Rechteckseiten II

Klasse Schulstufe Thema Themengebiet Schwierigkeit
5/ 6 Primarstufe Flächeninhalt von Rechtecken Größen und Messen, Raum und Form ***

Aufgabenstellung

Die längere Seite eines Rechtecks ist mehr als dreimal so lang wie die kürzere Seite. Der Umfang des Rechtecks beträgt 26 cm. Wie groß ist der Flächeninhalt?

 

 

 

Quellenangabe:

angelehnt an die Aufgabe „Rechteckseiten“ aus dem Schülerarbeitsheft „Mathe Welt – Problemlösetraining in der Geometrie“, S. 5


Lösungsvariante 1 - Tabellarische Lösung

 

Die verschiedenen Möglichkeiten für ganzzahlige Seitenlängen a und b eines Rechtecks mit einem Umfang von 26 cm werden in einer Tabelle aufgelistet:
 

\(U = 2a + 2b\)

In cm

b

In cm

a

In cm

\(A=a\cdot b\)

In cm²
26 1 12 12
26 2 11 22
26 3 10 30
26 4 9 36
26 5 8 40
26 6 7 42

 

Alle angegebenen Kombinationen von a und b bilden den richtigen Umfang, jedoch erfüllt nur die markierte Lösung (a = 10 cm und b = 3 cm) die Bedingung \(a = 3b + x\), sodass diese Kombination die einzige Lösung ist.

Mit der Formel zur Berechnung des Flächeninhalts von Rechtecken kann nun der Flächeninhalt eines solchen Rechtecks berechnet werden:

  \(A=a\cdot b\)
\(\Rightarrow \) \(A=10\cdot 3\)
\(\Leftrightarrow \) \(A=30\)

 

Der Flächeninhalt eines Rechtecks, bei dem die längere Seite mehr als dreimal so lang wie die kürzere Seite ist, beträgt somit 30 cm².

 

 

 

Lösungsvariante 2 - Lösung mithilfe von Gleichungen

 

gegeben: 

\(U = 26 cm; U = 2a+2b\)

\(a = 3b + x\)

 

gesucht:

\(a, b, A\)

 

Lösung:

  \(U = 2a + 2b\)  
\(\Rightarrow \) \(26 = 2a + 2b\) | \(: 2\)
\(\Leftrightarrow \) \(13 = a + b\)  

 

Bei der Ermittlung von a und b muss die in der Aufgabenstellung gegebene Bedingung \(a = 3b + x\) berücksichtigt werden. Eine mögliche Kombinationen von a und b ist neben a = 10 cm und b = 3 cm beispielsweise auch \(13 cm = 9cm + 4cm\). Diese Möglichkeit erfüllt jedoch nicht die Bedingung \(a = 3b + x\). Aus diesem Grund ist die Lösung a = 10 cm und b = 3 cm die einzige Möglichkeit unter den gegebenen Bedingungen zum richtigen Ergebnis zu gelangen.

Mit der Formel zur Berechnung des Flächeninhalts von Rechtecken lässt sich nun der Flächeninhalt eines solchen Rechtecks berechnen:

  \(A=a\cdot b\)
\(\Rightarrow \) \(A=10\cdot 3\)
\(\Leftrightarrow \) \(A=30\)

 

Der Flächeninhalt des Rechtecks ist 30 cm² groß.

 

 

 

Lösungsvariante 3 - Lösung mithilfe einer Informativen Figur

 

Betrachte \(U = 2a + 2b = 26 cm\). Zeichne für alle Möglichkeiten der Seitenlängen \(a\) und \(b\) eines Rechtecks, für das die Bedingung \(a = 3b + x\) (mit a, b, x gazzahlig) gilt, eine Informative Figur und überprüfe jeweils die Bedingung:

 

b = 1

 

a = 12

\(a\neq 3b+x\quad \)

b = 2

 

a = 11

\(a\neq 3b+x\quad \)

b = 3

 

 

a = 10

\(a = 3b + x\)

b = 4

 

a = 9

\(a\neq 3b+x\quad \)

b = 5

 

a = 8

\(a\neq 3b+x\quad \)

b = 6

 

a = 7

\(a\neq 3b+x\quad \)

 

Es lässt sich erkennen, dass nur mit a = 10 cm und b = 3 cm die Bedingung a = 3b + x erfüllt ist. Somit handelt es sich bei diesen Seitenlängen um die Seitenlängen des Rechtecks.

