Doppelwürfel II

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Klasse Schulstufe Thema Themengebiet Schwierigkeit
8/ 9 Sekundarstufe I Satz des Pythagoras Größen und Messen, Raum und Form ***

Aufgabenstellung

 

Vielleicht hast du schon einmal ein Spiel mit einem solchen Doppelwürfel gespielt.

Stelle dir vor, du möchtest ein Kantenmodell des Doppelwürfels aus Zahnstochern und Knetkugeln basteln. Dabei stellen die Knetkugeln die Ecken dar und die Kanten werden aus Zahnstochern hergestellt. Beim Kantenmodell befindet sich der innere Würfel im Zentrum des äußeren Würfels, jeweils vier Würfelkanten der beiden Würfel sind parallel zueinander, die Kantenlänge des inneren Würfels ist halb so lang wie die Kantenlänge des äußeren Würfels und die Kantenlänge des äußeren Würfels entspricht der Länge eines Zahnstochers.

Für das Modell sollen so wenig Zahnstocher und Knetkugeln wie möglich verwendet werden. Wie viele Zahnstocher und Knetkugeln benötigst du dafür?

                   Foto: Marisa Pfläging

 

 

Quellenangabe:

In Anlehnung an Rinkens, H., Rottmann, T., Träger, G. (Hrsg.). (2011). Welt der Zahl (3). Braunschweig: Schroedel. (S. 117)


gegeben:
z:= Länge eines Zahnstochers
z = 65 mm (durch Information auf Verpackung oder durch Abmessen gegeben)
 
Skizze für ein Kantenmodell eines Doppelwürfels:
 

In einem Kantenmodell wird eine Seite des großen Würfels durch einen ganzen Zahnstocher und eine Kante des kleinen Würfels durch einen halben Zahnstocher dargestellt. Die Zahnstocher können durch Knetkugeln, die den Ecken der Würfel entsprechen, verbunden werden. Um den kleinen Würfel im Zentrum des großen Würfels zu plazieren, sind weitere Zahnstocher-Stücke für die Verstrebungen zwischen den Ecken des äußeren und des inneren Würfels notwendig.

 

 
gesucht:
  • Anzahl der benötigten Zahnstocher; Länge der Verstrebungen zwischen äußerem und innerem Würfel
  • Anzahl der benötigten Knetkugeln

 

 

Lösung 1 - Rechnerische Lösung 1

 

Ermittlung der Gesamtzahl der notwendigen Knetkugeln:

Aus der Skizze lässt sich entnehmen, dass für den äußeren Würfel und den inneren Würfel jeweils 8 Knetkugeln benötigt werden, da ein Würfel 8 Ecken hat. Somit lässt sich bereits sagen, dass für ein solches Kantenmodell insgesamt 16 Knetkugeln benötigt werden.

 
 
Ermittlung der Gesamtzahl der für das Modell notwendigen Zahnstocher:
 
Jeder Würfel hat 12 Kanten. Da eine Kante des äußeren Würfels durch einen ganzen Zahnstocher realisisert wird, werden für diesen 12 Zahnstocher benötigt. Die Kanten des inneren Würfels lassen sich jeweils aus einem halben Zahnstocher realisieren. Somit werden für den inneren Würfel 6 Zahnstocher benötigt.
 
Um nun die Gesamtzahl der notwenigen Zahnstocher zu ermitteln, muss die Länge der Verstrebungen ermittelt werden, um herauszufinden, wieviele Verstrebungen sich aus einem Zahnstocher herstellen lassen. 
Dazu lassen sich Hilfslinien in der Skizze einzeichnen und die Skizze lässt sich um rechtwinklige Dreiecke ergänzen:

 

In der Skizze wurden die Hilfslinien nur für eine Verstrebung v ergänzt. Da der Mittelpunkt des inneren Würfels dem Mittelpunkt des äußeren Würfels entspricht und die Würfelkanten des inneren Würfels jeweils parallel zu den entsprechenden Kanten des äußeren Würfels sind, haben alle Verstrebungen zwischen den Ecken der beiden Würfel die gleiche Länge.

