Winkelberechnung am Dreieck

Klasse Schulstufe Thema Themengebiet Schwierigkeit
7 Sekundarstufe I Größen und Messen, Raum und Form *, **

Aufgabenstellung

 
a) Ermittelt in Partnerarbeit das gesuchte Winkelmaß \(\gamma \) und notiert euren Lösungsweg!
 
b) Entwerft eine eigene Knobelaufgabe, bei der ein Winkelmaß gesucht ist. Ihr sollt sie nachher der Klasse vorstellen können.
 
 

Quellenangabe:

Eigenmann, P. (1981). Geometrische Denkaufgaben. Stuttgart: Klett.


Lösungsvariante 1 - Rechnerische Lösung
 
a) Skizze:
Es gilt α + ε = γ.

Zunächst kann man den Winkel α an A mithilfe des gestreckten Winkels bestimmen. Nach dem Nebenwinkelsatz beträgt dieser 180°-141° = 39° = α. Nun kann man das Dreieck \(\triangle ABC\) in zwei Innendreiecke \(\triangle ADC\) und \(\triangle BCD\) unterteilen. Aufgrund des Kreisbogens um D, auf dem die Punkte A und C liegen, erkennt man, dass das Dreieck \(\triangle ADC\) gleichschenklig sein muss und somit die Strecken \(\overline { AD } \) und \(\overline { DC } \) gleich lang sein müssen. Aufgrund der Eigenschaften eines gleichschenkligen Dreiecks müssen dementsprechend auch die Winkel \(\measuredangle DAC\) und \(\measuredangle ACD\) gleich groß sein. Dementsprechend setzt sich die Winkelsumme im Dreieck \(\triangle ADC\) so zusammen: α + α + β = 180°(Winkelsummensatz im Dreieck). Also muss β = 180° – α – α = 180° - 39° - 39° = 102° sein. Nun kann man δ bestimmen, indem man den gestreckten Winkel an D nutzt. Da nach dem Nebenwinkelsatz β + δ = 180° gilt, muss δ = 180° - β = 180° - 102° = 78° sein. Nun betrachten wir das Dreieck \(\triangle BCD\). Hier erkennen wir, dass die Punkte B und D auf dem Kreisbogen um C liegen, also die Strecken \(\overline {CB}\) und \(\overline {CD}\) gleich lang sind. Das Dreieck \(\triangle BCD\) ist also ein gleichschenkliges Dreieck und dementsprechend müssen die Winkel \(\measuredangle BDC\) und \(\measuredangle CBD\) gleich groß sein. Der Winkel an B ist also genauso groß wie δ und damit 78° groß. Nun können wir wieder das Dreieck \(\triangle ABC\) betrachten. Nach dem Innenwinkelsummensatz eines Dreiecks gilt α + γ + δ = 180°. α und δ kennen wir, also ist γ = 180° - α – δ = 180° - 39° - 78 ° = 63°. Somit ist die Aufgabe gelöst.
 

 
b) Für diesen Aufgabenteil ist Kreativität gefordert. Es gibt viele individuelle korrekte Lösungsmöglichkeiten.
 
 
 
Lösungsvariante 2 - Zeichnerische Lösung
 
Zunächst zeichnet man eine waagerechte Gerade g. Auf dieser Geraden zeichnet man nun einen Punkt A ein, an welchem man mit dem Geodreieck einen Strahl h zeichnet, der wie in der Skizze zu sehen ist mit einem Winkel von 141° auf g steht.
 
Nun muss man anhand der Ausgangsskizze aus der Aufgabenstellung erkennen, dass das Dreieck \(\triangle ABC\) in zwei Innendreiecke unterteilt werden kann, nämlich in die Dreiecke \(\triangle ADC\) und \(\triangle BCD\), wobei D der Mittelpunkt des Kreises ist, auf welchem A und C liegen. Weil A und C auf dem Kreisbogen um D liegen, müssen die Abstände \(\overline {AD}\) und \(\overline {CD}\) gleich lang sein, also ist das Dreieck \(\triangle {ADC}\) ein gleichschenkliges Dreieck. Somit müssen auch die Winkel  \(\measuredangle DAC\) und \(\measuredangle ACD\) gleich groß sein.
                      
