Geometrische Denkaufgabe: Winkeldetektiv 3

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Klasse Schulstufe Thema Themengebiet Schwierigkeit
5/ 6/ 7 Primarstufe Winkelsätze (am Dreieck) Größen und Messen, Raum und Form *, **
Heuristsche Hilfsmittel Heuristische Prinzipien Heuristische Strategien
Informative Figur, Gleichungen Zerlegungs- und Ergänzungsprinzip, Invarianzprinzip Vorwärtsarbeiten, Rückwärtsarbeiten

Aufgabenstellung

 
a) Finde durch Einzeichnen von Hilfslinien in die Zeichnung gleichschenklige und gleichseitige Dreiecke. Benenne diese.
 
b) Berechne \(\alpha \) und beschreibe deinen Lösungsweg.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Quellenangabe:

o.V. (2016): Die drei modifizierten Denkaufgaben (Nr. 27, 15, 19) nach (Eigenmann 1981). In: mathematik lehren 196. S. 22-27. Friedrich Verlag.


Lösungsvariante 1 - Rechnerische Lösung
 
a)

Das Dreieck \(\triangle AEC\) lässt sich in die gleichschenkligen Dreiecke \(\triangle AED\), \(\triangle BDE\), \(\triangle CDE\) und \(\triangle ADC\) unterteilen. In der Zeichnung gibt es keine gleichseitigen Dreiecke. 
 
 
b) gesucht: \(\alpha \)
 
Lösung:
 
Für die Innenwinkelsumme des Dreiecks \(\triangle AEC\) gilt:
 
\(180°=\alpha +\sphericalangle DAE+\sphericalangle AED+\sphericalangle DEB+\sphericalangle BCD+\sphericalangle DCA\quad \quad \quad \quad \quad (1)\)
 
 
Um nun den Winkel \(\alpha \) zu berechnen, müssen die fehlenden Winkelgrößen aus Gleichung \((1)\) ermittelt werden.
 
 
Ermittlung von \(\sphericalangle DEB\) :
 
  • Berechne den Nebenwinkel  \(\sphericalangle DBE\)  von 64° bei \(D\):  \(\sphericalangle DBE=180°-64°=116°\) 
 
  • \(\Delta BDE\) ist gleichschenklig, da \(D\) und \(E\) auf einem Kreis um \(B\) mit dem Radius \(r=\overline { BD } =\overline { BE } \) liegen.
 
Mit dem Basiswinkelsatz für gleichschenklige Dreiecke folgt:  \(\sphericalangle BDE=\sphericalangle DEB\)
 
 
  • Mit dem Innenwinkelsummensatz für Dreiecke (IWS) lassen sich nun \(\sphericalangle BDE\) und \(\sphericalangle DEB\) berechen:
  \(180°=\sphericalangle BDE+\sphericalangle DEB+\sphericalangle DBE\) \(| \sphericalangle BDE=\sphericalangle DEB\)
\(\Leftrightarrow \) \(180°=2\cdot \sphericalangle DEB+\sphericalangle DBE\)  
\(\Rightarrow \) \(180°=2\cdot \sphericalangle DEB+116°\) \(| - 116°\)
\(\Leftrightarrow \) \(64°=2\cdot \sphericalangle DEB\)  
\(\Rightarrow \) \(32°=\sphericalangle DEB=\sphericalangle BDE\)  

 

 

Ermittlung von \(\sphericalangle DAE\) und \(\sphericalangle AED\) :
 
  • Berechne den Nebenwinkel \(\sphericalangle EDA\) von \(\sphericalangle BDE\) bei \(D\): \(\sphericalangle EDA=180°-32°=148°\)
 
 
  • \(\Delta AED\) ist gleichschenklig, da \(A\) und \(E\) auf einem Kreis um \(D\) mit dem Radius \(r=\overline { AD } =\overline { DE } \) liegen.
Somit folgt mit dem Basiswinkelsatz für gleichschenklige Dreiecke \(\sphericalangle DAE=\sphericalangle AED\).
 