 

Mit dem Satz des Pythagoras lässt sich die Länge d der Seitendiagonalen des äußern Würfels ermitteln:

  \({ d }^{ 2 }={ z }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }\)
\(\Rightarrow \) \(d=\sqrt { { z }^{ 2 }+{ z }^{ 2 } } \)
\(\Rightarrow \) \(d=\sqrt { { 65 }^{ 2 }+{ 65 }^{ 2 } } \)
\(\Rightarrow \) \(d\approx 92\quad [mm]\)

 

 

Es gilt für die Strecken a und b aufgrund der Kantenlängen des inneren und äußeren Würfels sowie der zentralen Lage des inneren im äußeren Würfel:

  \(a=\frac { z }{ 4 } \) ^ \(b=\frac { d }{ 4 } \)
\(\Rightarrow \) \(a=\frac { 65 }{ 4 } \) ^ \(b=\frac { 92 }{ 4 } \)
\(\Rightarrow \) \(a=16,25\quad [mm]\) ^ \(b=23\quad [mm]\)

 

 

Durch erneute Anwendung des Satzes des Pythagoras lässt sich nun die Länge einer Verstrebung v ermitteln:

  \({ v }^{ 2 }={ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }\)
\(\Rightarrow \) \(v=\sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } \)
\(\Rightarrow \) \(v=\sqrt { { 23 }^{ 2 }+{ 16,25 }^{ 2 } } \)
\(\Rightarrow \) \(v\approx 28\quad [mm]\)

 

Eine Verstrebung ist also ungefähr 28 mm lang. Da \(2\cdot 28=56<z\) und \(3\cdot 28=84>z\), lassen sich aus einem Zahnstocher zwei Verstrebungen herstellen. Da insgesamt 8 Verstrebungen zwischen den jeweiligen 8 Ecken der Würfel benötigt werden, lassen sich die Verstrebungen demnach aus 4 Zahnstochern herstellen. Insgesamt werden damit

12 Zahnstocher + 6 Zahnstocher + 4 Zahnstocher = 22 Zahnstocher

für das Kantenmodell benötigt.

 
Antwortsatz:
Für das Bauen eines solchen Modells werden 22 Zahnstocher und 16 Knetkugeln benötigt.
 
 
 
 
Lösung 2 - Rechnerische Lösung 2

 

Ermittlung der Gesamtzahl der notwendigen Knetkugeln:

siehe Lösungsweg 1

 
 
Ermittlung der Gesamtzahl der für das Modell notwendigen Zahnstocher:
 
Jeder Würfel hat 12 Kanten. Da eine Kante des äußeren Würfels durch einen ganzen Zahnstocher realisisert wird, werden für diesen 12 Zahnstocher benötigt. Die Kanten des inneren Würfels lassen sich aus einem halben Zahnstocher realisieren. Somit werden für den inneren Würfel 6 Zahnstocher benötigt.

Um nun die Gesamtzahl der notwenigen Zahnstocher zu ermitteln, muss die Länge der Verstrebungen v ermittelt werden, um herauszufinden, wie viele Verstrebungen sich aus einem Zahnstocher herstellen lassen. 

 
Die Raumdiagonalen eines Würfels schneiden sich im Schnittpunkt D. Da sich der innere Würfel im Zentrum des äußeren Würfels befindet, liegen beide Würfelmittelpunkte im Punkt D.

Mit dem Satz des Pythagoras lässt sich die Länge d einer Raumdiagonalen des äußeren Würfels ermitteln.

Dazu wird mit dem Satz des Pythagoras zunächst die Länge der Seitendiagonale \({ d }_{ 1 }\) berechnet:

  \({ { d }_{ 1 } }^{ 2 }={ z }^{ 2 }+{ z }^{ 2 }\)
\(\Rightarrow \) \({ d }_{ 1 }=\sqrt { { z }^{ 2 }+{ z }^{ 2 } } \)
\(\Rightarrow \) \({ d }_{ 1 }=\sqrt { { 65 }^{ 2 }+{ 65 }^{ 2 } } \)
\(\Rightarrow \) \({ d }_{ 1 }\approx 92\quad [mm]\)

 

Nun lässt sich die Raumdiagonale d ermitteln:

  \({ d }^{ 2 }={ z }^{ 2 }+{ { d }_{ 1 } }^{ 2 }\)
\(\Rightarrow \) \(d=\sqrt { { z }^{ 2 }+{ { d }_{ 1 } }^{ 2 } } \)
\(\Rightarrow \) \(d=\sqrt { { 65 }^{ 2 }+{ 92 }^{ 2 } } \)
\(\Rightarrow \) \(d\approx 113\quad [mm]\)

 

Die Verstrebungen v zwischen den Ecken des inneren und äußeren Würfels liegen auf der Diagonalen d des äußeren Würfels und haben die viertel Länge der Diagonalen, da die Kantenlängen des inneren Würfels genau halb so lang wie die des äußeren Würfels und somit auch die Diagonale des inneren Würfels halb so lang wie die des äußeren Würfels ist.

  \(v=\frac { d }{ 4 } \)
\(\Rightarrow \) \(v=\frac { 113 }{ 4 } \)
\(\Rightarrow \) \(v\approx 28\quad [mm]\)

Somit ist eine Verstrebung ungefähr 28 mm lang.