Ermittle nun mit der Formel zur Berechnung des Flächeninhalts von Rechtecken den Flächeninhalt:

 

  \(A=a\cdot b\)
\(\Rightarrow \) \(A=10\cdot 3\)
\(\Leftrightarrow \) \(A=30\)

 

Der Flächeninhalt des Rechtecks beträgt also 30 cm².


Die Aufgabe "Rechteckseiten II" ist für die fünfte/sechste Klassenstufe geeignet, da laut brandenburgischen Rahmenlehrplan Mathematik für die Jahrgangsstufen 1-10 (LISUM (2015)) die Ermittlung von Flächeninhalten ausgehend von den Angaben zum Umfang einer geometrischen Figur in einer dieser Klassenstufen eingeführt wird (LISUM (2015), Größen und Messen, Niveaustufe D, S.43) und Kenntnisse über diese Berechnungen eine Voraussetzung für die Bearbeitung der Aufgabe darstellen.


Nach brandenburgischen Rahmenlehrplan Mathematik für die Jahrgangsstufen 1-10 (vgl. LISUM, 2015), der ab dem Schuljahr 2017/18 gültig ist, werden bei der Aufgabe "Rechteckseiten II" die inhaltsbezogenen Kompetenzbereiche [L1] Zahlen und Operationen, [L2] Größen und Messen und [L4] Gleichungen und Funktionen sowie die prozessbezogenen Kompetenzbereiche [K1] Mathematisch argumentieren, [K2] Probleme mathematisch lösen und [K4] Mathematische Darstellungen verwenden gefördert:

 

inhaltsbezogener Kompetenzbereich Erklärung in Bezug auf die Aufgabe "Rechteckseiten II"
[L1] Zahlen und Operationen Die Schülerinnen und Schülern müssen durch die Bedingung „Die längere Seite eines Rechtecks ist mehr als dreimal so lang wie die kürzere Seite.“ eine Vorstellung von den darin enthaltenen Zahlen und deren Beziehung untereinander entwickeln (b = 3a + x). Ebenfalls müssen sie für die Bearbeitung der Aufgabe eine geeignete Rechenstrategie entwickeln.
[L2] Größen und Messen Ein Teil der Aufgabenstellung umfasst die Frage nach dem Flächeninhalt in diesem geometrischen Sachverhalt, den die Schülerinnen und Schüler berechnen sollen.
[L4] Gleichungen und Funktionen Wenn sich die Schülerinnen und Schüler dazu entscheiden, diese Aufgabe mit dem heuristischen Hilfsmittel „Gleichung“ zu bearbeiten, arbeiten sie mit Termen und Variablen. Durch die
Bedingung, die in der Aufgabenstellung getroffen wird („Die längere Seite eines Rechtecks ist mehr als dreimal so lang wie die kürzere Seite.“), müssen die Schülerinnen und Schüler einen Term aufstellen: b = 3a + x. In diesem Term ist eine Variable x vorhanden, die sie bei der Berechnung der
Lösung berücksichtigen müssen.
prozessbezogener Kompetenzbereich Erklärung in Bezug auf die Aufgabe "Rechteckseiten II"
[K1] Mathematisch argumentieren Die Schülerinnen und Schüler müssen ausgehend von der Aufgabenformulierung erkunden, was gegeben ist, was gesucht ist und auch welche Bedingung für das Lösen dieser Aufgabe eingehalten werden muss (b = 3a + x). Des Weiteren müssen sie im weiteren Verlauf der Aufgabenlösung argumentieren, warum aus mehreren Kombinationen für a und b nur eine Kombination zur richtigen Lösung führt.
[K2] Probleme mathematisch lösen Für das Lösen der Aufgabe können verschiedene Lösungsmöglichkeiten verwendet werden. Die Schülerinnen und Schüler müssen sich mit dem mathematischen Problem in der Aufgabenstellung auseinandersetzen und entscheiden, welche heuristische Strategie bzw. welches Hilfsmittel sie für
das Lösen der Aufgabe verwenden. Durch Ergebnisprüfung und Reflexion des Lösungswegs lernen die Schülerinnen und Schüler, ob der gewählte Lösungsweg effektiv war oder nicht.
[K4] Mathematische Darstellungen verwenden Die Aufgabe kann mit verschiedenen mathematischen Darstellungen gelöst werden und die Schülerinnen und Schüler können frei wählen, welche sie für ihren Lösungsweg verwenden. Die vorliegende Aufgabe selbst ist eine verbale Beschreibung (geschriebener Text). Um die Aufgabe zu lösen können Schülerinnen und Schüler mathematisch-symbolische Darstellungen (Terme) oder numerische Darstellungen (Tabelle) verwenden.