                              Ausgangsskizze

Den Winkel \(\measuredangle DAC\) misst man nun mithilfe des Geodreiecks und erhält den Wert 39°. Nun sucht man sich einen beliebigen Punkt D auf der Geraden g und zeichnet mithilfe eines Zirkels einen Kreis mit dem Radius der Strecke \(\overline {DA}\) um D. Dieser schneidet h in einem Punkt C, weil D laut Skizze der Mittelpunkt eines Kreises ist, auf dem A und C liegen. Weil wir zwei Winkel des Dreiecks \(\triangle {ADC}\), welches wir konstruieren möchten, kennen, ist der dritte festgelegt. Da die Winkel festgelegt sind, ist das Dreieck eindeutig und die Seitenlängen stehen immer im gleichen Verhältnis zueinander – egal ob es gestreckt oder gestaucht wird. Und weil wir keine Seitenlängen berechnen wollen, sondern nur Winkel, darf D beliebig auf g liegen, solange D rechts von A liegt. Nun zeichnen wir mit dem Geodreieck die Strecke \(\overline {DC}\) ein, können mit dem Geodreieck den Winkel \(\measuredangle CDA\) messen und erhalten den Wert 101°.
 

 
Jetzt nehmen wir die Information aus der Skizze, dass D und B auf g liegen und gleichzeitig auf dem Umkreis um C. Mit dem Zirkel zeichnen wir also einen Kreis um C, der g in D schneidet und erhalten einen weiteren Schnittpunkt mit g, nämlich den Punkt B. Jetzt haben wir alle Punkte des Dreiecks \(\triangle {ABC}\) konstruiert und können diese nun verbinden. Nun können wir mit dem Geodreieck den gesuchten Winkel \(\measuredangle ACB\) messen und erhalten 64° als Lösung. Damit ist die Aufgabe gelöst.
 
 
 
b) Für diesen Aufgabenteil ist Kreativität gefordert. Es gibt viele individuelle korrekte Lösungsmöglichkeiten.
 

Die Aufgabe Winkelberechnung am Dreieck kann im Rahmen der Unterrichtsthematik Winkel bei/an Dreiecken gestellt werden.

Laut dem Kerncurriculum Niedersachsen für Realschulen 2014 (KC) ist dieses Thema in allen Jahrgangsstufen ein wichtiger inhaltlicher Aspekt, der in den inhaltsbezogenen Kompetenzen "Größen und Messen" sowie "Raum und Form" gefördert wird.

Bezüglich der Kernkompetenz „Größen und Messen“ wird aufgeführt, dass die Schülerinnen und Schüler am Ende der 6. Klasse Winkel schätzen, messen und zeichnen können sollen (vgl. KC, S.26).  Außerdem sollen sie dann bezüglich der Kernkompetenz „Berechnen Größen“ sowohl Winkelgrößen mit Hilfe von Neben-, Scheitel- und Stufenwinkelsatz, als auch am Ende der 8. Klasse Flächeninhalte und Umfang vom Dreieck, Parallelogramm, Raute, Trapez und Drachen berechnen können. Ebenfalls am Ende der 8. Klasse sollen die Winkelsummensätze für Drei- und Vierecke angewendet werden können. Erweitert wird dieses in der 9. und 10. Klasse durch das Berechnen von Winkelgrößen in rechtwinkligen Dreiecken mit trigonometrischen Beziehungen. Bezüglich der Kernkompetenz „identifizieren und strukturieren ebene und räumliche Figuren aus der Umwelt“ sieht man, dass Schülerinnen und Schüler am Ende der 6. Klasse Winkeltypen unterscheiden, Eigenschaften von Rechteck, Quadrat, Dreieck und Kreis erkennen und benennen und am Ende der 8. Klasse Dreiecksformen unterscheiden können sollen. Außerdem sollen sie am Ende der 6. Klasse bezüglich der Kernkompetenz „lösen innermathematische und realitätsbezogene geometrische Probleme“ Winkelbeziehungen an Geradenkreuzungen nutzen (Scheitel-, Neben-, Stufenwinkel). Am Ende der 8. Klasse sollen ebenso Linien und Punkte im Dreieck zur Lösung von Problemen genutzt werden (Höhen, Winkelhalbierende, Inkreis, Mittelsenkrechte, Umkreis). Hinzu kommt bei der Kernkompetenz „stellen ebene und räumliche Figuren dar und operieren in der Vorstellung mit ihnen“, dass die Schülerinnen und Schüler geometrische Figuren mit Zirkel und Geodreieck konstruieren können sollen.
 