 

 

Da \(2\cdot 28=56<z\) und \(3\cdot 28=84>z\), lassen sich aus einem Zahnstocher zwei Verstrebungen herstellen. Da insgesamt 8 Verstrebungen zwischen den jeweiligen 8 Ecken benötigt werden, lassen sich die Verstrebungen demnach aus 4 Zahnstochern herstellen. Insgesamt werden damit

12 Zahnstocher + 6 Zahnstocher + 4 Zahnstocher = 22 Zahnstocher

für das Kantenmodell benötigt.

 
Antwortsatz:
Für das Bauen eines solchen Modells werden 22 Zahnstocher und 16 Knetkugeln benötigt.
 
 
 
 
 
Lösung 3 - Lösung durch schrittweises Basteln des Doppelwürfel-Kantenmodells

 

1. Beim Basteln des Kantenmodells des Doppelwürfels werden zunächst 4 Zahnstocher für die Kanten der Grundseite des äußeren Würfels und 4 Knetkugeln zur Befestigung dieser benötigt.

Für die Kanten der Grundseite des inneren Würfels werden 2 Zahnstocher in der Mitte getrennt und die Zahnstocherhälften werden mit 4 Knetkugeln zusammengebaut.

 

2. Nun muss die Länge der Verstrebungen zwischen den Ecken des äußeren und inneren Würfels ermittelt werden, um die Verstrebungen aus Zahnstochern herzustellen.

Dafür lässt sich eine Skizze anfertigen. Die Länge v einer Verstrebung entspricht der Länge einer Raumdiagonalen eines Würfels mit der Seitenlänge \(a=\frac { z }{ 4 } =\frac { 65 }{ 4 } =16,25\quad [mm]\).

Es lässt sich nun die Länge b der Diagonalen der Seitenfläche dieses Würfels mit dem Satz des Pythagoras ermitteln:

  \({ b }^{ 2 }={ a }^{ 2 }+{ a }^{ 2 }\)
\(\Rightarrow \) \(b=\sqrt { { a }^{ 2 }+{ a }^{ 2 } } \)
\(\Rightarrow \) \(b=\sqrt { { 16,25 }^{ 2 }+{ 16,25 }^{ 2 } } \)
\(\Rightarrow \) \(b\approx 23 [mm]\)

 

Jetzt lässt sich auch die Länge v einer Verstrebung zwischen einer Ecke des äußeren Würfels und einer Ecke des inneren Würfels mit dem Satz des Pythagoras ermitteln:

  \({ v }^{ 2 }={ a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }\)
\(\Rightarrow \) \(v=\sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } \)
\(\Rightarrow \) \(v=\sqrt { { 16,25 }^{ 2 }+{ 23 }^{ 2 } } \)
\(\Rightarrow \) \(v\approx 28\quad [mm]\)

 

Eine Verstrebung ist somit ungefähr 28 mm lang. Aus einem Zahnstocher der Länge 65 mm lassen sich nun also 2 Verstrebungen herstellen. Da sich der innere Würfel im Zentrum des äußeren Würfels befindet und die Kanten des inneren Würfels parallel zu den Kanten des äußeren Würfels sind, ist die Länge aller Verstrebungen gleich groß. Für die Befestigung der Grundseite des inneren Würfels an der Grundseite des äußeren Würfels werden nun also 2 Zahnstocher benötigt.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Nun lässt sich der äußere Würfel mit 8 ganzen Zahnstochern sowie 4 Knetkugeln und der innere Würfel aus 4 weiteren Zahnstochern, die halbiert werden, und 4 Knetkugeln fertigstellen. Die übrigen Ecken des inneren und äußeren Würfels lassen sich mit vier weiteren Verstrebungen aus 2 Zahnstochern verbinden, sodass das Modell des Doppelwürfels fertiggestellt ist.

 

 

 
Während des Bastelns wurden die benötigten Zahnstocher und Knetkugeln gezählt. Es wurden 22 Zahnstochern und 16 Knetkugeln für das Modell benötigt.

 

Antwortsatz:

Für das Bauen eines solchen Modells werden 22 Zahnstocher und 16 Knetkugeln benötigt.


