Zahlentricks

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Klasse Schulstufe Thema Themengebiet Schwierigkeit
3/ 4 Primarstufe Produktive Übungen im ZR 100 Zahlen und Operationen *, **
Heuristsche Hilfsmittel Heuristische Prinzipien Heuristische Strategien
Gleichungen Invarianzprinzip Vorwärtsarbeiten, Rückwärtsarbeiten, Analogieschlüsse

Aufgabenstellung

Marie stellt Markus ein Zahlenrätsel:
„Denke dir eine Zahl. Addiere nun 2 hinzu und multipliziere das Ergebnis mit 3. Subtrahiere zuletzt 5 von der letzten Zahl. Wenn du mir nun das Ergebnis sagst, sage ich dir, welche Zahl du dir gedacht hast!“
 

a) Markus denkt sich die Zahl 7. Welches Ergebnis bekommt er heraus?
b) Nun denkt sich Markus eine neue Zahl aus. Sein Ergebnis lautet jetzt 58. Welche Zahl hat er sich gedacht?
c) Wie kann Marie aus einem beliebigen Ergebnis von Markus immer seine gedachte Zahl bestimmen?
d) Erfinde selbst ein Zahlenrätsel und gib die dazugehörige Lösungsstrategie an!
 

Quellenangabe:

In Anlehnung an: MABKIKOM Niedersachsen - Steckbrief Blütenaufgaben


Lösungsvariante 1

a) Markus denkt sich die Zahl 7. Welches Ergebnis bekommt er heraus?

Das Zahlenrätsel beginnt mit einer Zahl, die nun als 7 vorgegeben ist. Die im Rätsel beschriebenen Rechenschritte können jetzt einfach nacheinander abgearbeitet werden.
 
Denke dir eine Zahl    \(7\)
Addiere nun 2      \(7+2=9\)
Multipliziere das Ergebnis mit 3    \(9⋅3=27\)
Subtrahiere zuletzt 5 von der letzten Zahl   \(27-5=22\)
     
 
Markus, welcher sich die Zahl 7 gedacht hat, bekommt als Ergebnis 22 heraus.
 
 
b) Nun denkt sich Markus eine neue Zahl aus. Sein Ergebnis lautet jetzt 58. Welche Zahl hat er sich gedacht?
 
Um zu der Zahl zu gelangen, die Markus sich ursprünglich gedacht hat, müssen die
Rechenschritte in umgekehrter Reihenfolge abgearbeitet und zudem die Rechenoperationen umgekehrt werden.
 
Ergebnis       \(58\)
Addiere 5 zu der vorgegebenen Zahl   \(58+5=63\)
Dividiere das Ergebnis durch 3  \(63∶3=21\)
Subtrahiere nun 2            \(21-2=19\)
Gedachte Zahl          \(19\)
 
 
c) Wie kann Marie aus einem beliebigen Ergebnis von Markus immer seine gedachte Zahl bestimmen?
 
Aus Teil b) folgt, dass Marie einfach folgende Schritte nacheinander ausführen muss, um die gedachte Zahl zu ermitteln:
 
1. Addiere zu dem beliebigen Ergebnis 5
2. Dividiere das erhaltene Ergebnis durch 3
3. Subtrahiere nun 2
 
 
d) Erfinde selbst ein Zahlenrätsel und gib die dazugehörige Lösungsstrategie an!
 
„Marie stellt Markus ein Zahlenrätsel: „Denke dir eine Zahl. Addiere nun 4 und multipliziere das Ergebnis mit 1. Subtrahiere zuletzt 9 von der letzten Zahl. Wenn du mir nun das Ergebnis sagst, sage ich dir, welche Zahl du dir gedacht hast!“

Gesucht ist eine Lösungsstrategie, die ausgehend vom Ergebnis die gedachte Zahl angibt. Wir können uns dabei an Teil c) orientieren, allerdings sind die Veränderungen des Zahlenrätsels zu beachten.
 
