Orientiert man sich an den Komponenten der einzelnen Niveaustufen, verteilt über die Jahrgänge in der Grundschule (vgl. LISUM 2015: Rahmenlehrplan Mathematik. Jahrgangsstufen 1-10), und vergleicht diese mit den Leistungsanforderungen der Aufgabe, kommt man zu dem Schluss, dass die sechste Klassenstufe die für diese Aufgabe angemessene ist.

[L2] beschreibt in der Niveaustufe D bezüglich den Vorstellungen zu Größen und ihren Einheiten, dass der Flächeninhalt mit entsprechender Einheit genutzt werden soll. Beim Bestimmen der markierten Fläche ist dies also Voraussetzung. Auch wird unter „Rechnen mit Größen“ bei der für Jahrgangsstufe 6 angestrebten Niveaustufe D gesagt, dass die Schülerinnen und Schüler in der Lage sein sollen, mit den Größenangaben (in diesem Fall also wieder dem Flächeninhalt) zu rechnen. Diese Fähigkeit benötigen sie, wenn sie Teilstücke des Quadrates voneinander abziehen, addieren oder ins Verhältnis zueinander setzen. Auch [L3] (Raum und Form) nennt für die Niveaustufe D einen passenden Arbeitsschritt. Die Lernenden sollen ebene geometrische Figuren zeichnen, was sie beim Übertragen der Darstellung in ihr Heft für das Quadrat und das Dreieck erledigen müssen.

Zu guter Letzt müssen sich die Schülerinnen und Schüler, eine neue, für sie unroutinierte Rechenstrategie erschließen und dabei die Grundrechenoperationen der Addition bzw. Subtraktion einsetzen. Beide Kompetenzen werden zwar bereits ab geringeren Jahrgangsstufen vorausgesetzt, sollen jedoch an dieser Stelle noch einmal die Komplexität der Aufgabe beschreiben. Abschließend lässt sich deshalb sagen, dass Lernende der sechsten Jahrgangsstufe in der Lage sein sollten, die vielen Teilgebiete zusammen zu fügen und so die Aufgabe zu bewältigen. Auch die benötigten heuristischen Arbeitsstrategien sollten in dieser Klassenstufe bereits genügend etabliert worden sein, um nun von den Schülerinnen und Schülern selbstständig eingesetzt werden zu können.

Mit der Aufgabe Fliesenmuster werden die folgenden inhaltsbezogenen und prozessbezogenen Kompetenzbereiche (vgl. LISUM 2015) angesprochen.

Mit der Fliesenmuster-Aufgabe werden die folgenden inhaltsbezogenen und prozessbezogenen Kompetenzen gefördert.

Inhaltsbezogene Kompetenzformulierungen

Zahlen und Operationen [L1]

Kompetenz 1: Die Schülerinnen und Schüler sind in der Lage, Rechenstrategien, -verfahren, -regeln und die Gesetze über additive und subtraktive Handlungen zu nutzen, um die Größen der einzelnen Teilstücke zu errechnen und so den gesuchten Flächeninhalt zu erhalten.

"Die Schülerinnen und Schüler können Rechenstrategien, -verfahren, -regeln und Gesetze der Grundrechenoperationen nutzen" (LISUM 2015, Rechenverfahren und -strategien anwenden, Niveaustufe D, S.23)

Begründung: Damit die Schülerinnen und Schüler auf die Längen und Flächeninhalte der markierten Fläche kommen, müssen sie zuvor die Angaben der angrenzenden Teilstücke ausrechnen. Betrachten wir beispielsweise den zweiten Lösungsweg als Beispiel, so müssen hier die Längen der beiden kleinen Dreiecke, deren Flächeninhalt und anschließend auch die Größe des gesamten Quadrates bekannt sein, um dann durch die Subtraktion der kleinen Dreiecke auf die gelb markierte Fläche zu kommen.

Größen und Messen [L2]
Kompetenz 2: Die Schülerinnen und Schüler sind in der Lage mit Längen und Flächeninhalten zu rechnen, und die zusammengesetzten Größen der geometrischen Figuren Quadrat und Dreieck zu bestimmen.

"Die Schülerinnen und Schüler können mit Größenangaben rechnen (auch mit Flächeninhalten [...])" (LISUM 2015, Größen in Sachzusammenhängen berechnen, Niveaustufe D, S.25)

Begründung: Die Inhaltsbezogene Kompetenz "Rechnen mit Größen" , setzt die Fähigkeit Größen in Sachzusammenhängen zu berechnen voraus. Hierfür wird bereits auf Niveaustufe B damit begonnen, mit Längen zu rechnen. Dies muss zur Bestimmung der Seitenlängen der Dreiecke in unserer Aufgabe erfolgen. Die Kompetenz mit Flächeninhalten zu rechnen, wird ab Niveaustufe D ebenfalls verlangt. Diese Fähigkeit wird bei der Musterlösung ebenfalls benötigt, da die Kinder den Flächeninhalt des Mittelstücks des Quadrates ausrechnen sollen. Damit dies gelingt, müssen die Möglichkeiten zur Flächeninhaltsbestimmung von Quadraten, Dreiecken sowie gegebenenfalls Trapezen (siehe Lösungsweg 1) bekannt sein und umgesetzt werden können.

Raum und Form [L3]
Kompetenz 3: Die Schülerinnen und Schüler sind in der Lage, die ausgewählten geometrischen Objekte Quadrat und Dreieck zu zeichnen.