Die Doppelwürfel-Aufgabe lässt sich in der achten Klasse im Rahmen der Thematik Satzgruppe des Pythagoras einsetzen. Insbesondere die inhaltsbezogenen Kompetenzen, die mit der Aufgabe erreicht werden sollen (siehe Geförderte Kompetenzen), zeigen, dass die Aufgabe eher Kompetenzen der Niveaustufe G, welche in der neunten Jahrgangsstufe eines Gymnasiums erreicht werden sollen, erzielt. An sich ist ein Einsatz in der achten Klasse aber möglich, da die SuS in dieser Klasse bereits wissen, wie Schrägbilder von Würfeln gezeichnet werden und sie lernen in dieser Jahrgangsstufe den Satz des Pythagoras kennen und können diesen in Form von Gleichungen anwenden, um unbekannte Größen zu ermitteln. Diese Aspekte stellen die inhaltlichen Voraussetzungen für die Lösung der Aufgabe dar. Sie erfordert in besonderem Maße räumliches Vorstellungsvermögen von den SuS, zum einen um sich das Zahnstochermodell vorzustellen und zum anderen um den geltenden Satz des Pythagoras in diesem zu erkennen und mit diesem die Länge der Verstrebungen zu ermitteln. Deshalb bietet es sich an, die Aufgabe am Ende der Unterrichtseinheit zum Satz des Pythagoras zur Vertiefung einzusetzen. Für die Aufgabe sollte aber aufgrund des hohen Schwierigkeitsgrads und aufgrund der benötigten Zeit für das Bauen eines solchen Modells (falls dieser Lösungsweg von den SuS gewählt wird) genügend Zeit eingeplant werden. Je nach Lerngruppe sollte abgewägt werden, ob der Einsatz dieser Aufgabe sinnvoll ist.

Auch in der neunten oder zehnten Jahrgangsstufe wäre die Doppelwürfelaufgabe als Wiederholungsaufgabe, oder Anknüpfungs- und Einstiegsaufgabe in eine neue geometrische Thematik, wie die Körperberechnung (in der neunten Klasse), denkbar.


Mit der Doppelwürfelaufgabe werden der inhaltsbezogene Kompetenzbereich [L3] Raum und Form und [L4] Gleichungen und Funktionen sowie die prozessbezogenen Kompetenzbereiche [K2] Probleme mathematisch lösen, [K3] Mathematisch modellieren und [K5] Mit symbolischen, formalen, technischen Elementen der Mathematik umgehen aus dem brandenburgischen Rahmenlehrplan (Teil C) Mathematik für die Jahrgangsstufen 1-10 (LISUM (2015)), der ab dem Schuljahr 2017/18 gültig ist, gefördert.

 

Inhaltsbezogene Kompetenzformulierungen

Raum und Form [L3]

Kompetenz 1: Die Schülerinnen und Schüler können ein Schrägbild eines Doppelwürfels und für diesen charakteristische Linien zeichnen.

"Zeichnen von [...] Schrägbildern geometrischer Körper (auch von geraden quadratischen Pyramiden[stümpfen]" (LISUM, 2015, Geometrische Objekte darstellen, Niveaustufe F, S.50); "Skizzieren von Schrägbildern (auch von [...] Pyramiden, zusammengesetzten Körpern [...])" (LISUM, 2015, Geometrische Objekte darstellen, Niveaustufe G, S.50)

Erläuterung: Sowohl bei den beiden rechnerischen Lösungen als auch bei der enaktiven Lösung durch das Bauen des Modells sind Skizzen hilfreich, um sich den Doppelwürfel räumlich vorstellen zu können und Zusammenhänge zwischen verschiedenen Längen im Modell, wie den Satz des Pythagoras zu erkennen. Kenntnisse der Lernenden über das Zeichnen eines Schrägbildes sind dafür hilfreich und stellen eine Voraussetzung für die Lösung dar. Für das Zeichnen eines Schrägbildes eines Doppelwürfels müssen die Schülerinnen und Schüler Schrägbilder zusammengesetzter Körper und indirekt von Pyramidenstümpfen zeichnen können. Diese Kenntnisse werden laut LISUM (2015) auf dem Gymnasium in der neunten Klasse erlangt, die Schülerinnen und Schüler können allerdings schon am Ende der achten Klasse Schrägbilder geometrischer Figuren, wie der geraden, quadratischen Pyramide zeichnen, weshalb ihnen das Zeichnen eines Schrägbildes für einen Doppelwürfel auch schon in der achten Klasse zugetraut werden kann - auch in Anbetracht dessen, dass die Skizzen bei der Aufgabenlösung nicht maßstabsgetreu gezeichnet werden müssen. 

 

Kompetenz 2: Die Schülerinnen und Schüler ermitteln unbekannte Längen (hier die Länge der Verstrebungen zwischen innerem und äußerem Würfel des Kantenmodells) unter Verwendung des Satzes des Pythagoras.