1. Addiere zu dem beliebigen Ergebnis 9
2. Eine Division durch 1 verändert das Ergebnis nicht, weshalb dieser Schritt weggelassen werden kann
3. Subtrahiere nun 4
 
Die Schritte können noch weiter zusammengefasst werden, da nur eine Addition und eine Subtraktion zur Lösung der gesuchten Zahl durchgeführt werden müssen. Vom angegebenen Ergebnis des Zahlenrätsels können also einfach 5 abgezogen werden und man ist bei der ausgedachten Zahl angekommen.
 
 
 
 
Lösungvariante 2
 
Für die Teilaufgaben a) - c) werden die Lösungen nur in geringem Maße von der vorgestellten Lösung abweichen, bspw. inwiefern Zwischenschritte gemacht werden (\(9⋅3=9+9+9=27\)). Die letzte Aufgabenstellung lässt hingegen viele Möglichkeiten der Bearbeitung zu. Die vorgestellte Abwandlung des Zahlenrätsels stellt insofern eine einfache Variation dar, weil nur noch die Rechenoperationen Addition und Subtraktion verwendet werden. Gleichermaßen kann das selbst formulierte Rätsel im Schwierigkeitsgrad zunehmen, indem größere Zahlen oder mehrere verschiedene Rechenoperationen hinzugefügt werden.

Das Aufgabenformat Zahlenrätsel ist ebenso aus dem Bereich Arithmetik gewählt. Im Vordergrund stehen dabei die natürlichen Zahlen als Rechenzahlen. Durch die konkrete Vorgabe von Rechenschritten wird zum einen deutlich, „dass man mit den natürlichen Zahlen […] nach eindeutig bestimmten Folgen von Handlungsanweisungen (sog. Algorithmen) rechnen kann (daher algorithmischer Aspekt der Rechenzahlen)“ (PADBERG 2009), und zum anderen wird, falls der aus dem Zahlenrätsel entstandene geklammerte Term unter Anwendung mathematischer Gesetze weiter zusammengefasst wird, auch der „algebraische Aspekt der Rechenzahlen“ (ebd.) betrachtet. Das gestellte Rätsel ist insofern offen, als dass Ausgangszahl bzw. Endzahl variiert werden können und somit viele verschiedene Rechenmöglichkeiten eröffnet werden, die infolgedessen unterschiedlich anspruchsvoll sein können. Variationen sind auch hinsichtlich der Form des Rätsels selbst denkbar. In die Formulierung eines Rätsels können jene Rechenverfahren eingebunden werden, welche bereits beherrscht werden. Einfache Varianten die nur Addition und/oder Subtraktion einer gedachten Zahl behandeln, können daher bereits in Klasse 2 umgesetzt werden. Der darüber hinausgehende Gebrauch der Grundrechenarten Multiplikation sowie Division sollte jedoch eher in den Jahrgangsstufen 3 bzw. 4 stattfinden, da die Verwendung aller vier Grundrechenarten Besonderheiten bereithält. So sind allgemeine mathematische Regeln wie Punktrechnung vor Strichrechnung in diesem Fall nicht zielführend, da jeder Schritt des Zahlenrätsels zu einer Klammerbildung führt und somit die gelernte Regel außer Kraft gesetzt wird. Bei der ausschließlichen Verwendung von Addition oder Multiplikation entspricht jedoch der geklammerte Ausdruck dem Ausdruck ohne Klammern. Solche Schwierigkeiten verdeutlichen das höhere Anspruchsniveau eines Zahlenrätsels, welches alle vier Grundrechenarten vermischt. Neben diesen fundamentalen Ideen zeigt sich aber auch, dass mit der Verwendung des Formats Zahlenrätsel, ein weit gefächertes Spektrum von Aufgabentypen innerhalb einer Aufgabe eröffnet werden kann. Von einfachen „Bestimmungsaufgaben“ (BRUDER, 2005) (wie in Aufgabenteil ‚a)‘), über „Umkehraufgaben“ (ebd.) (wie in Aufgabenteil ‚b)‘, zu der Aufforderung, ein eigenes Rätsel zu formulieren (Aufgabenteil ‚d)‘), sind noch weitere Aufgabentypen denkbar. Vorstellbar wäre eine weitere Aufgabe, in dem ein Teil der Rechenschritte, also der „Transformation“ (ebd.), fehlt. Mithilfe der gegebenen gedachten Zahl und dem Ergebnis des Rätsels kann so auch eine „Beweisaufgabe“ (ebd.) Teil dieser substanziellen Lernumgebung werden.
 