 

 

Inhaltsbezogene Kompetenzformulierungen

 

Raum und Form [L3]

Kompetenz 1: Die Schülerinnen und Schüler konstruieren mithilfe von Lineal und Bleistift ein Rechteck.

"Zeichnen ebener Figuren [...] mithilfe von Zeichengeräten (Lineal, [...]) überwiegend auf Rasterpapier" (LISUM (2015), Geometrische Objekte darstellen, Niveaustufe B, S.46)

 

Kompetenz 2: Die Schülerinnen und Schüler nutzen die Merkmale und Eigenschaften eines Rechtecks bei der Lösung von mathematischen Problemen.

"Die Schülerinnen und Schüler können ausgewählte geometrische Objekte qualitativ beschreiben" (LISUM (2015), Geometrische Objekte und ihre Eigenschaften beschreiben, Niveaustufe C, S.26)

 

Gleichungen und Funktionen [L4]

Kompetenz 3: Die Schülerinnen und Schüler berücksichtigen eine Bedingung für die Seitenlängen, indem sie diese mit einer selbst aufgestellten mathematischen Gleichung überprüfen.

"Darstellen von Sachverhalten (auch innermathematische) durch Terme und Gleichungen (auch mit mehreren Rechenoperationen)" (LISUM (2015), Terme und Gleichungen darstellen, Niveaustufe C, S.52), "selbstständiges Überprüfen der Richtigkeit einer Lösung, rechnerisch und in Bezug auf den Sachkontext" (LISUM (2015), Gleichungen und Gleichungssysteme lösen, Niveaustufe C, S.52)

 

 

Prozessbezogene Kompetenzformulierungen

 

Probleme mathematisch lösen [K2]/Mathematische Darstellungen verwenden [K4]

Kompetenz 4: Die Schülerinnen und Schüler verwenden heuristische Hilfsmittel (Gleichungen, Informative Figuren, Tabellen) und mathematische Darstellungen, um Problemlöseaufgaben zu verstehen und zu lösen.

"Die Schülerinnen und Schüler können heuristische Hilfsmittel zum Problemlösen anwenden" (LISUM (2015), S.19), "Die Schülerinnen und Schüler können geeignete Darstellungen für das Bearbeiten mathematischer Sachverhalte und Probleme auswählen, nutzen und entwickeln" (LISUM (2015), S.20)
 

Kompetenz 5: Die Schülerinnen und Schüler wenden ihr Wissen über den Umfang sowie den Flächeninhalt von Rechtecken zur Problemlösung an.