"Beschreiben und Nutzen von Lage- und Größenbeziehungen innerhalb von ebenen und räumlichen geometrischen Objekten und deren Zusammensetzungen [...] zum Berechnen von Längen, Flächeninhalten und Volumina" (LISUM, 2015, Beziehungen zwischen geometrischen Objekten beschreiben, Beziehungen zwischen geometrischen Objekten beschreiben, Niveaustufe F, S.50), "Beschreiben und Nutzen von Lage- und Größenbeziehungen geometrischer Objekte (auch unter Verwendung der bisher bekannten geometrischen Sätze) für Berechnungen" (ebd., Niveaustufe G, S.50)

Erläuterung: Die Lernenden wenden bei allen drei dargestellten Lösungswegen den Satz des Pythagoras auf unterschiedliche Weise unter Zuhilfenahme von Hilfslinien in der Skizze an, um die Länge der Verstrebungen zwischen den Ecken des inneren und äußeren Würfels zu ermitteln und somit die Anzahl der dafür benötigten Zahnstocher zu ermitteln.

 

Gleichungen und Funktionen [L4]

Kompetenz 3: Die Schülerinnen und Schüler formen Gleichungen (durch das Ziehen der Wurzel) nach einer Unbekannten um.

"Umformen von Termen (auch Potenzen mit ganzzahligem Exponenten [...])" (LISUM, 2015, Gleichungen und Gleichungssysteme lösen, Niveaustufe G, S.56)

Erläuterung: Um die Länge der Verstrebungen zu ermitteln, stellen die Schülerinnen und Schüler Zusammenhänge zwischen bestimmten Längen mit dem Satz des Pythagoras in Form von Gleichungen dar und lösen diese durch Einsetzen von bekannten Größen und durch das Ziehen der Wurzel.

 

 

Prozessbezogene Kompetenzformulierungen

Probleme mathematisch lösen [K2]

Kompetenz 4: Die Schülerinnen und Schüler zeichnen Hilfslinien in eine Informative Figur, um Zusammenhänge zwischen gegebenen und gesuchten Größen zu erkennen und bekannte Sätze anwenden zu können.

"Die Schülerinnen und Schüler können heuristische Hilfsmittel zum Problemlösen anwenden" (LISUM, 2015, S.19)

Erläuterung: Die Lernenden zeichnen ein Schrägbild des Doppelwürfel-Modells und ergänzen dieses um Linien, deren Länge durch die Länge des inneren Würfels im äußeren und durch die Kantenverhältnisse der beiden Würfel ermittelt werden können. Mithilfe der eingezeichneten Linien wird dann die Länge der Verstrebungen zwischen innerem und äußerem Würfel berechnet, um die Anzahl der dafür benötigten Streichhölzer zu ermitteln.

 

Mathematisch modellieren [K3]

Kompetenz 5: Die Schülerinnen und Schüler entnehmen relevante Informationen über die Kantenverhältnisse zwischen innerem und äußerem Würfel sowie über die Lage des inneren Würfels im äußeren Würfel aus der Aufgabenstellung, um eine Skizze des Doppelwürfel-Modells zu erstellen, oder dieses selbst zu bauen.

"Die Schülerinnen und Schüler können relevante Informationen aus Sachtexten und anderen Darstellungen entnehmen" (LISUM, 2015, S.20)

Erläuterung: Die Schülerinnen und Schüler müssen die Aufgabenstellung genau lesen und alle für das Modell relevanten Informationen entnehmen. Anderenfalls könnten sie den inneren Würfel auch anders anordnen und damit würde sich die Länge der Verstrebungen zwischen innerem und äußerem Würfel und die Anzahl der benötigten Zahnstocher ändern.

 

Mit symbolischen, formalen, technischen Elementen der Mathematik umgehen [K5]

Kompetenz 6: Die Schülerinnen und Schüler stellen Gleichungen mit selbst definierten Variablen auf, um die Länge der Verstrebungen zwischen den Ecken des inneren und äußeren Würfels zu ermitteln.

"Die Schülerinnen und Schüler können [...] Gleichungen [...] zur Beschreibung von Sachverhalten nutzen" (LISUM, 2015, S.20), "Die Schülerinnen und Schüler können Variablen [...] zur Bearbeitung von Aufgaben nutzen" (ebd.)

Erläuterung: Die Lernenden bezeichnen Hilfslinien in der Informativen Figur mit Variablen und stellen Gleichungen für die geltenden Zusammenhänge auf.


Heuristische Hilfsmittel: 
  • Bei allen Lösungen wird eine Informative Figur zum Doppelwürfel, oder zu einem Teil des Doppelwürfels, wie beim enaktiven Lösungsweg, erstellt, aus der ersichtlich wird, wie der Satz des Pythagoras zur Ermittlung der Länge der Verbindungsstrecken zwischen innerem und äußerem Würfel angewendet werden kann.

 

  • Um bestimmte Längen im Doppelwürfelmodell zu ermitteln, werden bei allen drei Lösungswegen Gleichungen aufgestellt und gelöst.