"Die Schülerinnen und Schüler können ausgewählte geometrische Objekte herstellen und zeichnen" (LISUM 2015, Geometrische Objekte darstellen, Niveaustufe B, S.26)

Begründung: Unter der dritten Leitidee "Raum und Form" wird von den Kinder ab Klasse 2 (Niveaustufe B) unter dem Aspekt "Geometrische Objekte darstellen" die zeichnerische Anfertigung geometrischer Grundfiguren gefordert. Unsere bearbeitete Problemlöseaufgabe fordert von den Schülerinnen und Schülern die Anfertigung einer vergrößerten Skizze der dargestellten Fliese. Das Quadrat ist durch Linien in zwei Dreiecke unterteilt, demzufolge müssen die Kinder ein Quadrat sowie zwei Dreiecke zeichnen, um das Muster in ihr Heft zu übertragen.

Prozessbezogene Kompetenzformulierungen

Probleme mathematisch lösen [K2]

Kompetenz 4: Die Schülerinnen und Schüler sind in der Lage, unter Zuhilfenahme ihrer mathematischen Kenntnisse bezüglich der Flächeninhaltsbestimmung und den Eigenschaften geometrischer Figuren, die Aufgabe zu lösen, zu der sie noch keine Routinestrategie kennen.

"Die Schülerinnen und Schüler können Aufgaben bearbeiten, zu denen sie noch keine Routinestrategie haben (sich zu helfen wissen)", "können mathematische Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten bei der Bearbeitung von Problemen anwenden" (LISUM 2015, S.19)

Begründung: Die Kompetenz "Probleme mathematisch lösen" bezieht sich auf die Fähigkeit der Schülerinnen und Schüler, Aufgaben zu lösen, zu denen sie noch keinen routinierten Lösungsweg kennen. Damit dies gelingt, müssen sie in der Lage sein, ihr sonstigen Vorwissen zu aktivieren und auf den aktuellen Sachverhalt passend anzuwenden. In der hier behandelten Aufgabe müssen die Kinder erkennen, dass es sich um eine geometrische Figur handelt, die in Teilstücke zerlegt wurde. Außerdem muss bewusst sein, dass man mittels dem Messen bzw. Ausrechnen bestimmter Längen, mit den
dazugehörigen Formeln den Flächeninhalt ausrechnen kann und so zu einer Lösung des Problems gelangen kann. Das aktive Auseinandersetzen mit der Aufgabe an sich sowie mit geometrischen Sachverhalten muss erfüllt sein, damit die Lösung des Problems erarbeitet werden kann und eine Lösungsstrategie entsteht.

Mathematische Darstellungen verwenden [K4]

Kompetenz 5: Die Schülerinnen und Schüler sind in der Lage, die relevanten Informationen aus der grafischen Darstellung zu entnehmen, um eine entsprechende neue Skizze anzufertigen.

Kompetenz 6: Die Schülerinnen und Schüler sind in der Lage, eine vorgegebene Skizze zielgerichtet unter Beachtung der gegebenen Seitenlängen und Verhältnissen einzelner Teilstücke, in eine weitere grafische Darstellung zu übernehmen und entsprechend zu verändern.

"Die Schülerinnen und Schüler können Darstellungen zielgerichtet verändern", "können eine Darstellung in eine andere übertragen", "können Darstellungen bewerten oder interpretieren" (LISUM 2016, S.20)

Begründung: Die Prozessbezogene Kompetenz "Mathematische Darstellungen zu verwenden" nennt die Komponente "Darstellungen zielgerichtet verändern". Die Darstellungsebene wird in unserer Aufgabe nicht übersetzt, die Schülerinnen und Schüler sollen lediglich die grafische Skizze vergrößert in ihr Heft übertragen. Damit dies gelingt, müssen sie die gegebenen Informationen bezüglich der vergrößerten Darstellung entsprechend auf die Ausgangsskizze übertragen und verändert einzeichnen. Hierbei erfüllen sie einen weiteren Aspekt des mathematischen modellierens. Sie entnehmen die relevanten Informationen aus der Aufgabenstellung sowie der beigefügten Skizze und führen die gegebenen Informationen zusammen. Nur wer die Angabe "1/4 der Außenkante ist weiß" auf die Zeichnung des Quadrates übertragen kann, wird in der Lage sein diese Aufgabe zu lösen.

Die Fliesenmuster-Aufgabe hat unter Berücksichtigung des Einsatzes in einer sechsten Klasse nach Cohors-Fresenborg et al. mit vier erreichten Punkten bei der Lösung ohne Verwendung des Satzes des Pythagoras, bzw. mit sechs erreichten Punkten unter Zuhilfenahme dieses Satzes einen Schwierigkeitsgrad von ** bzw. ***.

Da die Aufgabe relativ viele Teilschritte beinhaltet (Aufgabenstellung lesen und verstehen; Skizze abzeichnen; zum besseren Verständnis Figuren einzeichnen; Seitenlängen messen bzw. ausrechnen; Flächeninhalte berechnen; Flächeninhalte subtrahieren, um auf die markierte Fläche zu kommen; Lösungssatz aufschreiben; ...) ist sie auf jeden Fall für einen längeren Arbeitsaufwand einzuplanen. Durch die offen gehaltene Aufgabenstellung können die Kinder außerdem auch über mehrere Lösungswege nachdenken, mit ihren Partnern vergleichen, ihren eigenen Lösungsweg überprüfen, etc. . Plant die Lehrkraft die Aufgabe in einer interaktiven Sozialform, so kann eine ausgedehnte Übungsphase entstehen. Da geometrische Aspekte (Formen, Längen, Figuren, Flächeninhalt) sowie Themengebiete, in denen die Schülerinnen und Schüler rechnen müssen (Verhältnisse zueinander ausrechnen, um auf die Seitenlängen der Dreiecke zu gelangen), eingebettet sind, lässt sich die Aufgabe als produktive Übung einsetzen.