Diese Aufgabe ist gut in der 7. Klasse umsetzbar, was aus den beschriebenen geförderten Kompetenzen hervorgeht, die sich auf die Jahrgangsstufen 7 und 8 beziehen. Selbstverständlich baut die Aufgabe auch auf Kompetenzen aus den vorherigen Jahrgangsstufen auf, dennoch kommen Themen wie beispielsweise der Winkelinnensummensatz erst in der 7. Jahrgangstufe dazu. Dadurch kann die Aufgabe erst in der 7. Klasse gestellt werden, da auch bei einer Problemlöseaufgabe alle Lösungswegschritte in irgendeiner Weise bekannt sein müssen. Durch dieses Zurückgreifen auf alte Unterrichtsinhalte, die aber nicht explizit im Unterricht wiederholt, oder in der Aufgabe angesprochen werden, und durch das Nicht-Einzeichnen wichtiger nicht offensichtlicher Informationen entsteht ein Problem, das kreativ gelöst werden soll.

Inhaltsbezogene Kompetenzformulierungen
 
Raum und Form
"Die Schülerinnen und Schüler unterscheiden Dreiecksformen." (KC, Ende zusätzlich Schuljahrgang 8, S.28)
Die Schülerinnen und Schüler müssen bei dieser Aufgabe zwischen beliebigen und gleichschenkligen Dreiecken und ihren jeweiligen Eigenschaften unterscheiden können:
Ein beliebiges Dreieck besteht aus einer Grundseite und zwei anliegenden Schenkeln, die einen gemeinsamen Punkt am jeweiligen Streckenende haben. Bei einem beliebigen Dreieck sind die Winkel alle unterschiedlich groß und die Seiten unterschiedlich lang. Die Summe der Innenwinkel beträgt 180°. In der Aufgabe findet man solch ein beliebiges Dreieck in der anfangs gegebenen Skizze, welches auch am Ende jeder Lösung noch einmal eine Rolle spielt (durch den Innenwinkelsummensatz und das gesamte konstruierte Dreieck).
Ein gleichschenkliges Dreieck besitzt zwei gleich große Winkel, die an der Grundseite anliegen. Durch diese entstehen auch zwei gleichlange Schenkellängen. Die Schenkel schließen dabei den drittel Winkel ein. In der Aufgabenbearbeitung wird mit zwei gleichschenkligen Dreiecken gearbeitet, die durch die Kreisbögen und eine Verbindung der Kreisbogenmittelpunkte entstehen. Sie ergeben sich aus dem bei einem Kreis immer gleich großen Radius. Dadurch, dass immer zwei Winkel gleichgroß sind, hat man direkt Informationen über mehrere Winkel und kann dann leichter die restlichen erarbeiten.
 
 
"Die Schülerinnen und Schüler konstruieren geometrische Figuren mit Zirkel und Geodreieck [...]." (KC, Ende zusätzlich Schuljahrgang 8, S.28)
Bei der zeichnerischen Lösung ist diese Kompetenz die elementare Grundlage, denn die Skizze ist eine geometrische Figur, die beim zeichnerischen Lösungsweg schrittweise nachgezeichnet und somit selbst konstruiert werden soll. Dabei sind Zirkel und Geodreieck zum Zeichnen und messen notwendig.
 
 
Größen und Messen
"Die Schülerinnen und Schüler wenden den Winkelsummensatz für Drei- [...]ecke an." (KC, Ende zusätzlich Schuljahrgang 8, S.28)
Der Winkelsummensatz bezieht sich auf die Innenwinkelsumme in einem Dreieck und lautet: Die Summe aller Winkel in einem Dreieck ergibt 180°.
Dies geschieht sowohl mehrfach bei der Errechnung des dritten Winkelmaßes in einem gleichschenkligen Dreieck und bei der Errechnung des gesuchten Winkels am Ende des Lösungsweges (180° - α – δ = γ).
 

