informationen aus der Aufgabe zur Lösung relevant sind. 
 
Allgemein-strategische Hilfen Inhaltsorientierte-strategische Hilfen Inhaltliche Hilfen
Markiere dir im Text wichtige Informationen, die du zur Aufgabenlösung benötigst. Wie kannst du dir mit Hilfe der Teilermenge verschiedene Möglichkeiten zur Multiplikation der Faktoren, die 72 ergeben, ermitteln? Ist die Aussage, die Älteste mag Schokoladenpudding, relevant?
Mache dir eine Skizze, in der alle relevanten Informationen vorhanden sind. Inwiefern hilft dir die Bestimmung der Hausnummer bei der Bestimmung des Alters der Kinder? Was bedeutet, dass das Produkt des Alters der Kinder 72 beträgt?
Mache dir Notizen über gegebene Informationen und das Gesuchte. Gibt es eine Information, die dir den entscheidenden Hinweis zur Lösung der Aufgabe gibt? In welchem Zusammenhang steht das Alter der Kinder zu der Hausnummer?
 
 
Sozialformen: 
  • Einzelarbeit
  • Partnerarbeit
  • Gruppenarbeit
 
 
Differenzierungsmöglichkeiten: 
Für leistungsschwächere Schülerinnen und Schüler gibt es folgende Möglichkeiten für die Veränderung der Aufgabe:
 
Vereinfachung durch Lücken beheben/eindeutigere Formulierung:
Während der letzten Volkszählung sagte ein Mann, dass er drei Kinder hatte, wobei zwei gleich alt sind. Auf die Frage ihres Alters antwortete er: „Das Produkt ihres Alters beträgt 72 Jahre. Die Summe ihres Alters ist die gleiche wie meine Hausnummer.“ Der Interviewer rannte zur Tür und schaute auf die Hausnummer. „Ich kann immer noch nicht sagen, wie alt ihre Kinder sind!“, beschwerte er sich. Der Mann antwortete: „Oh, das ist richtig. Ich habe Ihnen vergessen zu sagen, dass die Älteste Schokoladenpudding mag.“ Nun schrieb der Interviewer das Alter der drei Kinder auf. Wie alt sind sie? Wie lautet die Hausnummer? Begründe.
 
Durch diese Abwandlung wird offensichtlich, dass nur eine Lösung in Frage kommt.
 
Vereinfachung durch Datenänderung, Lückenbehebung und durch Eliminierung unwichtiger Informationen:
Während der letzten Volkszählung sagte ein Mann, dass er drei Kinder hatte. Auf die Frage ihres Alters antwortete er: „Das Produkt ihres Alters beträgt 18 Jahre, wobei zwei Kinder gleichalt sind. Die Summe ihres Alters ist die gleiche wie meine Hausnummer.“ Nun schrieb der Interviewer das Alter der drei Kinder auf. Wie alt sind sie? Wie lautet die Hausnummer? Begründe.
 
Hier ist nicht mehr das Produkt 72, sondern das Produkt 18 gegeben, wodurch es weniger Möglichkeiten für das Alter der Kinder gibt. Außerdem wird wie in der vorherigen Änderung angegeben, dass zwei Kinder gleichalt sind. So ist es für die leistungsschwächeren Schülerinnen und Schüler leichter, das Alter der Kinder und die Hausnummer zu bestimmen.
 
 
 
Für leistungsstärkere Schülerinnen und Schüler ist es schwierig die Aufgabe umzuändern, da sie bereits sehr komplex, unklar formuliert ist und versteckte Informationen („Ich kann immer noch nicht sagen, wie alt ihre Kinder sind!“, „[…] die Älteste Schokoladenpudding mag.“) enthält.

Die Aufgabe eignet sich zum Vertiefen des Themas „Teilermenge einer natürlichen Zahl“. Dementsprechend lässt sich diese Aufgabe gut zum Ende der Unterrichtsreihe verwenden. Mit dieser alltagsbezogenen Aufgabe können die Schülerinnen und Schüler ihr erworbenes Wissen über die „Teilermenge einer natürlichen Zahl“ anwenden. Allerdings handelt es sich bei der Aufgabe nicht um eine reine Reproduktionsaufgabe, sondern um eine Problemlöseaufgabe mit erhöhtem Schwierigkeitsgrad, da das Vorgehen nicht offensichtlich ist und durch systematisches Arbeiten ermittelt werden muss.
 


Bearbeitet von: Sophia Victoria Roclawski, Laura Wernemann (hochgeladen von Marisa Pfläging)
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