"Die Schülerinnen und Schüler können mathematische Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten bei der Bearbeitung von Problemen anwenden" (LISUM (2015), S.19)

 

 

Mathematisch argumentieren [K1]

Kompetenz 6: Die Schülerinnen und Schüler entwickeln unter Zuhilfenahme von heuristischen Hilfsmitteln (Gleichungen, Informative Figuren, Tabellen) eine mehrschrittige Argumentation zur Begründung und zum Beweisen einer Aufgabenlösung.

"Die Schülerinnen und Schüler können mehrschrittige Argumentationen zur Begründung und zum Beweisen mathematischer Aussagen entwickeln" (LISUM (2015), S.19)


Heuristische Hilfsmittel: 
  • Für die Lösung der Aufgabe sind Gleichungen notwendig. Insbesondere bei der zweiten Lösungsvariante ist das Nutzen von Gleichungen besonders stark ausgeprägt. Für diesen Lösungsweg wird auch am weinigsten Zeit benötigt: Da in der Aufgabenstellung gegeben war, dass „Die längere Seite eines Rechtecks [...] mehr als dreimal so lang wie die kürzere Seite“ ist, wird bei diesem Lösungsweg dieser Sachverhalt (Beziehung zweier Seitenlängen) zunächst im Kopf in einen Term umgewandelt (b = 3a + x). Ausgehend von diesem Term wird die Aufgabe dann als erstes mit einer Gleichung bearbeitet. Da sowohl Seitenlängen als auch der Flächeninhalt berechnet werden muss und die zusätzliche Variable x verwendet wird, ist das Hilfsmittel „Gleichung“ mathematisch und zeitlich sehr effektiv.

 

  • Beim ersten Lösungsweg wird insbesondere das heuristische Hilfsmittel der Tabelle zur Lösung hinzugezogen. Auch diese Möglichkeit führt zum richtigen Ergebnis. Jedoch besteht eine Schwierigkeit darin, im Kopf aus dem gegebenen Umfang U = 26 cm und der jeweils ausgewählten Seitenlänge b (1,2,3,4,5, 6) die entsprechende Seitenlänge a zu ermitteln, ohne sich zu verrechnen, wodurch die Bearbeitung der Aufgabe mit einer Tabelle mehr Zeit in Anspruch nimmt als die Lösung mit Gleichungen.

 

  • Auch mittels einer Informativen Figur kann zur richtigen Lösung gelangt werden, wie in der dritten Lösungsvariante dargestellt ist. Durch die graphische Darstellung der Aufgabe bzw. des Terms b = 3a + x ist dieser Weg am anschaulichsten und am förderlichsten zum Verstehen der Aufgabe selbst.

 

 

Heuristische Strategien: 
  • Bei der Aufgabenlösung müssen die für den Umfang von 26 cm möglichen Seitenlängen a und b des Rechtecks systematisch dahingehend überprüft werden, ob die Bedingung a = 3b + x erfüllt ist. Somit ist die Heuristische Strategie des Systematischen Probierens bei allen drei Lösungswegen von Bedeutung.

 

  • Außerdem wird bei allen drei Lösungen kombiniert vorwärts und rückwärts gearbeitet. Es wird zunächst sowohl das Gesuchte (der Flächeninhalt des Rechtecks) als auch das Gegebene (die Bedingung) fokussiert und überlegt, unter welchen Teilzielen (Ermittlung der Seitenlängen des Rechteckes) wie (mithilfe von Gleichungen, Tabellen, Informativen Figuren; durch Systematisches Probieren) vorwärts gearbeitet werden kann, um letztendlich den Flächeninhalt ermitteln zu können.

 

 

Heuristische Prinzipien: 
  • Um zu entscheiden, welche Seitenlänge das Rechteck hat, wird bei allen Möglichkeiten auf die gleiche Art und Weise die Bedingung a = 3b + x überprüft. Somit spielt das Symmetrieprinzip eine Rolle.

 

  • Daneben wird die als Text formulierte Bedingung in die Form einer mathematischen Gleichung mit den Variablen a,b und x umgewandelt, wodurch das Transformationsprinzip genutzt wird. Beim dritten Lösungsweg werden die Möglichkeiten außerdem graphisch dargestellt. Dort wird der Text also neben der Transformation in eine Gleichung zusätzlich in eine graphische Darstellung übertragen.