 
 
Prozessbezogene Kompetenzformulierungen
 
Mathematische Probleme lösen
"Die Schülerinnen und Schüler gliedern das Problem in Teilprobleme." (KC, Ende zusätzlich Schuljahrgang 8, S.19)
Um das gesamte Problem lösen zu können, müssen schrittweise Teilprobleme gelöst werden. Dies geschieht zum Beispiel bei Ideen wie: „Wenn ich dieses Winkelmaß kenne, dann auch jenes.“
 
 
Mit mathematischen Darstellungen umgehen
"Die Schülerinnen und Schüler entnehmen Informationen aus komplexen Grafiken und Diagrammen und interpretieren diese." (KC, Ende zusätzlich Schuljahrgang 8, S.21)
Bei der Aufgabe müssen alle benötigten Informationen der Skizze entnommen werden. Diese sind komplex, da viele inhaltliche Themen wie Dreieck, Winkel, Kreis etc. angesprochen werden, die teilweise schon vor längerer Zeit im Unterricht behandelt wurden und nicht mehr frisch geübt sind. Aus diesen Informationen müssen dann weitere Ideen für einen Lösungsweg entstehen. Dafür müssen die Informationen interpretiert werden, um Zusammenhänge und Bezüge herzustellen, damit die Aufgabe Schritt für Schritt gelöst werden kann.
 
 
Mathematisch kommunizieren
"Die Schülerinnen und Schüler erläutern Mitschülerinnen und Mitschülern ihre Überlegungen, die zur Lösung geführt haben." (KC, Ende zusätzlich Schuljahrgang 8, S.23)
Durch die Partnerarbeit soll ein Gespräch mit Ideenaustausch stattfinden, der Lösungsansätze, -strategien und -wege erklärt. Beide Schüler bzw. Schülerinnen müssen jeweils die andere Sichtweise und Herangehensweise nachvollziehen. Dazu bedarf es einer jeweiligen guten Erklärung und Argumentation.

Heuristische Hilfsmittel: 
  • Als heuristische Hilfsmittel wird sich einer informativen Figur bedient, die die Skizze bereits vorgeliefert hatte und von den Schülerinnen und Schülern durch zusätzliche Ideen für den Lösungsweg erweitert wurde. Ein Lösungsgraph wurde sozusagen im Kopf erstellt. Die unterschiedlichen Ideen und Lösungsschritte werden durchgegangen, es werden sich mögliche Zwischenergebnisse gemerkt und so wird über eine geplante Vorgehensweise mit fester Reihenfolge zum Ziel gelangt.
 
  • Desweiteren werden Gleichungen als heuristisches Hilfsmittel verwendet: Beziehungen in einem Dreieck und einem Kreis wie beispielsweise Winkelmaßgrößen, Längenverhältnisse und Radius müssen bedacht werden. Außerdem wird der Innenwinkelsatz angewendet.
 
 
Heuristische Strategien: 
  • Als heuristische Strategie wird das Vorwärtsarbeiten verwendet. Durch eine Angabe erhalten die Schülerinnen und Schüler weitere Information, die wiederum zu einer weiteren verhilft. Es werden also schrittweise Erkenntnisse gesammelt, die dann zum gesuchten Ziel führen.
 
  • Beim systematischen Probieren geht es um die Suche nach Zusammenhängen. Auch in der Skizze müssen zunächst Zusammenhänge betrachtet und gefunden werden, sodass das Problem und die Lösungsansätze besser verstanden werden. 
 
  • Außerdem können Analogieschlüsse aus alten Übungsaufgaben zum Beispiel zum Thema Innenwinkelsummensatz gezogen werden. 
 
 
Heuristische Prinzipien: 
  • Es werden die heuristischen Prinzipien Zerlegen und Ergänzen sowie das Symmetrieprinzip angesprochen. Das erste Prinzip findet man beim Ergänzen von Winkeln und Strecken, wenn die Kreismittelpunkte verbunden werden. Durch diese Ergänzung wird gleichzeitig das gegebene Dreieck in zwei gleichschenklige Dreiecke zerlegt, wodurch man wiederum neue Winkel ergänzen kann. Das Symmetrieprinzip wird durch die gleichschenkligen Dreiecke angesprochen, deren eine Winkelhalbierende immer auch eine Symmetrieachse ist, woraus gewisse Winkelbeziehungen entstehen.
     

Schwierigkeiten der Aufgabe liegen weniger in der sprachlogische Komplexität, der Formalisierung von Wissen, oder der Formelhandhabung als vielmehr in der kognitiven Komplexität.
 