 

 

Heuristische Strategien: 
  • Bei den beiden rechnerischen Lösungen wird kombiniert vörwärts und rückwärts gearbeitet: Es wird sowohl das Gegebene als auch das Gesuchte betrachtet und aufeinanderzugearbeitet. Zunächst lässt sich die Gesamtzahl der benötigten Knetkugeln durch eine Informative Figur ermitteln. Ebenso die Anzahl der für die Würfelkanten benötigten Zahnstocher. Hier wird also ausgehend vom Gesuchten rückwärts gearbeitet. Dann muss allerdings die minimale Anzahl der Zahnstocher für die Verstrebungen zwischen innerem und äußerem Würfel ermittelt werden, wobei vom Gegebenen ausgegangen wird und überlegt wird welche Teilzeile (die Berechnung der Längen der Verstrebungen) erreicht werden müssen, um zum Gesuchten zu gelangen.

 

  • Bei der Lösung durch das Bauen des Modells wird vorwärts gearbeitet: Der Doppelwürfel wird mit den gegebenen Materialien unter Berücksichtigung der in der Aufgabenstellung gegebenen Informationen zusammengebaut und die Anzahl der benötigten Zahnstocher und Knetkugeln wird dabei gezählt.

 

 

Heuristische Prinzipien: 
  • Bei allen Lösungswegen wird eine Skizze um bestimmte Linien ergänzt, sodass der Satz des Pythagoras zur Ermittlung der Länge der Verbindungsstrecken zwischen innerem und äußerem Würfel angewendet werden kann. Somit wird das Ergänzungsprinzip verwendet.

 

  • Auch das Invarianzprinzip spielt eine Rolle, da sich die Kantenlängen des äußeren und inneren Würfels sowie die Eckenanzahl der beiden Würfel nicht ändert und jeweils ein gleiche Anzahl von Knetkugeln für beide Würfel und an Zahnstochern für die einzelnen Kanten der beiden Würfel verwendet wird.

 

  • Da die Länge aller Verstrebungen zwischen den Ecken des inneren und äußeren Würfels aufgrund der vorgegebenen Lage des inneren Würfels im äußeren gleich groß sind, ist auch das Symmetrieprinzip bei der Lösung von Bedeutung.

Die Doppelwürfelaufgabe hat nach Cohors-Fresenborg et al. mit insgesamt 6 erreichten Punkten einen Schwierigkeitsgrad von ***.

 

 

Sprachlogische Komplexität: 

Bei der Aufgabenstellung handelt es sich um einen längeren Text, in dem zunächst das Kantenmodell beschrieben wird. Dabei sind keine irrelevanten Informationen enthalten, sondern die Schülerinnen und Schüler müssen alle Informationen für das Erstellen einer Skizze oder eines Modells beachten. Allerdings werden durch die Reihenfolge der Sätze keine Hinweise auf die Reihenfolge der mathematischen Bearbeitungsschritte gegeben und somit lässt sich die Sprachlogische Komplexität der Doppelwürfelaufgabe auf Stufe 1 ansiedeln.

 

 

Kognitive Komplexität: 

Die Kognitive Komplexität der Aufgabe entspricht der Stufe 2, da sich die Schülerinnen und Schüler vor der Bearbeitung zunächst überlegen müssen, wie die Aufgabe gelöst werden soll und welche heuristischen Hilfsmittel für die Lösung genutzt werden können. Bei der Lösung müssen die in der Aufgabenstellung gegebenen Bedingungen für das Kantenmodell des Doppelwürfels berücksichtigt werden und bei der Lösung wird erst das Problem bewusst, wie viele Zahnstocher für die Verstrebungen benötigt werden, und dass die Länge der Verstrebungen berechnet werden muss.

 

 

Formalisierung von Wissen: 

Bezüglich der Formalisierung von Wissen lässt sich die Aufgabe auf Stufe 2 einordnen, da Gleichungen mithilfe des Satzes des Pythagoras eigenständig zur Berechnung der Länge der Verstrebungen zu erbringen sind.

 

 

Formelhandhabung: 

Gleichungsumformungen und Lösungsrotinen sind in einem überschaubaren Maß erforderlich. So müssen die Schülerinnen und Schüler bei der Ermittlung von bestimmten Längen lediglich gegebene Werte einsetzen und die Wurzel ziehen. Weitere Umformungsschritte sind nicht erforderlich und somit hat die Doppelwürfel-Aufgabe bezüglich der Formelhandhabung eine Schwierigkeit der Stufe 1.

 

 

Stufenzuordnung: 
Formalisierung von Wissen
Stufe 2
Formelhandhabung
Stufe 1
Kognitive Komplexität
Stufe 2
Sprachlogische Komplexität
Stufe 1

Hilfestellungen: 

Bei der Lösung der Doppelwürfel-Aufgabe lassen sich einige kritische Stellen identifizieren, an denen die Schülerinnen und Schüler Schwierigkeiten haben könnten. 