 

  • Mit dem IWS lassen sich nun \(\sphericalangle DAE\) und \(\sphericalangle AED\) berechnen:
  \(180°=\sphericalangle DAE+\sphericalangle AED+\sphericalangle EDA\) \(| \sphericalangle DAE=\sphericalangle AED\)
\(\Leftrightarrow \) \(180°=2\cdot \sphericalangle DAE+\sphericalangle EDA\)  
\(\Rightarrow \) \(180°=2\cdot \sphericalangle DAE+148°\) \(| - 148°\)
\(\Leftrightarrow \) \(32°=2\cdot \sphericalangle DAE\) \(| : 2\)
\(\Rightarrow \) \(16°=\sphericalangle DAE=\sphericalangle AED\)  

 

 

Ermittlung von \(\sphericalangle BCD\) :

 

  • \(\triangle CDE\) ist gleichschenklig, da \(C\) und \(E\) auf einem Kreis um \(D\) mit dem Radius \(r=\overline { DC } =\overline { DE } \) liegen.

Somit folgt mit dem Basiswinkelsatz für gleichschenklige Dreiecke: \(\sphericalangle DEB=\sphericalangle BCD\)

Es folgt also: \(\sphericalangle BCD=32°\)

 
 
Durch Einsetzen der ermittelten Winkelgrößen in \((1)\) ergibt sich:
 
  \(180°=\alpha +16°+16°+32°+32°+\sphericalangle DCA\)
\(\Leftrightarrow \) \(180°=\alpha +96°+\sphericalangle DCA\)

 

\(\triangle AEC\) ist gleichschenklig, da A und C auf einem Kreisbogen um D mit dem Radius \(r=\overline { DA } =\overline { DC } \) liegen. Somit gilt \(\alpha =\sphericalangle DCA\) .

 

Somit folgt:

  \(180°=2\alpha +96°\) \(| - 96°\)
\(\Leftrightarrow \) \(84°=2\alpha \) \(| : 2\)
\(\Leftrightarrow \) \(42°=\alpha \)  

 

 
Der Winkel \(\alpha \) beträgt also 42°.
 
 
 
 
Lösungsvariante 2 - Zeichnerische Lösung
 

   

1. Zeichne einen Geradenausschnitt.

 

 

 

2. Trage einen zweiten Geradenausschnitt im 64°-Winkel ab.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3. Schlage einen beliebig großen Kreisbogen um den Schnittpunkt B der beiden Geraden. Dabei entstehen die Schnittpunkte D und E des Kreisbogens mit den jeweiligen Geraden.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Setze den Zirkel nun bei D an und verändere die Zirkelspanne so, dass \(\overline { DE } \) der neue Radius ist. Zeichne einen Kreis um D und bezeichne den Schnittpunkt auf jener Geraden, auf der E liegt, mit C. Der Kreis schneidet außerdem die Gerade, auf der die Punkte B und D liegen, in zwei weiteren Punkten. Derjenige Schnittpunkt, welcher weiter entfernt von B liegt, wird als A bezeichnet.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5. Für den gesuchten Winkel \(\alpha \) gilt:

\(\alpha =\sphericalangle CAB=42°\)


Es bietet sich an die Aufgabe bei der Thematisierung von Dreiecken im Unterricht einzusetzen. Für die Lösung der Aufgabe stellen Sätze und Winkelbeziehungen der Niveaustufe E eine Voraussetzung dar. Diese werden laut brandenburgischem Rahmenlehrplan zum Teil in der sechsten Klasse vermittelt (vgl. LISUM (2015), S.12, 48), weshalb eine solche Problemlöseaufgabe vor allem in dieser Jahrgangsstufe, je nach Schulform und Klasse aber auch in der fünften oder siebten Jahrgangsstufe, eingesetzt werden kann.
 

 


Mit der geometrischen Denkaufgabe werden die inhaltsbezogenen Kompetenzbereiche [L2] und [L3] sowie die prozessbezogenen Kompetenzbereiche [K2], [K4] und [K5] aus dem brandenburgischen Rahmenlehrplan Mathematik für die Jahrgangsstufen 1-10 (vgl. LISUM, 2015), der ab dem Schuljahr 2017/18 gültig ist, gefördert.
 