Inhaltsbezogene Kompetenzen
 
Zahlen und Operationen 
Operationen verstehen
„Die Schülerinnen und Schüler verbinden die Grundrechenarten miteinander und decken dabei Zahlbeziehungen und Operationseigenschaften auf“ (Kerncurriculum für die Grundschule im Fach Mathematik, S. 20) 
 Während der Aufgabenbearbeitung können u.a. Zahlbeziehungen zwischen gedachter Zahl und Ergebniszahl gefunden werden. Weiter kann das Aufdecken von Operationseigenschaften dabei helfen, eine Vorschrift von Ergebniszahl zu gedachter Zahl zu entwickeln, welche kürzer ist als die genannten Rechenschritte aus dem Zahlenrätsel. 
 
„Erläutern den Zusammenhang zwischen den Grundrechenarten und nutzen Operationseigenschaften“ (ebd.) 
Das Erkennen von Abhängigkeiten der grundlegenden Rechenverfahren kann zur Erleichterung der Aufgabenbearbeitung führen, womit sich erneut auf Aufgabenteil c) bezogen wird. Das Wissen kann dann aber auch bei der Teilaufgabe d) genutzt werden. Eine Darbietung eines Zahlenrätsels, welches zunächst aus vielen Rechenoperationen besteht, scheint verwirrend. Enthält es jedoch solche Rechenschritte, die sich gegenseitig aufheben, oder zu kleineren Werten führen, kann daraus ein einfacheres bzw. zumeist überschaubares Zahlenrätzel folgen. 
 
„Nutzen Fachbegriffe wie addieren, subtrahieren, multiplizieren und dividieren“ (ebd., S. 20) 
Das sinngemäße Verwenden der genannten Fachbegriffe ist bei der Aufgabenbearbeitung unverzichtbar. Werden die Fachbegriffe falsch benutzt, führt dies zu einer fehlerhaften Bearbeitung, welches die Aufgabe vermutlich um einiges erleichtern bzw. erschweren würde. 
 
 
Operationen beherrschen
„Schülerinnen und Schüler rechnen mit Zahlen mündlich und halbschriftlich“ (ebd., S. 20) 
Der halbschriftliche Aspekt der Kompetenz wird erst dann notwendig, wenn die im Rätsel verwendeten Zahlen so groß sind, dass ein Kopfrechnen ausgeschlossen ist. 
 
„Schülerinnen und Schüler erklären Rechenwege und stellen diese dar“ (ebd., S. 21) 
In den Teilaufgaben a) und b) ist eine übersichtliche Struktur der Rechenwege wünschenswert, da hierdurch das Gelingen der allgemeinen Lösungsstrategie in Aufgabenteil c) bedingt wird. 
 
 „Schülerinnen und Schüler verstehen und erkennen unterschiedliche Rechenwege und nutzen vorteilhafte Rechenwege“ (ebd., S. 21).
Ob ein Zahlenrätsel mehr oder weniger stumpf in der Reihenfolge der Operationen abgearbeitet wird, oder mögliche Rechenoperationen selbstständig zusammengefasst werden, ist von Schülerin bzw. Schüler zu Schülerin bzw. Schüler abhängig. Dennoch sollten die Lernenden unterschiedliche Rechenwege nachvollziehen können und evtl. neue Erkenntnisse, welche das vorteilhafte Rechnen betreffen, anwenden lernen. 
 
 
Prozessbezogene Kompetenzen
 
Bei dieser Aufgabe stehen vor allem solche Kompetenzen im Vordergrund, die mit dem korrekten Umgang und Verständnis von Fachbegriffen wie Summe, Differenz, Multiplikation und Division zu tun haben.
 