Die Aufgabe "Rechteckseiten II" hat unter Berücksichtigung des Einsatzes in einer fünften oder sechsten Klasse nach Cohors-Fresenborg et al. im Gegensatz zur Aufgabe Rechteckseiten I einen Schwierigkeitsgrad von *** bezüglich aller Lösungsvarianten.

 

 

Sprachlogische Komplexität: 

Bei der Problemlöseaufgabe ist die Aufgabenstellung zwar mit einfachen Hauptsätzen formuliert, die Reihenfolge der Satzteile entspricht aber nicht unmittelbar der Reihenfolge der Bearbeitungsschritte. Somit lässt sich die Sprachlogische Komplexität der Stufe 1 zuordnen.

 

 

Kognitive Komplexität: 

Denkvorgänge müssen bei der Aufgabenbearbeitung parallel erfolgen und Nebenbedingungen müssen berücksichtigt werden. So muss gleichzeitig das Gesuchte, nämlich der Flächeninhalt des Rechtecks, visiert werden, und überlegt werden, wie mithilfe der Umfangsformel für Rechtecke und der gegebenen Nebenbedingung über die Seitenlängen des Rechtecks dorthin gelangt werden kann. Im Vergleich zur Aufgabe Rechteckseiten I ist die Nebenbedingung hier durch die Formulierung "mehr als" anstelle von "genauso" komplexer und stellt damit eine größere kognitive Barriere dar. Die Schülerinnen und Schüler haben eine solche Aufgabe vermutlich noch nicht gelöst, weshalb begleitende metakognitive Denkvorgänge bei der Lösung besonders relevant sind. Die Kognitive Komplexität der Aufgabe lässt sich demnach auf Stufe 2 ansiedeln.

 

 

Formalisierung von Wissen: 

Die Formalisierung von Wissen entspricht bei der Aufgabe entspricht der Stufe 2, da die Bedingung in Form der Gleichung b = 3a + x von den Schülerinnen und Schülern bei jedem Lösungsweg eigenständig zu erbringen ist, um das Problem lösen zu können.

 

 

Formelhandhabung: 

Auch die Formelhandhabung lässt sich bezüglich aller Lösungswege auf Stufe 1 einordnen, da bei diesen zumindest im Kopf mit der Gleichung a = 3b + x und der Gleichung U = 26 cm = 2a + 2b umgegangen werden muss, um die richtigen Seitenlängen a und b zu ermitteln.

 

 

Stufenzuordnung: 
Formalisierung von Wissen
Stufe 2
Formelhandhabung
Stufe 2
Kognitive Komplexität
Stufe 2
Sprachlogische Komplexität
Stufe 1

Hilfestellungen: 

Bei der Bearbeitung der Aufgabe "Rechteckseiten II" können generell die gleichen Schwierigkeiten bei den Lernenden auftreten wie bei der Aufgabe Rechteckseiten I. Bei den Hilfestellungen ist jedoch zu berücksichtigen, dass diese ggf. so zu adaptieren sind, dass die richtigen Zahlenwerte in den Formulierungen auftreten.

 

Eine weitere wesentliche Schwierigkeit kann hier jedoch darin bestehen, auf den Gedanken zu kommen, die Variablen a und b für die Seitenlängen des Rechtecks zu definieren und eine zusätzliche Variable x für die mathematische Beschreibung der Bedingung (a = 3b + x) einzuführen. Tritt dieses Problem bei den Schülerinnen und Schülern auf, so könnten ihnen folgende allgemein-strategischen, inhaltsorientierten oder inhaltlichen Hinweise weiterhelfen.