 

Inhaltsbezogene Kompetenzformulierungen

 

Raum und Form [L3]

Kompetenz 1: Die Lernenden können gleichschenklige Dreiecke in gegebenen Skizzen identifizieren.

"Die Schülerinnen und Schüler können geometrische Objekte beschreiben" (LISUM 2015, Geometrische Objekte und ihre Eigenschaften beschreiben, Niveaustufe E, S.26)
Begründung: Um gleichschenklige oder gleichseitige Dreiecke, wie in Aufgabenteil a verlangt, zu finden, müssen die entsprechenden Eigenschaften der Dreiecke bekannt sein. Nach dem Einzeichnen von etwaigen Lösungen wird weiterhin durch kurzes Kontrollieren der Symmetrie eine Prüfung der Lösung vorgenommen.

 

Kompetenz 2: Die Lernenden können Beziehungen zwischen Winkeln beschreiben. Sie nutzen dafür Winkelsätze und Sätze über Dreiecke.

"Die Schülerinnen und Schüler können Beziehungen zwischen geometrischen Objekten beschreiben (auch Sätze über Dreiecke)" (LISUM 2015, Beziehungen zwischen geometrischen Objekten beschreiben, Niveaustufe E, S.26)
Begründung: Zur Lösung der Aufgabe ist es essentiell, entsprechende Beziehungen zu erkennen und zu nutzen. Der Innenwinkelsummensatz u.a. wird genauso vorausgesetzt wie die Kenntnis über gleichschenklige Dreiecke.

 

Größen und Messen [L2]
 
Kompetenz 3: Die Lernenden können mit Winkeln rechnen.
"Die Schülerinnen und Schüler können mit Größenangaben rechnen (auch mit [...] Winkelgrößen)" (LISUM 2015, Größen in Sachzusammenhängen berechnen, Niveaustufe D, S.25)
Begründung: Das Rechnen mit Winkeln im System des Gradmaßes ist abzugrenzen von dem Rechnen mit dem Bogenmaß. Eine theoretische Durchdringung dessen kann helfen, die Unterschiede zu klären. Winkelberechnungen im Gradmaß gehen dann von einem Vollwinkel von 360° aus. Im Vergleich zum Dezimalsystem muss hier arithmetisch also im System gewechselt werden, um Teile des Vollwinkels den entsprechenden Benennungen zuzuordnen (z.B. Alpha). Die Rechnungen finden dennoch dezimal statt.
 

 

 
Prozessbezogene Kompetenzformulierungen

 

Mathematische Darstellungen verwenden [K4]

Kompetenz 4: Die Lernenden können geometrische Konstruktionen nutzen, um Informationen (Gradangaben, Mittelpunkt eines Kreises) herauszufiltern, die ihnen beim Lösen eines Problems helfen.

"Die Schülerinnen und Schüler können geeignete Darstellungen für das Bearbeiten mathematischer Sachverhalte und Probleme auswählen" (LISUM 2015, S.20)
Begründung: Die gegebene Konstruktion enthält verschiedene Informationen, welche erst encodiert werden müssen (z.B. 46°). Weiterhin sollen sie durch Einzeichnen von Linien gleichschenklige und/oder gleichseitige Dreiecke finden. Eine Konstruktion kann zur Lösung des Problems (Ermittlung des Winkels \(\alpha \)) beitragen.
 