Kommunizieren und Argumentieren
„Schülerinnen und Schüler verwenden eingeführte Fachbegriffe sachgerecht (z.B. ‚Summe‘, ‚Differenz‘)“ (Kerncurriculum für die Grundschule im Fach Mathematik, S. 15) 
Darüber hinaus müssen die Schülerinnen und Schüler die Addition als Umkehroperation der Subtraktion sowie Multiplikation als Umkehrung der Division verstehen. Mit diesem Verständnis der Grundrechenarten können dann in Aufgabenteil c) Rechenschritte zusammengefasst werden. 
Dazu passt aus dem gleichen inhaltsbezogenen Kompetenzbereich die Fertigkeit: 
 
„Schülerinnen und Schüler beschreiben eigene Lösungswege/Vorgehensweisen“ (ebd.) 
Ohne eine Beschreibung der Vorgehensweise, die bspw. erklärt, dass eine Division durch 1 den Wert des Ergebnisses nicht verändert, kann nicht eingesehen werden, ob die grundlegenden Rechenverfahren wirklich einsichtig verstanden wurden. 
 
 
 

Die beschriebenen Kompetenzen finden sich sowohl als Erwartungen am Ende des Schuljahrgangs 2 als auch am Ende des Schuljahrgangs 4 wieder. Ich persönlich empfinde eine Umsetzung in der 3. Klasse als sinnvoll, da so noch Kompetenzen, wie das Entdecken der Zusammenhänge der Grundrechenarten angesprochen werden können. Die Aufgabe kann damit in ein zentrales Thema einführen und wird nicht bloß zu Übungszwecken herangezogen.

Heuristische Hilfsmittel: 
  • Die Schülerinnen und Schüler verwenden Gleichungen, um die Aufgaben schrittweise zu lösen.
 
 
Heuristische Strategien: 
  • Bei Aufgabenteil a) werden die Anweisungen aus dem Zahlenrätsel bezogen auf die Anfangszahl 7 der Reihe nach befolgt, um zu einem Ergebnis zu gelangen. Es handelt sich somit um ein Vorwärtsarbeiten.
 
  • Bei Aufgabenteil b) wird rückwärtsgearbeitet. Das Ergebnis ist bekannt und durch Abarbeiten der Rechenschritte in umgekehrter Reihenfolge und durch Umkehrung der Rechenoperationen wird die gedachte Anfangszahl ermittelt.
 
  • Für das Erfinden eines neuen Zahlenrätsels in Aufgabenteil d) werden die vorherigen Aufgaben a) bis c) betrachtet und Analogieschlüsse verwendet. 
 
 
Heuristische Prinzipien: 
  • Bei c) ist eine Verallgemeinerung der Rechenschritte des Lösungswegs 1 b) gesucht. Es wird herausgestellt, welche Rechenschritte bei Ermittlung der gedachten Zahl ausgehend von einem beliebigem Ergebnis immer erfolgen müssen. Es wird demnach das Invarianzprinzip verwendet.

Die Aufgabenteile a) und b) haben mit 1 bzw. 2 Punkten einen Schwierigkeitsgrad von *.
Die Aufgabenteile c) und b) haben mit jeweils 3 Punkten eine Schwierigkeitsstufe von **.
 
 
Sprachlogische Komplexität: 
Aufgabenteil a) könnte man durchaus auch der Stufe 0 zuordnen, da lediglich die Zahl 7 mit denen im gestellten Aufgabentext beschriebenen Rechenschritten umgeformt werden soll und der Aufgabentext genau der Reihenfolge der Rechnung entspricht. Jedoch ist in Teil b) statt einer Bestimmungsaufgabe (Teilaufgabe ‚a)‘) eine Umkehraufgabe zu bearbeiten. Man muss sich also erneut überlegen, was nun gesucht bzw. gegeben ist. Auch Aufgabenteil c) stellt eine höhere Anforderung an die Schülerinnen und Schüler dar, denn es soll eine Erklärung gefunden werden, die ‚immer‘ funktioniert. Damit ist mehr als ein einfaches Beispiel gefragt.
 
 
Kognitive Komplexität: 
Teilaufgabe a) kann erneut der Stufe 0 zugewiesen werden, da für die Angabe der Lösung lediglich das vorgegebene Schema an Rechenschritten angewandt werden muss. In Aufgabenteil b) muss das Schema lediglich rückwärts betrachtet werden. Zu erkennen, dass nun die Operationen rückwärts und umgekehrt angewandt werden müssen, kann womöglich Schwierigkeiten bereiten. Deshalb würde ich diesen Aufgabenteil schon der Stufe 1 zuordnen. Die Aufgabenteile c) und d) gehen darüber hinaus und sind eher offener gestellt. Es gibt kein vorgefertigtes Schema mehr, was dabei hilft, die Aufgabe zu lösen. Es müssen mehrere Denkvorgänge organisiert und im Zusammenhang betrachtet werden, weswegen die Aufgabenteile auf der Stufe 2 anzusehen sind.
 