Für den Schwierigkeitsgrad der Aufgabe ergibt sich für die erste Lösungsvariante nach Cohors-Fresenborg mit insgesamt 3 Punkten eine Schwierigkeit der Stufe **. Für den zweiten Lösungsweg ergibt sich mit 2 Punkten eine Schwierigkeit von *.
 
 
Sprachlogische Komplexität: 
In Bezug auf die sprachlogische Komplexität kann die Aufgabe auf der Stufe 0 angesiedelt werden, da größtenteils einfache Hauptsätze verwendet werden und in Bezug auf die Reihenfolge der Tätigkeiten, die ausgeführt werden sollen, das Notieren des Lösungsweges im Text zwar nach dem Ermitteln des gesuchten Winkelmaßes genannt wird. Jedoch werden im ersten Aufgabenteil nur zwei Anweisungen gegeben und in der siebten/achten Klasse dürfte bereits vorausgesetzt werden, dass man diese zwei Anweisungen korrekt ordnen kann. In Aufgabenteil b) werden nur Hauptsätze verwendet und die Anweisungen sind klar.
 
 
Kognitive Komplexität: 
Schwierigkeiten dürften lediglich im Hinblick auf das Merkmal kognitive Komplexität entstehen, da in der Aufgabe zunächst die Vorüberlegung von Nöten ist, das vorhandene Dreieck in zwei gleichschenklige zu unterteilen. Auf diese Idee müssen die Schülerinnen und Schüler erst einmal kommen. Weiterhin muss dann eine bestimmte Reihenfolge von Rechenschritten eingehalten werden, um einen Winkel nach dem anderen berechnen bzw. messen zu können. Wenn man nicht die Beziehungen eine nach der anderen aufeinander aufbaut, kommt man nicht zu einer Lösung. Die Schwierigkeiten bei dieser Aufgabe sind also die Vorüberlegungen, welche getroffen werden müssen sowie der Start bzw. die Reihenfolge der Schritte, die beachtet werden muss, um zu einer Lösung zu kommen. Somit kann die Aufgabe bezüglich der kognitiven Komplexität der Stufe 2 zugeordnet werden.
 
 
Formalisierung von Wissen: 
In Hinblick auf die Formalisierung von Wissen ist die Aufgabe auf der Stufe 0 einzuordnen, denn in der Aufgabe wird nur die Kenntnis und die Anwendung von schon bekannten Rechnungen und Sätzen verlangt und die Rechnungen sind schon auf einer sehr einfachen mathematischen Ebene, nämlich lediglich mithilfe von Addition und Subtraktion, lösbar.
 
 
Formelhandhabung: 
In der Formelhandhabung bewegt sich die Aufgabe auf der Stufe 1, denn es werden zwar nur einfache Umformungen von Termen benötigt, jedoch werden implizit Variablen benutzt, wenn zwei Winkel im Dreieck vorhanden sind und der dritte berechnet werden muss. Da diese Umformungen zumindest in der rechnerischen Variante der Lösung dieser Aufgabe mehrmals vorkommen, sehen wir hier die Stufe 1. In der zeichnerischen Lösung sieht das anders aus. Dort kann die Aufgabe auf der Stufe 0 angesiedelt werden, da nur gemessen werden muss und keine Termumformungen durchgeführt werden müssen.
 
 
Stufenzuordnung: 
Formalisierung von Wissen
Stufe 0
Formelhandhabung
Stufe 0
Stufe 1
Kognitive Komplexität
Stufe 2
Sprachlogische Komplexität
Stufe 0

Hilfestellungen: 
Ein Problem bei der Lösung der Aufgabe kann die Vorüberlegung, das Dreieck in zwei gleichschenklige Dreiecke zu unterteilen, sein. In diesem Fall könnte man den Schülerinnen und Schülern folgende Hilfestellungen geben:
 
Allgemein-strategische Hilfen Inhaltsorientierte strategische Hilfen Inhaltliche Hilfen
Hast du eine ähnliche Aufgabe schon einmal gelöst?
Kannst du das Dreieck einteilen?
 
Verbinde die Kreismittelpunkte - welche Dreiecke erhältst du?
 
Was siehst du an der Skizze?
Siehst du besondere Dreiecke?
 
Kannst du das Dreieck so unterteilen, dass du gleichschenklige Dreiecke erhältst?
 
Was ist gegeben? Was sagen dir die Kreisbögen? Rechtwinklige Dreiecke helfen dir nicht weiter.
 