 

Es könnte das Problem auftreten, dass die Lernenden nicht bedenken, dass sie aus einem Zahnstocher auch mehrere Verstrebungen zwischen den Ecken des inneren und äußeren Würfels herstellen können und dass sie dadurch Zahnstocher einsparen können. Tritt diese Schwierigkeit auf, so können folgende Hilfestellungen gegeben werden:

Allgemein-strategische Hilfen Inhaltsorientierte strategische Hilfen Inhaltliche Hilfen
Was ist genau gesucht? Es ist auch erlaubt, Zahnstocher zu kürzen! Ist es möglich, ein Modell aus weniger Zahnstochern herzustellen?
Lies die Aufgabenstellung noch einmal genau durch! In der Aufgabenstellung steht, dass du sparsam mit den Zahnstochern sein sollst! Können aus einem Zahnstocher auch mehr Verbindungsstücke hergestellt werden?
Betrachte das Gegebene nochmal genau! Wie lang müssen die Verbindungsstücke zwischen den Ecken der beiden Würfel sein? Und wie lang ist ein Zahnstocher? Wie viele Verbindungsstücke zwischen innerem und äußerem Würfel lassen sich aus einem Zahnstocher herstellen?

 

Außerdem könnten die Schülerinnen und Schüler Probleme haben, rechtwinklige Dreiecke im Doppelwürfelmodell zu identifizieren, um den Satz des Pythagoras zur Berechnung der Länge der Verstrebungen anwenden zu können. In diesem Fall kann als Lehrperson folgender Maßen auf die Lernenden eingegangen werden:

Allgemein-strategische Hilfen Inhaltsorientierte strategische Hilfen Inhaltliche Hilfen
Welche Größen sind gegeben und was ist gesucht? Kannst du bekannte Sätze anwenden, um gesuchte Größen zu ermitteln? Wie lautet der Satz des Pythagoras?
Welche Größen müssen berechnet werden, um die Aufgabe zu lösen? Kannst du Hilfslinien in die Skizze zeichnen, die dir weiterhelfen? Kannst du rechtwinklige Dreiecke in der Skizze identifizieren?
Fertige ruhig eine Skizze von dem Doppelwürfel-Modell an. Kannst du die Skizze zum Doppelwürfel so unterteilen, dass du den in den letzten Unterrichtsstunden neu erlernten Satz anwenden kannst? Welchen Satz haben wir in den letzten Unterrichtsstunden kennengelernt?

 

 

Sozialformen: 
  • Einzelarbeit
  • Partnerarbeit

 

 

Differenzierungsmöglichkeiten: 

Die Lösung der Aufgabe an sich differenziert bereits zwischen leistungsstärkeren und leistungsschwächeren Schülerinnen und Schülern, da sich diese selbst überlegen können, wie sie die Aufgabe lösen. Leistungsschwächere Lernende werden vielleicht den enaktiven Weg wählen und ein solches Doppelwürfelmodell selbst schrittweise zusammenbauen. Leistungsstärkere Schülerinnen und Schüler könnten hingegen direkt den Weg über eine Skizze wählen. Darüber hinaus können aber weitere Maßnahmen zur Differenzierung ergriffen werden.

Für leistungsstärkere Schülerinnen und Schüler lässt sich die Aufgabe wie folgt schwieriger gestalten:

  • Die Aufgabe kann verallgemeinert werden, indem Bedingungen in der Aufgabenstellung weggelassen werden:

Vielleicht hast du schon einmal ein Spiel mit einem solchen Doppelwürfel gespielt.

Stelle dir vor, du möchtest ein Kantenmodell eines solchen Doppelwürfels aus Zahnstochern und Knetkugeln basteln. Beim Kantenmodell befindet sich der innere Würfel im Zentrum des äußeren Würfels, die Kantenlänge des inneren Würfels ist halb so lang wie die Kantenlänge des äußeren Würfels und die Kantenlänge des äußeren Würfels entspricht der Länge eines Zahnstochers.

Für das Modell sollen so wenig Zahnstocher und Knetkugeln wie möglich verwendet werden. Wie viele Zahnstocher und Knetkugeln benötigst du dafür?

 

Bei dieser Änderung müssen die Lernenden zunächst selbst darauf kommen, dass eine Knetkugel im Modell die Ecke eines Doppelwürfels darstellt. Außerdem wurde die Information, dass jeweils vier Kanten der beiden Würfel parallel sind, weggelassen. Auch hier müssen die Schülerinnen und Schüler nun überlegen, wie sie den inneren Würfel im Zentrum des äußeren Würfels plazieren, sodass die Verstrebungen insgesamt aus einer minimalen Anzahl an Streichhölzern hergestellt werden können.