 

Mit symbolischen, formalen, technischen Elementen der Mathematik umgehen [K5]

Kompetenz 5: Die Lernenden können den Innenwinkelsummensatz, den Nebenwinkelsatz und den Scheitelwinkelsatz nutzen, um gegebene Sachverhalte zu erfassen.
"Die Schülerinnen und Schüler können [...] Gleichungen [...] zur Beschreibung von Sachverhalten nutzen", "können mathematische Hilfsmittel und Werkzeuge sachgerecht auswählen und flexibel einsetzen" (LISUM 2015, S. 20)
Begründung: Zur Lösung der Aufgabe werden Sätze benötigt, auf die die Lernenden zurückgreifen müssen. Bei der Dokumentation der Ergebnisse muss weiterhin auf eine korrekte Notation geachtet werden, damit die entsprechenden Sätze mit richtigen Gleichungen repräsentiert werden. Dementsprechend erfolgt hier des Weiteren eine Förderung der kommunikativen Kompetenz [K6] ("Die Schülerinnen und Schüler können mathematische Fachbegriffe und Zeichen bei der Beschreibung und Dokumentation von Lösungswegen sachgerecht verwenden" (LISUM 2015, S.21)).

 

 
Probleme mathematisch lösen [K2]
 
Kompetenz 6: Die Lernenden können den Innenwinkelsummensatz, den Nebenwinkelsatz und den Scheitelwinkelsatz sowie Eigenschaften von Dreiecken (gleichschenklig, gleichseitig) nutzen und in einer ihnen vorher nicht bekannten Reihenfolge nicht routiniert einsetzen, um das gestellte Problem zu lösen.
"Die Schülerinnen und Schüler können Aufgaben bearbeiten, zu denen sie noch keine Routinestrategie haben (sich zu helfen wissen)", "können mathematische Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten bei der Bearbeitung von Problemen anwenden" (LISUM 2015, S. 19)
Begründung: Auch wenn die Erarbeitung der genannten Sätze und Eigenschaften im Klassenverbund vorher erfolgte, kann damit noch nicht ohne Weiteres die Aufgabe gelöst werden. Es gibt keinen Algorithmus dafür. Die Lernenden müssen sich also selbst auf einen Weg begeben, dessen Ende sie nicht kennen. Ihre Lösungsstrategien müssen sie dabei ständig hinterfragen.

Heuristische Hilfsmittel: 
  • Beim ersten Lösungsweg wird der Nebenwinkelsatz sowie der Innenwinkelsummensatz verwendet. Diese werden in Form von mathematischen Gleichungen aufgeschrieben. 

 

  • Bei der zeichnerischen Lösung, wird die Skizze schrittweise nachkonstruiert. Durch Erkennen von gleich langen Strecken bzw. gleichschenkligen Dreiecken in der gegebenen Skizze sowie Überlegungen, wie die Zeichnung mithilfe dieser Informationen konstruiert werden kann, wird eine informative Figur erstellt, in welcher der Winkel \(\alpha \) letztendlich abgemessen werden kann. 

 

 

Heuristische Strategien: 
  • Beim ersten Lösungsweg, wird das Gesuchte, der Winkel alpha betrachtet. Ausgehend von der gegebenen Skizze, werden schrittweise Zusammenhänge zwischen Winkeln ermittelt, die notwendig sind, um den gesuchten Winkel zu bestimmen. Bei dieser Vorgehensweise wird demnach rückwärts gearbeitet.

 

  • Beim zweiten Lösungsweg erfolgt ein Vorwärtsarbeiten: Es wird das gegebene, also die Skizze, betrachtet und es erfolgen Überlegungen, wie diese konstruiert werden kann, damit zum Schluss der Winkel \(\alpha \) abgemessen werden kann. Außgangspunkt bei der Konstruktion ist dabei der gegebene Winkel von 64°, von dem ausgehend der Rest konstruiert wird.

 

 

Heuristische Prinzipien: 
  • Beim Untersuchen der Anfangsskizze auf gleichschenklige Dreiecke wird das Zerlegungsprinzip verwendet.

 

  • Bei der zeichnerischen Lösung, bleibt der Winkel von 64° aus der gegebenen Skizze bestehen/konstant. Andere Größen, wie die Streckenlängen (vgl. Schritt 3 "Schlage einen beliebig großen Kreisbogen"), können bei der Konstruktion von der Anfangsskizze abweichen. Somit ist bei dieser Lösung das Invarianzprinzip von Bedeutung.