 

allgemein-strategische Hilfen inhaltsorientierte Hilfen inhaltliche Hilfen
Fertige eine Skizze des Rechtecks an und markiere die für die Lösung relevanten Größen. Reicht es aus, dass du nur die Umfangsformel bei der Ermittlung der Seitenlängen des Rechtecks berücksichtigst? Hilft es dir vielleicht eine weitere Variable zu verwenden?
Schreibe dir auf, was gegeben und was gesucht ist! Wie kannst du das Gegebene mathematisch aufschreiben? Kannst du die in der Aufgabenstellung formulierte Bedingung für die Seitenlängen des Rechtecks mit einer mathematischen Gleichung formulieren?
Überprüfe, ob die von dir ermittelten Seitenlängen richtig sind. Wie kannst du überprüfen, ob die ermittelten Seitenlängen richtig sind? Was ist der Unterschied zwischen der Formulierung "die Seitenlänge a ist dreimal so groß wie die Seitenlänge b" und der Formulierung "die Seitenlänge a ist mehr als dreimal so groß wie die Seitenlänge b"?

 

 

 

Sozialformen: 
  • Lösung in Einzelarbeit
  • Vergleich in Partnerarbeit möglich

 

 

Differenzierungsmöglichkeiten: 

Für leistungsschwächere Schülerinnen und Schüler kann die Aufgabe auf folgende Weise verändert werden:

  • Die Bedingung für die Seiten "mehr als dreimal so lang wie" könnte umgeändert werden in "dreimal so lang wie". Die Aufgabenstellung könnte dann lauten: "Die längere Seite eines Rechtecks ist dreimal so lang wie die kürzere Seite. Der Umfang des Rechtecks beträgt 26cm. Wie groß ist der Flächeninhalt?“ Dadurch wird die Bedingung zu a = 3b vereinfacht und die Variable x muss nicht mehr berücksichtigt werden. Eine didaktische Analyse dieses Aufgabentyps mit einem anderen gegebenen Umfang des Rechtecks von 32 cm ist unter der Aufgabe Rechteckseiten I einzusehen.

 

  • Außerdem können die Variablen a und b für die Seitenlängen in der Aufgabenstellung vorgegeben werden, sodass den Schülerinnen und Schülern ein Hinweis darauf gegeben wird, die Bedingung in Form einer Gleichung aufzuschreiben. Auch dies ist in der Aufgabe Rechteckseiten I der Fall.

 

Auch für leistungsstärkere Schülerinnen und Schüler kann die Aufgabe noch weiter abgewandelt werden:

  • Es kann die folgende Zusatzaufgabe gestellt werden, bzw. die Aufgabe folgender Maßen abgewandelt werden: „Die längere Seite eines Rechtecks ist mindestens zweimal so lang, aber weniger als dreimal so lang wie die kürzere Seite. Der Umfang des Rechtecks beträgt 26 cm. Wie groß ist der Flächeninhalt?“. In diesem Fall muss die Gleichung a = 2b + x mit x<b als Bedingung bei der Ermittlung der Seitenlängen a und b berücksichtigt werden. x<b stellt hier also eine zusätzliche Bedingung dar.

Diese Aufgabe eignet sich besonders gut zum produktiven Üben, ist aber auch mit dem Forschen und dem Beweisen verbunden. Die Schülerinnen und Schüler sollten sich schon mit heuristischen Hilfsmitteln bezüglich dem Lösen von Problemen auseinandergesetzt und auch mit diesen gearbeitet haben, sodass sie verschiedene dieser Hilfsmittel für diese Aufgabenbearbeitung anwenden können. Da in der Aufgabenstellung eine Bedingung gegeben ist, die bei der Bearbeitung berücksichtigt werden muss, sind die Schülerinnen und Schüler gefordert, zu erkunden und erforschen, welche Kombinationsmöglichkeiten es für die Seitenlängen a und b gibt und sie müssen beweisen, warum nur eine mögliche Kombination, die sie erhalten haben, richtig ist.



Bearbeitet von: Laura Petsch, Kathleen Kuntzsch (ergänzt von Marisa Pfläging)
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