 

Bei dieser Abänderung kann die Aufgabenstellung auch so verändert werden, dass nur eine der beiden Informationen weggelassen wird, um die Aufgabe nicht zu schwierig zu machen.

 

  • Eine weitere Möglichkeit den Anspruch der Aufgabe zu erhöhen, besteht darin, Daten zu ändern. So könnte beispielsweise vorgegeben werden, dass eine Kante des äußeren Würfels nicht die Länge eines Zahnstochers, sondern beispielsweise die Länge eines dreiviertel Zahnstochers hat. In diesem Fall müssen die Schülerinnen und Schüler zunächst diese Länge berechnen und dann in Abhängigkeit davon die anderen Längen und die Anzahl der notwendigen Zahnstocher.

 

  • Darüber hinaus kann den Lernenden, die bereits mit der Lösung fertig sind, die Zusatzaufgabe gegeben werden, weitere Lösungswege zu finden und die Länge der Verbindungsstücke zwischen innerem und äußerem Würfel mit anderen Hilfslinien zu ermitteln und damit nocheinmal zu überprüfen, ob ihre Lösung korrekt ist.

 

Für leistungsschwächere Schülerinnen und Schüler kann die Aufgabe auf verschiedene Weise vereinfacht werden:

  • Es könnte die Fragestellung in der Aufgabenstellung durch eine weitere Frage ergänzt werden:
... Für das Modell sollen so wenig Zahnstocher und Knetkugeln wie möglich verwendet werden. Wie viele Zahnstocher werden für die Verbindungen zwischen den Ecken des inneren und äußeren Würfels verwendet? Wie viele Zahnstocher und Knetkugeln benötigst du für das gesamte Doppelwürfelmodell?

Durch diese zusätzliche Frage wird den Lernenden der Hinweis gegeben, dass sie die Länge der Verstrebungen zwischen innerem und äußerem Würfel berechnen müssen, um dann die Gesamtzahl der notwendigen Zahnstocher ermitteln zu können.

Eine weitere Möglichkeit wäre es, einen Hinweis zu ergänzen:

... Für das Modell sollen so wenig Zahnstocher und Knetkugeln wie möglich verwendet werden. Zahnstocher können auch durchgetrennt und die Bruchstücke weiterverwendet werden. Wie viele Zahnstocher und Knetkugeln benötigst du für das gesamte Doppelwürfelmodell? 

Hier wird den Schülerinnen und Schülern der Hinweis, die Länge der Verstrebungen zu ermitteln und mit der Länge der Zahnstocher zu vergleichen, eher indirekt gegeben.

 

  • Daneben kann den Schülerinnen und Schülern eine Visualisierung der Aufgabenstellung gegeben werden:

Die Aufgabenstellung könnte um folgende Skizze ergänzt werden:

Oder sie kann mit einem Bild von einem fertigen Kantenmodell eines Doppelwürfels ergänzt:

 

Um nicht zu viel vorzugeben, könnte auch ein Kantenmodell eines anderen geometrischen Körpers vorgegeben werden, sodass die Schülerinnen und Schüler das Modell des Doppelwürfels trotzdem noch entwickeln müssen, aber eine Vorstellung davon bekommen, was mit einem Kantenmodell genau gemeint ist. Es könnte in der Aufgabenstellung der Hinweis wie bei der Aufgabe Doppelwürfel I gegeben werden:

Aus Zahnstochern und Knetkugeln lassen sich Körper basteln, wie beispielsweise diese Pyramide:

 

 


Die Doppelwürfel-Aufgabe lässt sich insbesondere zum vertiefenden Üben der Anwendung des Satzes des Pythagoras einsetzen. Dabei beschränkt sich die Anwendung nicht bloß auf eine ebene geometrische Figur, sondern es wird ein räumliches geometrisches Objekt untersucht, wodurch räumliches Vorstellungsvermögen von den Lernenden erfordert wird. Durch das Erforschen des dreidimensionalen Objekts, kann die Reduzierung des dreidimensionalen Problems auf ein zweidimensionales Problem deutlich werden: Wird eine Ebene im Raum betrachtet, so kann der bereits bekannte Satz des Pythagoras angewendet und genutzt werden, um die gesuchte(n) Größe(n) ermitteln zu können.

Auch als längerfristige Hausaufgabe bietet sich die Aufgabe an, da die Umsetzung im Unterricht selbst aufgrund des großen zeitlichen Aufwands problematisch werden könnte.

 

 



Bearbeitet von: Marisa Pfläging
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