Die geometrische Denkaufgabe hat nach Cohors-Fresenborg et al. bezüglich der ersten Lösung mit vier erreichten Punkten einen Schwierigkeitsgrad von ** und bezüglich des zeichnerischen Lösungswegs mit insgesamt zwei erreichten Punkten einen Schwierigkeitsgrad von *.

 

 

Sprachlogische Komplexität: 

Die Sprachlogische Komplexität der Aufgabe ist auf Stufe 0 anzusiedeln, da die Reihenfolge der beiden Aufgabenteile der Reihenfolger der Lösungsschritte entspricht: Zunächst müssen Hilfslinien eingezeichnet werden, bzw. gleichschenklige Dreiecke in der gegebenen Skizze erkannt werden (vgl. Teilaufgabe a)). Ausgehend davon kann dann im Weiteren unter zusätzlichen Überlegungen der Winkel \(\alpha \) ermittelt werden (vgl. Teilaufgabe b)).

 

 

Kognitive Komplexität: 

Bei der Problemlöseaufgabe müssen vor der Bearbeitung von Teilaufgabe b) Denkvorgänge darüber erfolgen, wie nun mit den gegebenen und in Aufgabenteil a) ermittelten Informationen der Winkel \(\alpha \) berechnet werden kann. Bei der rechnerischen Lösung sind dies Überlegungen über die Ermittlung von hilfreichen Winkeln mit den Winkelsätzen. Bei der zeichnerischen Lösung geht es darum, wie die gegebenen Zusammenhänge angemessen konstruiert werden können. Somit hat die Aufgabe bezüglich beider Lösungswege eine Kognitive Komplexität der Stufe 2.

 

 

Formalisierung von Wissen: 

Die Formalisierung von Wissen erfolgt bei der rechnerischen Lösung auf Stufe 1, da bei dieser mithilfe der Winkelsätze einfache Gleichungen aufgestellt werden. Bei der zeichnerischen Lösung wird lediglich in grafischer Form vorgegangen, somit lässt sich die Formalisierung von Wissen hier auf Stufe 0 einordnen.

 

 

Formelhandhabung: 

Beim ersten Lösungsweg sind einfache Gleichungsumformungen erforderlich, um einzelne Winkel mit Winkelsätzen zu berechen. Bei der zweiten Lösungsvariante hingegen sind keine algebraischen Operationen notwendig. So hat die Aufgabe auch bezüglich der Formelhandhabung die Schwierigkeitsstufe 1 bei der rechnerischen Lösung und die Schwierigkeitsstufe 0 bei der zeichnerischen Lösung.

 

 

Stufenzuordnung: 
Formalisierung von Wissen
Stufe 0
Stufe 1
Formelhandhabung
Stufe 0
Stufe 1
Kognitive Komplexität
Stufe 2
Sprachlogische Komplexität
Stufe 0

Hilfestellungen: 

Bei der Problemlöseaufgabe lassen sich einige kritische Stellen identifizieren, bei denen die Schülerinnen und Schüler Schwierigkeiten haben könnten.

 

Entscheidet sich ein Schüler, bzw. eine Schülerin dafür, den Aufgabenteil b) rechnerisch zu lösen, so kann es problematisch sein, auf die Idee zu kommen, bereits erlernte mathematische Sätze, wie den Nebenwinkelsatz oder den Innenwinkelsummensatz im Dreieck anzuwenden. In diesem Fall können den Lernenden die folgenden Hilfen gegeben werden.

Allgemein-strategische Hilfen Inhaltsorientierte strategische Hilfen Inhaltliche Hilfen
Hast du schonmal eine ähnliche Aufgabe gelöst? Was hat dir dabei geholfen? Kannst du bekannte Sätze über Zusammenhänge von mathematischen Objekten anwenden? Denke an die Winkelsätze!
Gibt es mathematische Objekte in dem gegebenen Sachverhalt, die nicht in der Skizze eingezeichnet sind? Kannst du weitere Hilfsobjekte in die Skizze einzeichnen? Was weißt du über Zusammenhänge von Winkeln in Dreiecken?
Wie kannst du vom Gegebenen zum Gesuchten gelangen? Wie kannst du gesuchte Winkel ermitteln? Was weißt du über gleichschenklige Dreiecke?