 
Darüber hinaus kann es dabei Schwierigkeiten geben, sich eine Information nach der anderen aus den vorherigen gegebenen abzuleiten, also eine Reihenfolge der Schritte einzuhalten, die zur Lösung erforderlich ist. Bezüglich dieses Problems können folgende Hilfen gegeben werden:
 
Allgemein-strategische Hilfen Inhaltsorientierte strategische Hilfen Inhaltliche Hilfen

Was hast du gegeben?
 
Gibt es gleiche Winkel in diesem Dreieck?
 
Welche Winkel sind beim gleichschenkligen Dreieck gleich?
 

Schau dir an, welche Schritte du zuerst machen musst; womit musst du anfangen?
 
Kannst du bekannte Sätze anwenden?
 
Was sagt der Nebenwinkelsatz aus?
 
Was bringt dir die Unterteilung?
Was weißt du über Winkel in Dreiecken?
 		 Was sagt der Innenwinkelsummensatz aus?
 
 
Sozialformen: 
  • Partnerarbeit
 
 
Differenzierungsmöglichkeiten: 
Der Schwierigkeitsgrad dieser Aufgabe kann durch verschiedene Möglichkeiten abgeschwächt oder erhöht werden, sodass sowohl leistungsschwächere als auch leistungsstärkere Schülerinnen und Schüler angemessen gefordert werden können.
 
 
Für leistungsschwächere Schülerinnen und Schüler können zum Beispiel Tipps zur Aufgabenstellung hinzugefügt werden, die sie schon auf eine Idee zur Lösung der Aufgabe lenken kann. Wir denken da zum Beispiel an Tipps, wie die Angabe von Kreiseigenschaften oder, dass die Unterteilung des Dreiecks in zwei oder mehrere Dreiecke sinnvoll sein kann.
Alternativ könnte auch der Teil b) der Aufgabe ausgelassen werden, da leistungsschwächere Schülerinnen und Schüler eventuell schon genug damit zu tun haben, a) zu lösen und beim kreativeren b)-Teil scheitern. Andererseits könnte man Aufgabe b) dahingehend abwandeln, dass ein Dreieck und der gesuchte Winkel vorgegeben wird sowie ein oder zwei andere Bedingungen des Dreiecks wie zum Beispiel das Vorhandensein eines rechten Winkels vorgegeben wird und die Schlerinnen und Schüler dann eine Aufgabe unter diesen Bedingungen konstruieren sollen.
 

Für leistungsstärkere Schülerinnen und Schüler kann beispielsweise die Berechnung mehrerer Winkel verlangt werden, wie zum Beispiel die des Winkels ε im rechnerischen Teil der Aufgabe. Außerdem könnte zum Beispiel eine weitere Variante der Aufgabe gestellt werden, indem zum Beispiel der Anfangswinkel verändert wird, oder indem eine Bedingung geändert wird, zum Beispiel, dass anstatt der Thematik von gleichschenkligen Dreiecken rechtwinklige Dreiecke herangezogen werden.
 
 
Auf diese Weisen lässt sich die Aufgabe individuell anpassen, wobei der Aufgabenteil b) als kreativer Teil schon in einen relativ hohen Anforderungsbereich fällt und schon die meisten Schülerinnen und Schüler fordern sollte.

Die Aufgabe ist für das produktive Üben bzw. das Vertiefen der im Unterricht behandelten Inhalte wie besondere Formen von Dreiecken, dem Nebenwinkelsatz oder dem Innenwinkelsummensatz geeignet. Einerseits wird die Problemlösefähigkeit der Schülerinnen und Schüler trainiert, andererseits setzen sie sich im Zuge dessen auf eine andere Weise mit den Inhalten auseinander, da sie nicht nur „stumpf“ Aufgaben zu den Inhalten rechnen, sondern erst entscheiden müssen, welche Inhalte überhaupt relevant sind und welche nicht.

Außerdem spielt der Kreis und seine Eigenschaften eine wichtige Rolle in dieser Aufgabe. Da der Kreis bis zur sechsten Klasse thematisiert worden sein soll, ist diese Aufgabe zur Auffrischung des Wissens, welches aus vorherigen Schuljahren bereits vorhanden sein sollte, geeignet und daher recht vielfältig.


Bearbeitet von: Matthias Schmidt, Esther Schnepel (hochgeladen von Marisa Pfläging)
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