 
Formalisierung von Wissen: 
Da nicht direkt formale Darstellungen zur Lösung der Aufgabe benötigt werden und über die Präzisierung des Ausdrucks ‚eine Zahl‘ durch einen Platzhalter zwar eine Formalisierung stattfindet, jedoch keine höheren kognitiven Aktivitäten fordert, können alle Aufgabenteile der Stufe 0 zugeordnet werden.
 
 
Formelhandhabung: 
Die durchzuführenden Rechenschritte und Umformungen verlangen kein Wissen, welches nicht im Repertoire der Schülerinnen und Schüler vorhanden ist, somit ist eine Kategorisierung zu Stufe 0 gerecht.
 
 
Stufenzuordnung: 
Formalisierung von Wissen
Stufe 0
Formelhandhabung
Stufe 0
Kognitive Komplexität
Stufe 0
Stufe 1
Stufe 2
Sprachlogische Komplexität
Stufe 1

Hilfestellungen: 
Aus der Analyse der schwierigkeitsgenerierenden Merkmale folgt bereits, dass die Aufgabe lediglich bezüglich der Sprache komplex wird und dadurch kognitive Schwierigkeiten hervorrufen kann. Hierbei können also Hilfestellungen angeboten werden, die auf die Struktur der Aufgabenstellung und die verwendeten Rechenoperationen hindeuten.
 
Allgemein-strategische Hilfen Inhaltsorientierte strategische Hilfen Inhaltliche Hilfen
Lies dir die Aufgabe genau durch.
Wie stehen die Grundrechenarten Addition und Subtraktion bzw. Multiplikation und Division zueinander in Beziehung?
Verschriftliche die einzelnen Rechenschritte nach und nach.
   
Kannst du evtl. Schritte zusammenfassen?
 
 
 
Sozialformen: 
Lerntagebucheintrag (Einzelarbeit)
 
 
Differenzierungsmöglichkeiten: 
Für leistungsstärkere Schülerinnen und Schüler kann das Rätsel noch weiter verschleiert werden, indem bspw. der letzte Umformungsschritt weggelassen wird. Dies könnte dann wie folgt aussehen:
 
Marie stellt Markus ein weiteres Zahlenrätsel:
„Ich denke mir eine Zahl. Zu der Zahl addiere ich 4 hinzu und multipliziere das Ergebnis mit 2. Dann subtrahiere 9 und schließlich_________________. Wenn ich mir die Zahl 2 denke, lautet das Ergebnis 9, wenn ich jedoch 7 einsetze, dann ergeben sich 39.“ 
 
a) Welchen Rechenschritt hat Marie in ihrem Zahlenrätsel weggelassen?
b) Wie kann man aus einem beliebigen Ergebnis immer die gedachte Zahl bestimmen?
c) Erfinde selbst ein lückenhaftes Zahlenrätsel. Kann die Lücke nur am Ende des Zahlenrätsel stehen? Welche Angaben
    dürfen bei einer Lücke im Rätsel nicht fehlen, damit eine eindeutige Lösungsstrategie gefunden werden kann?
 
Für leistungsschwächere Schülerinnen und Schüler ist ein Zahlenrätsel denkbar, welches aus weniger Umformungsschritten oder zunächst nur Additions- bzw. Subtraktionsaufgaben besteht. Gleichzeitig kann es unterstützend wirken, wenn nach der Aufgabenstellung schon ein Teil der Antwortform durch ikonische und symbolische Darstellungen vorstrukturiert wird. Dies könnte dann zum Beispiel so aussehen: 

Marie stellt Markus ein Zahlenrätsel:
„Denke dir eine Zahl. Addiere nun 2 hinzu und multipliziere das Ergebnis mit 3. Subtrahiere zuletzt 5 von der letzten Zahl. Wenn du mir nun das Ergebnis sagst, sage ich dir, welche Zahl du dir gedacht hast!“
 