 

Bei der zeichnerischen Lösung könnte das Problem auftreten, dass die Schülerinnen und Schüler die Unrelevanz der Beibehaltung gleicher Streckenlängen erkennen. Wichtig bei der Konstruktion ist einzig und allein die Beibehaltung des 64°-Winkels und der Streckenverhältnisse aus der gegebenen Skizze. Um die Lernenden in dieser Situation auf den richtigen Weg zu bringen, können folgende Hinweise gegeben werden.

Allgemein-strategische Hilfen Inhaltsorientierte strategische Hilfen Inhaltliche Hilfen
Was musst du bei der Konstruktion beachten? Müssen die Strecken bei deiner Konstruktion wirklich genauso lang sein wie die entsprechenden Strecken in der gegebenen Skizze? Denke an die Kongruenzsätze!
Was ist in der Skizze aus der Aufgabenstellung vorgegben? Ändern sich Winkel in Dreiecken, wenn sich die Seitenlängen ändern? Wann bleiben Winkelgrößen in Dreiecken bei Veränderung der Seitenlängen gleich?
Was lässt sich in der gegebenen Skizze nicht erkennen? Ist es wichtig, dass die Konstruktion maßstabsgetreu zur gegebenen Skizze ist?  

 

 

Sozialformen: 

Es bietet sich an die Aufgabe in Partner- oder Gruppenarbeiten lösen zu lassen, wodurch die Möglichkeit geschaffen wird, dass die Lernenden ihre Ideen untereinander austauschen und weiterführen.

 

 

Differenzierungsmöglichkeiten: 
Für leistungsschwächere Schülerinnen und Schüler können die benötigten Informationen (Innenwinkelsummensatz, Scheitelwinkelsatz, Nebenwinkelsatz, Symmetrieeigenschaften von gleichseitigen und gleichschenkligen Dreiecken) - auf einem separaten Blatt gesammelt - einen Überblick geben, wo Ansatzpunkte zum Lösen der Aufgabe gefunden werden können. Außerdem kann für diese Lernenden ein Blatt vorbereitet werden, auf dem mit Hilfslinien bereits Aufgabenteil a gelöst ist, sodass Denkanstöße zum Lösen des Problems gesucht werden können.

 

Für leistungsstärkere Schülerinnen und Schüler kann die Zeichnung von allen Beschriftungen befreit werden, um mehr Differenzierungsfreiraum zu geben. Weiterhin können die Mittelpunkte der Kreise weggelassen werden, sodass sie entsprechend nachgeprüft werden müssen. Außerdem kann eine zusätzliche Strecke \(\overline { DF } \) (F liegt oberhalb von Strecke \(\overline { AC } \), frei wählbar) zu Verwirrung führen, da sie nicht an der Lösungsfindung beteiligt ist.
Das Rechnen mit dem Pythagoras ist unter Niveau E teilweise Bestandteil des Grundschulcurriculums (vgl. LISUM 2015, S. 12, 43). Mit der Beschriftung einer Seite, z.B. der Strecke \(\overline { BC } \), mit einer fiktiven Längenangabe könnte man
zusätzlich die Berechnung der anderen Seiten erschweren. Diese zusätzliche Aufgabe könnte Aufgabenteil a ersetzen.

Eine Möglichkeit der Nutzung wäre der Einsatz als langfristige Hausaufgabe. So könnten die Schülerinnen und Schüler den Auftrag bekommen, sich in verschiedenen, selbstgewählten Situationen mit dem Problem zu beschäftigen und so mit neuen Inspirationen vielleicht auf die Lösung zu kommen. 

 

Durch den Einsatz als Übungsaufgabe können Sätzen und erarbeiteten Eigenschaften von Dreiecken wiederholt und vernetzt werden. Eine solche neue Kombination von verschiedenen Eigenschaften führt zu einer tieferen Durchdringung und einer besseren Festigung im Begriffsnetz.


Bearbeitet von: Tim Hildebrandt, Lucia Schima (überarbeitet von Marisa Pfläging)
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