Denke dir eine Zahl         \(▁\)
Addiere nun 2     \(▁ +2=▁\)
Multipliziere das Ergebnis mit 3     \(▁ ⋅ 3=▁\)
Subtrahiere zuletzt 5 von der letzten Zahl  \(▁- 5=▁\)
Das Ergebnis lautet     \(▁\)

Diese Aufgabe soll der Binnendifferenzierung im mathemaischen Grundschulunterricht dienen. Um nun bei den Herangehensweisen jedes einzelnen Lerners individuell Stärken und noch bestehende Schwierigkeiten rückmelden zu können, bietet sich die Bearbeitung der Aufgabe in Form eines Lerntagebucheintrags an. Die Schülerinnen und Schüler sollen in diesem Eintrag den eigenen Lösungsweg darstellen und diesen dabei in eigenen Worten reflektieren. Dabei sind jegliche Arten von Gefühlen zu notieren, bspw. die Erkenntnis einen Fehler gemacht zu haben, dass man bei gewissen Aufgabenstellungen stagniert, oder genau andersherum auch solche Erlebnisse, in denen man gute Ideen hatte. Bevor die Schülerinnen und Schüler mit einem solchen Lerntagebuch beginnen, müssen sie natürlich mit der Form vertraut gemacht werden. So müssen bspw. Eckdaten vereinbart werden, die in jedem Eintrag genannt werden sollen. Dabei sollten bspw. folgende Fragen beantwortet werden: „Welche Ideen habe ich?“ „Was habe ich herausgefunden?“, „Was hat (nicht) geklappt?“, „Welche Fehler habe ich gemacht?“, „Welche Erkenntnisse nehme ich mit?“ (vgl. BARZEL, BÜCHTER, & LEUDERS, 2011, S. 130). Neben diesen eher allgemeinen Fragen sollte in Bezug auf die gewählte Aufgabe auch Platz für Anmerkungen sein. Anhand dessen bekommt ebenso die Lehrperson eine Rückmeldung zu der gestellten Aufgabe, indem die Schülerinnen und Schüler beantworten, wie sie die Auseinandersetzung mit dem Thema fanden und wie sie die Verknüpfung von gestellter Aufgabe und Alltag bzw. früheren Aufgaben einschätzen (vgl. BARZEL ET AL., 2011, S. 134). Die Methodik Lerntagebuch ist vor allem dadurch gekennzeichnet, dass die Inhalte nicht benotet werden. Die Lehrperson sammelt die Hefte zu gegebener Zeit ein und fügt dann im Sinne einer pädagogischen Haltung fördernde Kommentare an. Hierbei bietet es sich an, eine „Autographensammlung“ (GALLIN, 2012) anzufertigen. In der Sammlung werden dann solche Lösungen zusammengetragen, die von besonderer Qualität sind, also „regulär hervorragende oder singulär interessante Bearbeitungen, aber auch neue Fragestellungen oder typische Irrtümer und Sackgassen“ (ebd., S. 7). Diese werden dann auf einem Blatt zusammengefügt und in kopierter Form den Schülerinnen und Schülern vorgelegt. Damit erhält die Lerngruppe neben den individuellen Kommentaren auch einen Gesamtüberblick der Lösungsvielfalt (ebd.). Der Einsatz lohnt sich jedoch erst dann, wenn anschließend eine Auseinandersetzung folgt und bspw. über typische Vorgehensweisen gesprochen wird. Die Beschreibungen machen deutlich, dass seitens der Schülerinnen und Schüler, aber ebenso auf Seite der Lehrperson, viel Bereitschaft und Engagement gefragt ist. Die gefühlte (Mehr-)Belastung und Anstrengung beider Perspektiven sollte jedoch überwunden werden, da Lehrpersonen mittels der Durchsicht von Lerntagebüchern „ein hohes Maß an diagnostischer Information über Leistungen und Schwierigkeiten der Schülerinnen und Schüler“ (BARZEL ET AL., 2011, S. 135) zukommt und so die Lernenden anhand individueller Rückmeldungen entsprechend gefordert und gefördert werden können.


Bearbeitet von: Lara Pertz (hochgeladen von Marisa Pfläging)
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